分式方程“無解”一定是“增根”嗎?

徐雨萍

在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0），那么這個根叫做原分式方程的增根. 那么分式方程的無解問題一定由增根造成的嗎？這需要打一個大大的“？”. 先結合下面這個題目說說：

例1 m為何值時，關于x的方程+=會產生增根？

解：原方程化為+=.

方程兩邊同時乘（x+2）（x-2）得

2（x+2）+mx=3（x-2），①

∵增根可能為x=2或x=-2，

∴當x=2時，代入①式，m=-4，

當x=-2時，代入①式，m=6.

∴m=-4或m=6時，原方程有可能產生增根.

如果由“例1”就認定“增根問題”一定是“無解問題”，那就可能犯錯誤了！這不，最近一次考試中，我就遇到了這樣的麻煩. 請看，

例2 若關于x的分式方程-1=無解，則求m的值.

初始解法：方程兩邊都乘x（x-3）得：

（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），

即（2m+1）x=-6，②

∵關于x的分式方程-1=無解，

∴增根可能為x=0或x-3=0，即x=0或x=3，

當x=0時，代入②得：（2m+1）×0=-6，

解得：此方程無解；

當x=3時，代入②得：（2m+1）×3=-6，

解得：m=-1.5.

綜上，m的值為-1.5.

沒想到上面的解答沒有得到全分，我很納悶，老師幫助我們訂正時，補充了下面的一種情況：

對于方程②來說，∵當2m+1=0時，此方程無解，∴此時m=-0.5，

結合我原來的“增根考慮”，綜上，m的值是-0.5或-1.5.

劉老師點評：由于初中階段解分式方程時一般都是去分母轉化為整式方程，而在轉化為整式方程的過程中，潛藏著風險：兩邊同乘的分母可能為0！所以需要驗根，防止出現增根，導致原分式方程無解. 但是，反過來，無解并不一定對應增根，因為整式方程也可能會無解. 小徐同學在上文中通過不同的題例及求解展現了這方面的深刻理解，值得同學們傾聽和理解. 往大了說，這里還需對“一一對應”和“單值對應”做出思辨理解，而這種思辨和思想的理解，同學們會在高中階段的“映射”中再次見到.

（指導教師：江海人）