舉例辨析 提高認識

韓介鋒

本章以中心對稱為主線，探索圖形旋轉的性質和中心對稱與中心對稱圖形的性質；研究了平行四邊形以及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質與判定；研究了三角形中位線的性質.

一、 中心對稱與中心對稱圖形

例1 如圖1，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形面積的（）.

A. B. C. D.

【點撥】此題考查的是中心對稱圖形的概念性質，因為矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線交點. 由題可知△DOF≌△BOE，求陰影部分的面積就是求△AOB的面積，本題選B.

二、 平行四邊形的性質

例2 如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD

=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF， 則∠CDF等于（）.

A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°

【點撥】此題考查的是菱形的性質：菱形的每條邊相等，對角線互相垂直且互相平分；菱形是軸對稱圖形，對角線所在的直線是它的對稱軸. 所以連接BF，則BF=DF， 本題選D.

三、 平行四邊形判定與三角形中位線的性質

例3 院子的四棵小樹E、F、G、H剛好在梯形院子ABCD各邊的中點上，若在四邊形EFGH上種上小草，則這塊草地的形狀是（）.

A. 平行四邊形 B. 矩形

C. 正方形 D. 菱形

【點撥】這道題給了許多中點，所以想到中位線定理. 連接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四邊形的判定可知EFGH為平行四邊形. 本題選A.

此題主要考查的是中點四邊形：一個任意四邊形的四邊中點順次連接起來，都可以構成一個平行四邊形. 至于一些特殊的四邊形的四邊中點順次連接起來，可以構成特殊的四邊形. 大家可以自己總結歸納一下.

四、 特殊平行四邊形的性質與判定

例4 如圖，ABCD是正方形，P是對角線上的一點，引PE⊥BC于E，PF

⊥DC于F.

求證：（1） AP=EF；

（2） AP⊥EF.

【點撥】此題主要考查了正方形的性質以及矩形的判定與性質等知識，根據已知得出PECF為矩形是解題關鍵. 延長AP與EF相交于點H，連接PC，因為BD是對角線，易證PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根據PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在△PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF.

五、 平行四邊形與特殊平行四邊形的性質和判定、三角形中位線的性質

例5在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AB，點E、F分別是OA、BC的中點，連接BE、EF.

（1） 求證：EF=BF；

（2） 在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點，且BG∶GD=3∶1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結論.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質和判定、矩形性質、菱形性質、三角形的中位線、直角三角形斜邊上中線性質、等腰三角形的性質等知識點，主要考查同學們綜合運用定理進行推理的能力，特別要注意“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”的運用.

（1） 根據平行四邊形性質推出BD=2BO，則AB=BO. 根據三線合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根據直角三角形斜邊上中線性質，求出EF=BF=CF即可.

（2） 連接CG，根據矩形性質和已知求出G為OD中點，根據三角形中位線求出EG∥AD，EG=AD，求出EG=BC，EG∥BC. 又由點F為BC中點可求出BF=EG. 仿照上小題可同理推出EG=GF. 故四邊形EBFG為菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市莫城中學）

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本章以中心對稱為主線，探索圖形旋轉的性質和中心對稱與中心對稱圖形的性質；研究了平行四邊形以及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質與判定；研究了三角形中位線的性質.

一、 中心對稱與中心對稱圖形

例1 如圖1，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形面積的（）.

A. B. C. D.

【點撥】此題考查的是中心對稱圖形的概念性質，因為矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線交點. 由題可知△DOF≌△BOE，求陰影部分的面積就是求△AOB的面積，本題選B.

二、 平行四邊形的性質

例2 如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD

=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF， 則∠CDF等于（）.

A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°

【點撥】此題考查的是菱形的性質：菱形的每條邊相等，對角線互相垂直且互相平分；菱形是軸對稱圖形，對角線所在的直線是它的對稱軸. 所以連接BF，則BF=DF， 本題選D.

三、 平行四邊形判定與三角形中位線的性質

例3 院子的四棵小樹E、F、G、H剛好在梯形院子ABCD各邊的中點上，若在四邊形EFGH上種上小草，則這塊草地的形狀是（）.

A. 平行四邊形 B. 矩形

C. 正方形 D. 菱形

【點撥】這道題給了許多中點，所以想到中位線定理. 連接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四邊形的判定可知EFGH為平行四邊形. 本題選A.

此題主要考查的是中點四邊形：一個任意四邊形的四邊中點順次連接起來，都可以構成一個平行四邊形. 至于一些特殊的四邊形的四邊中點順次連接起來，可以構成特殊的四邊形. 大家可以自己總結歸納一下.

四、 特殊平行四邊形的性質與判定

例4 如圖，ABCD是正方形，P是對角線上的一點，引PE⊥BC于E，PF

⊥DC于F.

求證：（1） AP=EF；

（2） AP⊥EF.

【點撥】此題主要考查了正方形的性質以及矩形的判定與性質等知識，根據已知得出PECF為矩形是解題關鍵. 延長AP與EF相交于點H，連接PC，因為BD是對角線，易證PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根據PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在△PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF.

五、 平行四邊形與特殊平行四邊形的性質和判定、三角形中位線的性質

例5在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AB，點E、F分別是OA、BC的中點，連接BE、EF.

（1） 求證：EF=BF；

（2） 在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點，且BG∶GD=3∶1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結論.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質和判定、矩形性質、菱形性質、三角形的中位線、直角三角形斜邊上中線性質、等腰三角形的性質等知識點，主要考查同學們綜合運用定理進行推理的能力，特別要注意“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”的運用.

（1） 根據平行四邊形性質推出BD=2BO，則AB=BO. 根據三線合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根據直角三角形斜邊上中線性質，求出EF=BF=CF即可.

（2） 連接CG，根據矩形性質和已知求出G為OD中點，根據三角形中位線求出EG∥AD，EG=AD，求出EG=BC，EG∥BC. 又由點F為BC中點可求出BF=EG. 仿照上小題可同理推出EG=GF. 故四邊形EBFG為菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市莫城中學）

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本章以中心對稱為主線，探索圖形旋轉的性質和中心對稱與中心對稱圖形的性質；研究了平行四邊形以及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質與判定；研究了三角形中位線的性質.

一、 中心對稱與中心對稱圖形

例1 如圖1，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形面積的（）.

A. B. C. D.

【點撥】此題考查的是中心對稱圖形的概念性質，因為矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線交點. 由題可知△DOF≌△BOE，求陰影部分的面積就是求△AOB的面積，本題選B.

二、 平行四邊形的性質

例2 如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD

=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF， 則∠CDF等于（）.

A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°

【點撥】此題考查的是菱形的性質：菱形的每條邊相等，對角線互相垂直且互相平分；菱形是軸對稱圖形，對角線所在的直線是它的對稱軸. 所以連接BF，則BF=DF， 本題選D.

三、 平行四邊形判定與三角形中位線的性質

例3 院子的四棵小樹E、F、G、H剛好在梯形院子ABCD各邊的中點上，若在四邊形EFGH上種上小草，則這塊草地的形狀是（）.

A. 平行四邊形 B. 矩形

C. 正方形 D. 菱形

【點撥】這道題給了許多中點，所以想到中位線定理. 連接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四邊形的判定可知EFGH為平行四邊形. 本題選A.

此題主要考查的是中點四邊形：一個任意四邊形的四邊中點順次連接起來，都可以構成一個平行四邊形. 至于一些特殊的四邊形的四邊中點順次連接起來，可以構成特殊的四邊形. 大家可以自己總結歸納一下.

四、 特殊平行四邊形的性質與判定

例4 如圖，ABCD是正方形，P是對角線上的一點，引PE⊥BC于E，PF

⊥DC于F.

求證：（1） AP=EF；

（2） AP⊥EF.

【點撥】此題主要考查了正方形的性質以及矩形的判定與性質等知識，根據已知得出PECF為矩形是解題關鍵. 延長AP與EF相交于點H，連接PC，因為BD是對角線，易證PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根據PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在△PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF.

五、 平行四邊形與特殊平行四邊形的性質和判定、三角形中位線的性質

例5在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AB，點E、F分別是OA、BC的中點，連接BE、EF.

（1） 求證：EF=BF；

（2） 在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點，且BG∶GD=3∶1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結論.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質和判定、矩形性質、菱形性質、三角形的中位線、直角三角形斜邊上中線性質、等腰三角形的性質等知識點，主要考查同學們綜合運用定理進行推理的能力，特別要注意“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”的運用.

（1） 根據平行四邊形性質推出BD=2BO，則AB=BO. 根據三線合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根據直角三角形斜邊上中線性質，求出EF=BF=CF即可.

（2） 連接CG，根據矩形性質和已知求出G為OD中點，根據三角形中位線求出EG∥AD，EG=AD，求出EG=BC，EG∥BC. 又由點F為BC中點可求出BF=EG. 仿照上小題可同理推出EG=GF. 故四邊形EBFG為菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市莫城中學）

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