第五公設”的故事

朱陽帆

在第六章《平面圖形的認識（一）》的學習中，我們學到了很多簡單的幾何知識，這些知識源自人類歷史上的光輝巨著《幾何原本》，作者為歐幾里得，是一位古希臘偉大的數學家. 我們所學的幾何通常稱為“歐幾里得幾何”或“歐氏幾何”，就是以他的名字來命名的. 《幾何原本》這本書上一共有五條公設，大家都知道公設又叫“公理”，是不需要證明直接用的. 其中最后一條公設是這樣表述的：“若一直線與兩直線相交，且同側所交兩內角之和小于兩直角之和，則兩直線延長后必相交于該側一點. ”關于這條公設背后有著很多有趣的故事.

在寫《幾何原本》的時候，歐幾里得總是對這最后一條公設感到不大滿意，為什么呢？由于它的敘述不像其他四條公設那樣簡潔明了，所以當時就有人懷疑它不像一個公設而更像一個定理，并由此產生了從其他公設和定理推出這條公設的想法.

從此，也就是從古希臘時代開始，數學家們就沒有放棄對第五公設消除疑問的努力：他們或尋求以一個比較容易接受且更加自然的等價公設來代替它；或試圖把它當做一條定理由其他公設、公理推導出來. 在眾多的替代公設中，今天最常用的就是我們第六章學的《平面圖形的認識（一）》中一條公理：“過一點外有且只有一條直線與這條直線平行. ”一般將這一結論替代公設的創意歸功于蘇格蘭數學家普萊菲爾，然而問題是：所有這些替代公設并不比原來的第五公設更好接受，更加自然.

文藝復興時期對希臘學術興趣的恢復使歐洲數學家重新關注起第五公設. 然而，每一種“證明”要么隱含了另一個與第五公設等價的假定，要么存在著其他形式的推理錯誤. 而且，這類工作中大多數對數學的進展沒多大現實意義. 因此，在18世界中葉，達朗貝爾把第五公設的證明問題稱為“幾何原理”中的家丑.

“數學王子”高斯在15歲的時候，也曾經試圖證明過第五公設，并且他在證明其過程中有了新的發現. 與此同時，高斯大學時代的同學——W.波爾約，雖然也曾經從事第五公設的證明，但是沒有突出的成就. 在大學時代，老師認為高斯和W.波爾約將是會在數學上有杰出成就的人，然而，最后揚名的只有高斯一人，原因可能是W.波爾約錯誤地把第五公設當做了自己的研究對象，對此沒有突出的成就. 然而，W.波爾約的兒子約翰·波爾約在研究第五公設的問題時有了新的發現. 21歲的約翰·波爾約在寫給父親的信中說：“我已從烏有中創造了整個世界.” 1823年，父親把兒子的成果《一個關于與歐幾里得平行公設無關的空間的絕對真實性學說》附在自己幾何著作之末，并把該書寄給高斯. 然而高斯回信說：“稱贊他就等于稱贊我自己，整篇文章的內容，您兒子所采取的思路和獲得的結果，與我在30至35年前的思考不謀而合. ”回信使年輕的約翰·波爾約倍感失望，他認為高斯剽竊了自己的成果，于是拋棄了心愛的數學，而去研究神學了. 但是為什么高斯在30年前發現的成果卻一直沒有發表呢？主要是因為他感到自己的發現與當時流行的康德空間哲學相抵觸，擔心世俗的攻擊. 高斯雖有“數學王子”的美譽，但對于此，卻怯于與傳統公開挑戰. 其實在高斯的遺稿中可以了解到：第五公設不能從其他歐幾里得公理中推理出來，并從1813年起發展了這種平行公設在其中不成立的新幾何，他先稱之為《反歐幾里得幾何》，最后改成為《非歐幾何》. 而《非歐幾何》的誕生則是數學史上的一件大事，它開辟了幾何新領域.

那么，在高斯對自己的發現秘而不宣，約翰·波爾約又去研究神學之后，誰最早、最系統地發表了自己的研究成果呢？答案是羅巴切夫斯基，一個最堅定地宣傳和捍衛了自己的新思想的偉大數學家. 他用與第五公設相反的斷言：通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線，作為替代公設，并由此出發進行邏輯推導而得出一連串新幾何學的定理，形成了一個邏輯上可能的、無矛盾的理論，這就是高斯遺稿中所命名的《非歐幾何》.

從第五公設的故事中可以看出數學家們對待數學的嚴謹性. 在我們數學的學習過程中，也應當學習他們的這種懷疑一切的精神. 但是我們不能像約翰·波爾約一樣，因為別人比自己先出了成果，就認為別人剽竊了自己的成果，最后自暴自棄，去研究神學；也不能像高斯一樣，為了自己“數學王子”的美譽，怯于與傳統挑戰. 因此，我們在學習數學的時候，更多的是要有對數學的好奇心和勇敢嘗試的心，要勇于嘗試一些新東西，也許可能只是一條題目的另一種證明，也許可能只是一條定理的另一種表述，但我相信這種探索和質疑的態度，會讓我們更加熱愛數學，更加有熱情投入到數學的研究中去.

（作者單位：揚州大學數學科學學院）