為什么不能除以0?

王建東

一般而言，任何數都能被另外的任何數除，只是不能除以0. “除以0”是被禁止的；甚至在試圖用計算機除以0時，也會顯示錯誤信息. 為什么除以0是禁區呢？

困難在于我們不能定義除以0. 例如，如果我們可以堅持定義，任何數除以0都等于42. 但結果在此定義下，我們無法同時讓所有運算法則正常生效. 如果采用這種定義，那么從1/0=42開始，應用標準運算法則可以推斷出1=42×0=0.

在考慮除以0之前，我們必須對除法遵循的法則達成一致意見. 老師一般都會這樣介紹，除法是一種與乘法相對的運算. 6除以2等于幾？得到的值就是乘2得6的數，也就是3. 因此下面兩個等式在邏輯上是等價的：

6/2=3和6=2×3

3是這里唯一有效的數，因此6/2是無歧義的.

遺憾的是，當我們嘗試定義除以0時，這種方法遇到了很大的問題. 6除以0得幾？它是乘0得6的數. 啊，任何數乘0都得0，無法得到6.

因此6/0不成立. 任何除以0的數都如此，也許除了0本身. 0/0等于幾？

通常，如果將一個數除以它本身，得到的值為1. 因此我們可以定義0/0=1. 而0=1×0，因此與乘法的關系不沖突. 然而，數學家堅持認為0/0沒有意義. 他們擔心的是如果采用另一種算法規則，假設0/0=1，那么

2=2×1=2×（0/0）=（2×0）/0=0/0=1

這顯然是不成立的.

這里的主要問題是：由于任何數乘0都等于0，因此我們推斷出0/0可以是任何數. 如果這種算法成立，而且除法是乘法的逆運算，那么0/0可以是任何數值. 它不是唯一的，所以最好避免這種情況.

等一下，如果你除以0，難道不是得到無窮大嗎？

是的，有時數學家使用這種約定. 但是當他們這么做時，必須相當小心地檢查他們的邏輯，因為“無窮大”是不可捉摸的概念. 它的意思取決于上下文，特別要注意的是，你無法假設它能像普通數一樣運算.

就算讓除以0等于無窮大有意義，這個問題仍然令人頭疼不已.

（作者單位：江蘇省常熟市昆承中學）