利用建模思想優化豎式計算教學

馮桂群

隨著《義務教育數學課程標準（2011年版）》的頒布與實施，數學建模思想已日漸被廣大一線教師所熟知與接受。按廣義理解，一切數學概念、數學理論體系、數學公式、方程式和算法系統都可稱為數學模型。數學模型一般分為三類：概念型數學模型、方法型數學模型（如各種方程、公式、運算法則等）、結構型數學模型[1]。在小學數學計算教學中，是否可以幫助學生在理解算理的同時建構相應的算法模型、進而巧妙地滲透模型思想、發展學生的數學計算能力和思維能力呢？答案是肯定的。下面就以蘇教版小學數學二、三年級的乘除法筆算教學內容為例，談談筆者這方面的實踐與體會。

一、 在多元的數學操作中建構算法模型

操作活動是新課改積極倡導的學習方式。筆者以為，小學數學學習中的操作活動，不僅包括動手擺弄實物、比劃手勢、活動肢體等操作學具的活動，還應包括借助于符號、文字和圖表等數學語言動手畫圖、標注、列表、列舉、摘錄、列算式、寫關系式等逐步抽象化地操作語言的活動。借助于擺弄學具到操作語言的有序過渡，或在操作語言中由直觀的畫圖到抽象的標注、列式等的逐層展開，可以高效地幫助學生跨越從形象到抽象的思維障礙，實現由直觀算理到抽象算法的有效聯結與及時提升。

蘇教版新課標小學數學教材將乘除法豎式計算安排在二年級上冊的第八單元《乘法口訣和口訣求商》里。這時安排的用乘除法豎式計算的題目，學生通過念乘法口訣就能口算出得數，所以學習豎式計算的目的主要是掌握豎式書寫的格式以及豎式中各部分的含義。乘法豎式的學習相對比較簡單，通過對4-2、4+2等加減法豎式書寫的喚醒與回憶，學生能自動地建構4×2的豎式書寫格式，可以無師自通；而對除法豎式的學習，學生是有一定難度的。

教學二年級上冊第八單元第67頁6÷2的豎式計算前，我先讓四位學生試著用豎式在黑板上板演對比題6+2，6-2，6×2，6÷2，計算除法的學生果不其然地用類似6×2的豎式來計算6÷2。在肯定了其敢于大膽類推之后，我引導學生借助學具操作與符號操作主動建構6÷2的豎式計算模型：“商、乘、減”。具體過程：老師手中拿6支粉筆，問：老師手中有幾支粉筆？如果平均分給2個同學，每人幾支？邊問邊同步寫出豎式中的被除數、除號、除數和商。再問：每人分得3支，2人一共分掉了幾支粉筆？怎樣求得分掉的6支？學生回答的同時板書2×3=6和豎式中的積6。然后問：分掉了6支粉筆后，老師手中還有幾支粉筆？生回答的同時板書6-6=0和豎式中表示“等于0”的橫線與0。之后讓學生邊書空邊大聲表述豎式計算的過程：6除以2商3，二三得六，6減6等于0。最后讓學生再整體觀察除法豎式的計算過程，同時回想分粉筆的全過程，從而進一步強化通過觀察學具操作過程而在頭腦中積累的相應的表象操作經驗，并使之與外在的符號操作建立起一一對應的實質性聯系，進而由淺入深地歸納出“商、乘、減”的三步算法模型，實現了對除法豎式計算的意義建構。

二、 在口算與筆算的對應聯結中建構算法模型

鄭毓信教授多次強調：基礎知識不應求全，而應求聯；基本技能不應求全，而應求變[2]。口算與筆算之間具有較強的系統性、連貫性，新知識往往是舊知識的延伸與組合，先學口算的算法模型及建構策略，與后學的筆算之間常常具有類似的結構，利用結構的相似性可以很好地促進學生進行經驗、方法及策略的正遷移，促進數學知識與思維的自主生長，巧妙滲透轉化、數形結合、抽象推理建模等數學思想。

蘇教版數學二年級下冊分別安排了有余數除法和兩位數乘一位數的筆算。安排在第一單元的有余數除法豎式和二年級上冊無余數的除法豎式的筆算思路是一樣的，即：“商、乘、減”，所以學生學起來得心應手，毫不費力，只是在定商時要掌握念口訣試商的技巧，一般可從9句口訣的半中間往上念口訣，使口訣的積超過被除數再退一步等。而安排在第8單元的筆算乘法跟二年級上冊所學的有了很大的不同，主要表現為由一位數乘一位數變為兩位數乘一位數，計算思路也由一步變為多步。教學中，讓學生借助已有的口算活動經驗理解筆算的步驟與流程，并生成“乘、乘、加”的計算模型是關鍵。

比如：教學書上第70頁的例題：一只猴采了14個。另一只猴也采了14個。2只猴一共采了多少個桃？列式14×2后，學生看著“筐裝桃”的直觀圖很快就口答出是28個。有學生說是算14加14得到的，有的則說先算10+10=20（個），再算4+4=8（個），最后算20+8=28（個）。抓住后一種口算方法，教師順勢邊標注邊描述：也就是說要算出2乘4等于8和2乘10等于20后，再將兩個得數相加為28。其實，這樣“乘、乘、加”的計算過程也可以用豎式表示出來。接著通過動態板演，一步步地展示豎式計算的3個步驟和每一步對應的口算意義，在詳細展示“乘、乘、加”的3步計算流程后，再引導學生化繁為簡，將3步流程在形式上簡寫成一步——直接寫得數，但在口頭表述上仍強調三步：先算二四得八，8個一，再算一二得二，2個十，合起來是28。

在實際教學中，有部分教師不太重視多步流程的動態呈現和由繁到簡的動態演變，覺得學生一看就會，干嘛還要自討麻煩地繞彎子，太費事了。而事實上，從后繼的學習來看，引領學生經歷這樣具體而詳實的計算過程有著很大的教學價值。比如在學習書上第81頁的進位乘法48×2時，通過詳細展示“乘、乘、加”的3步驟和與之相對應的口算，學生就能明白在簡寫的豎式計算中，為何十位上要算4×2+1而不是（1+2）×4或其他情況。所以，通過以上由口算到筆算、由詳細到簡約的計算過程，可以讓學生在充分的體驗和理解中經歷計算模型的建構過程和優化過程，從而使新的計算模型從已有的口算和筆算經驗中自然生長出來，生成極具遷移性和統攝性的基本筆算模型“乘、乘、加”，為后面學習進位乘法和更復雜的筆算乘法打好認知和思維基礎，使學生的思維變得有序、深刻、靈活、多變，達到舉一反三、觸類旁通的境界。

三、 在有序表述中建構算法模型

數學是思維的體操，而數學語言則是數學思維的外殼與工具。在數學學習中，一個不善于運用數學語言表達的學生，他的數學思維也是不深刻的。在豎式計算學習中，借助有序表述不僅能促成算法模型的遷移與運用，還能很好地發展學生的數學思維能力和語言表達能力，達到說、算、思的共贏共進。endprint

比如學習蘇教版數學三年級上、下冊更復雜的乘除法豎式計算時，讓學生有序表述在二年級筆算學習中建立起來的“乘、乘、加”和“商、乘、減”的算法流程，教學中會明顯展示出算法遷移與運用中一通百通、以一當十的作用。教學三年級下冊第一單元的除法計算986÷2，借助問題引導和“商、乘、減”的計算模型引導學生進行有序的思考和正向遷移：986的最高位是什么位？（百位）聯系以前的計算經驗，你認為可以先用幾個百除以2，如何“商、乘、減”？再用幾個十除以2，怎樣“商、乘、減”？最后用幾個一除以2，怎樣“商、乘、減”？在師生互動中，學生自然生成了以下的計算思路：先用9個百除以2，商4個百，二四得八，9減8得1；再用18個十除以2，商9個十，二九十八，18減18得0；最后用6個一除以2，商3，二三得六，6減6得0。

表述中，商的定位道理和從高位算起等知識點一一得以明晰和落實；簡明流暢的表述和科學簡約的板書還能幫助學生抽象出三位數除以一位數的計算方法：先用幾百去除，再用幾十去除，最后用幾個一去除，而每一步計算都要分別“商、乘、減”。而當用幾百去除不夠商1，就與十位上的數合起來，用幾個十去除，這樣就自然而然地生成了類似312÷4等計算題的算法模型。

“乘、乘、加”的計算模型有著同樣的作用。在教學三年級下冊第4單元兩位數相乘的算式28×12時，按“勾連口算學筆算”的思路，讓學生在原有的兩位數乘一位數的算法基礎上自然生成類似“乘、乘、加”的算法模型。為了利于學生更好地理解算理、掌握算法模型，我們要求學生在開始的豎式計算中將“乘、乘、加”的前兩步算式標注在豎式旁邊，計算后要完整表述“先用幾乘兩位數，再用幾十乘兩位數，最后相加得多少”，使“乘、乘、加”的計算思路更加明確；同時建議學生在用個位上的數去乘兩位數時，用小紙片遮住十位上的數字，在用十位上的數去乘兩位數時，用小紙片遮住個位上的數字，這樣就能更好地理清計算的思路與步驟，避免數字信息之間的干擾而引起的相應負遷移；這樣一遮，也就近似地將兩位數乘兩位數“轉化”為兩位數乘一位數。這里，兩位數乘一位數的算法模型是學生學習新知的最小著落點和最佳生長點。實踐證明，基于已有口算和筆算模型上進行的更復雜的計算模型的表述與建構過程是優質、高效和簡約的。

數學學習的過程是一個承前啟后、化繁為簡、螺旋上升的過程。借助多元操作、算法聯系、有序表述等來學習新的豎式計算模型是客觀的認知規律，也是生成系統性的認知結構和結構化的思維方式的必然要求，還能更好地滲透建模思想，讓學生學得更輕松、更深刻、更靈活，使豎式計算成為磨礪學生數學思維的重要平臺，能讓學生帶走可以享用一輩子的有價值的智慧與思想，為學生的后續發展注入無窮活力。

參考文獻

[1] 黃偉星.小學數學教學中要重視培養模型思想[J].小學數學教師，2013（4）.

[2] 陳元隆.將“口算天天練”進行到底[J].小學數學教師，2011（7，8）.

[3] 王霞蕓.掌握筆算從創作豎式開始——“兩位數乘兩位數的筆算”教學片斷與思考[J].小學數學教師，2012（7，8）.

【責任編輯：陳國慶】endprint

比如學習蘇教版數學三年級上、下冊更復雜的乘除法豎式計算時，讓學生有序表述在二年級筆算學習中建立起來的“乘、乘、加”和“商、乘、減”的算法流程，教學中會明顯展示出算法遷移與運用中一通百通、以一當十的作用。教學三年級下冊第一單元的除法計算986÷2，借助問題引導和“商、乘、減”的計算模型引導學生進行有序的思考和正向遷移：986的最高位是什么位？（百位）聯系以前的計算經驗，你認為可以先用幾個百除以2，如何“商、乘、減”？再用幾個十除以2，怎樣“商、乘、減”？最后用幾個一除以2，怎樣“商、乘、減”？在師生互動中，學生自然生成了以下的計算思路：先用9個百除以2，商4個百，二四得八，9減8得1；再用18個十除以2，商9個十，二九十八，18減18得0；最后用6個一除以2，商3，二三得六，6減6得0。

表述中，商的定位道理和從高位算起等知識點一一得以明晰和落實；簡明流暢的表述和科學簡約的板書還能幫助學生抽象出三位數除以一位數的計算方法：先用幾百去除，再用幾十去除，最后用幾個一去除，而每一步計算都要分別“商、乘、減”。而當用幾百去除不夠商1，就與十位上的數合起來，用幾個十去除，這樣就自然而然地生成了類似312÷4等計算題的算法模型。

“乘、乘、加”的計算模型有著同樣的作用。在教學三年級下冊第4單元兩位數相乘的算式28×12時，按“勾連口算學筆算”的思路，讓學生在原有的兩位數乘一位數的算法基礎上自然生成類似“乘、乘、加”的算法模型。為了利于學生更好地理解算理、掌握算法模型，我們要求學生在開始的豎式計算中將“乘、乘、加”的前兩步算式標注在豎式旁邊，計算后要完整表述“先用幾乘兩位數，再用幾十乘兩位數，最后相加得多少”，使“乘、乘、加”的計算思路更加明確；同時建議學生在用個位上的數去乘兩位數時，用小紙片遮住十位上的數字，在用十位上的數去乘兩位數時，用小紙片遮住個位上的數字，這樣就能更好地理清計算的思路與步驟，避免數字信息之間的干擾而引起的相應負遷移；這樣一遮，也就近似地將兩位數乘兩位數“轉化”為兩位數乘一位數。這里，兩位數乘一位數的算法模型是學生學習新知的最小著落點和最佳生長點。實踐證明，基于已有口算和筆算模型上進行的更復雜的計算模型的表述與建構過程是優質、高效和簡約的。

數學學習的過程是一個承前啟后、化繁為簡、螺旋上升的過程。借助多元操作、算法聯系、有序表述等來學習新的豎式計算模型是客觀的認知規律，也是生成系統性的認知結構和結構化的思維方式的必然要求，還能更好地滲透建模思想，讓學生學得更輕松、更深刻、更靈活，使豎式計算成為磨礪學生數學思維的重要平臺，能讓學生帶走可以享用一輩子的有價值的智慧與思想，為學生的后續發展注入無窮活力。

參考文獻

[1] 黃偉星.小學數學教學中要重視培養模型思想[J].小學數學教師，2013（4）.

[2] 陳元隆.將“口算天天練”進行到底[J].小學數學教師，2011（7，8）.

[3] 王霞蕓.掌握筆算從創作豎式開始——“兩位數乘兩位數的筆算”教學片斷與思考[J].小學數學教師，2012（7，8）.

【責任編輯：陳國慶】endprint

比如學習蘇教版數學三年級上、下冊更復雜的乘除法豎式計算時，讓學生有序表述在二年級筆算學習中建立起來的“乘、乘、加”和“商、乘、減”的算法流程，教學中會明顯展示出算法遷移與運用中一通百通、以一當十的作用。教學三年級下冊第一單元的除法計算986÷2，借助問題引導和“商、乘、減”的計算模型引導學生進行有序的思考和正向遷移：986的最高位是什么位？（百位）聯系以前的計算經驗，你認為可以先用幾個百除以2，如何“商、乘、減”？再用幾個十除以2，怎樣“商、乘、減”？最后用幾個一除以2，怎樣“商、乘、減”？在師生互動中，學生自然生成了以下的計算思路：先用9個百除以2，商4個百，二四得八，9減8得1；再用18個十除以2，商9個十，二九十八，18減18得0；最后用6個一除以2，商3，二三得六，6減6得0。

表述中，商的定位道理和從高位算起等知識點一一得以明晰和落實；簡明流暢的表述和科學簡約的板書還能幫助學生抽象出三位數除以一位數的計算方法：先用幾百去除，再用幾十去除，最后用幾個一去除，而每一步計算都要分別“商、乘、減”。而當用幾百去除不夠商1，就與十位上的數合起來，用幾個十去除，這樣就自然而然地生成了類似312÷4等計算題的算法模型。

“乘、乘、加”的計算模型有著同樣的作用。在教學三年級下冊第4單元兩位數相乘的算式28×12時，按“勾連口算學筆算”的思路，讓學生在原有的兩位數乘一位數的算法基礎上自然生成類似“乘、乘、加”的算法模型。為了利于學生更好地理解算理、掌握算法模型，我們要求學生在開始的豎式計算中將“乘、乘、加”的前兩步算式標注在豎式旁邊，計算后要完整表述“先用幾乘兩位數，再用幾十乘兩位數，最后相加得多少”，使“乘、乘、加”的計算思路更加明確；同時建議學生在用個位上的數去乘兩位數時，用小紙片遮住十位上的數字，在用十位上的數去乘兩位數時，用小紙片遮住個位上的數字，這樣就能更好地理清計算的思路與步驟，避免數字信息之間的干擾而引起的相應負遷移；這樣一遮，也就近似地將兩位數乘兩位數“轉化”為兩位數乘一位數。這里，兩位數乘一位數的算法模型是學生學習新知的最小著落點和最佳生長點。實踐證明，基于已有口算和筆算模型上進行的更復雜的計算模型的表述與建構過程是優質、高效和簡約的。

數學學習的過程是一個承前啟后、化繁為簡、螺旋上升的過程。借助多元操作、算法聯系、有序表述等來學習新的豎式計算模型是客觀的認知規律，也是生成系統性的認知結構和結構化的思維方式的必然要求，還能更好地滲透建模思想，讓學生學得更輕松、更深刻、更靈活，使豎式計算成為磨礪學生數學思維的重要平臺，能讓學生帶走可以享用一輩子的有價值的智慧與思想，為學生的后續發展注入無窮活力。

參考文獻

[1] 黃偉星.小學數學教學中要重視培養模型思想[J].小學數學教師，2013（4）.

[2] 陳元隆.將“口算天天練”進行到底[J].小學數學教師，2011（7，8）.

[3] 王霞蕓.掌握筆算從創作豎式開始——“兩位數乘兩位數的筆算”教學片斷與思考[J].小學數學教師，2012（7，8）.

【責任編輯：陳國慶】endprint