函數(shù)那些事

張靜

重要數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展，對數(shù)學(xué)的發(fā)展都起著非常重要的作用，我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)和反比例函數(shù)，其中所涉及的“函數(shù)”就是數(shù)學(xué)中十分重要的概念之一.

函數(shù)在我們生活中無處不在，大自然造物主也經(jīng)常給我們創(chuàng)造出許多許多優(yōu)美的圖形，它們和函數(shù)圖像常常會(huì)不謀而合.

那么函數(shù)是怎樣產(chǎn)生與發(fā)展起來的呢？讓我們來了解一下函數(shù)的來源與發(fā)展和數(shù)學(xué)家們有趣的故事吧!這樣我們就可以加深對函數(shù)的理解，激發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣，改變普遍認(rèn)為的數(shù)學(xué)是枯燥無味的看法.

在笛卡爾引入變量以后，變量和函數(shù)等概念日益滲透到科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，最早提出函數(shù)概念的是17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨，之后在歐拉、柯西、狄利克雷等數(shù)學(xué)家的努力鉆研下不斷完善. 早期的函數(shù)概念是幾何觀念下的函數(shù)：早在14世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家奧萊斯姆就使用圖形表示隨時(shí)間t而變的x，并把“t”與“x”分別表示“經(jīng)度”與“緯度”. 這一思想很快被開普勒和伽利略應(yīng)用于天體研究中. 但是很長一段時(shí)間數(shù)學(xué)家都沒有明確函數(shù)的一般意義，當(dāng)時(shí)絕大部分函數(shù)是被當(dāng)做曲線來研究的.

到18世紀(jì)，函數(shù)概念發(fā)展為代數(shù)觀念下的函數(shù)：1718年貝努利對函數(shù)進(jìn)行了明確的定義：“由某一變量及任意的一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量”. 意思是凡變量和常量構(gòu)成的式子都叫做函數(shù). 他所強(qiáng)調(diào)的函數(shù)要用公式來表示. 但是后來有的數(shù)學(xué)家覺得不應(yīng)該把函數(shù)概念局限在只能用公式來表達(dá)上，例如，18世紀(jì)中葉歐拉就認(rèn)為“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線”. 當(dāng)時(shí)有些數(shù)學(xué)家對于不用公式來表示函數(shù)還不是很習(xí)慣，這其中也有許多懷疑態(tài)度與爭論.

19世紀(jì)函數(shù)的概念就演變?yōu)閷?yīng)關(guān)系下的函數(shù)：1822年傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個(gè)式子表示，或多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭論，把對函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新的層次. 1837年狄利克雷拓廣了函數(shù)概念，指出“如果對于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對應(yīng)，那么y是x的函數(shù)”. 這個(gè)定義抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便.

現(xiàn)代函數(shù)的概念則是集合論下的函數(shù)，即用集合對應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù)概念，人們把函數(shù)的概念提升到了更抽象的層次. 這一層次的函數(shù)概念在初中學(xué)習(xí)階段不會(huì)遇到，這一概念將在高中階段的學(xué)習(xí)中涉及.

函數(shù)概念的定義凝聚了無數(shù)數(shù)學(xué)家奮斗的心血，經(jīng)過多年的探索形成了今天的定義，但是這就意味著函數(shù)不需要發(fā)展了嗎？當(dāng)然不是，世界是神秘的、豐富多彩的，更多精彩的東西等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)呢，所以我們?nèi)孕枧W(xué)習(xí)，具有刻苦鉆研的精神，將函數(shù)繼續(xù)擴(kuò)展起來.

（作者單位：揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）