“平行四邊形”常見錯(cuò)誤

徐俊鋒

由于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定都比較多，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)往往容易遺漏判定的條件、混淆圖形的性質(zhì)，造成這樣那樣的錯(cuò)誤. 現(xiàn)在列舉一些中心對(duì)稱圖形（平行四邊形）中常見的錯(cuò)誤并加以剖析，希望對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)中心對(duì)稱圖形（平行四邊形）這一章有所幫助.

一、 圖形性質(zhì)方面的錯(cuò)誤

例1 如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接OB、OD，則BO=OD嗎？為什么？

【常見錯(cuò)解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD（平行四邊形對(duì)角線互相平分）.

【錯(cuò)解分析】對(duì)“平行四邊形對(duì)角線互相平分”這一性質(zhì)理解不深. 題中沒有說明OB、OD在一直線上，即沒有“對(duì)角線BD”這個(gè)條件，所以不能直接用這一性質(zhì).

【錯(cuò)解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD且AB∥CD（平行四邊形對(duì)邊平行且相等），∴∠1=∠2.

∵O是AC的中點(diǎn)，

∴AO=CO.

在△AOB和△COD中，

AO=CO，

∠1=∠2，

AB=CD，

∴△AOB≌△COD，∴BO=OD.

例2 正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）.

A. 對(duì)角線互相垂直

B. 對(duì)角線互相平分

C. 對(duì)角線相等

D. 對(duì)角線平分一組對(duì)角

【常見錯(cuò)解】A、B、D.

【錯(cuò)解分析】對(duì)矩形、菱形、正方形的性質(zhì)不熟悉. 在學(xué)習(xí)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)熟記它們的邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，同時(shí)頭腦中要有圖形，要勤畫圖，這樣對(duì)性質(zhì)的理解會(huì)更加深刻.

【錯(cuò)解改正】C.

二、 圖形判定方面的錯(cuò)誤

例3 有兩條邊相等，另兩條邊也相等的四邊形是平行四邊形嗎？

【常見錯(cuò)解】是.

【錯(cuò)解分析】沒有嚴(yán)格對(duì)照平行四邊形的定義和判定定理來判斷. 兩組邊相等必須是兩組對(duì)邊相等. 當(dāng)兩條相鄰的邊相等時(shí)就不一定是平行四邊形了.

【錯(cuò)解改正】不是.

例4 如圖2，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，BE平分∠ABC交AD于E，AF與BE相交于G.

求證：四邊形ABFE是菱形.

【常見錯(cuò)解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°.

∵AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠1=∠BAD，∠2=∠ABC.

∠1+∠2=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，

∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE.

∴四邊形ABFE是菱形.

【錯(cuò)解分析】本題常見錯(cuò)誤是在證四邊形ABFE是菱形時(shí)僅僅證明了對(duì)角線互相垂直，就說明是菱形，而忽略了四邊形ABFE是平行四邊形這個(gè)要求.

【錯(cuò)解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AFB.

∵AF平分∠BAD，∴∠EAF=∠1.

∴∠1=∠AFB，∴AB=BF.

同理AB=AE，∴AE=BF.

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABFE是平行四邊形.

又∵AB=BF（證AF⊥BE亦可），

∴四邊形ABFE是菱形.

例5 順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形，則原四邊形為（）.

A. 平行四邊形

B. 菱形

C. 對(duì)角線相等的四邊形

D. 對(duì)角線互相垂直的四邊形

【常見錯(cuò)解】B、D.

【錯(cuò)解分析】想當(dāng)然地認(rèn)為中點(diǎn)四邊形（順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所組成的四邊形叫做原四邊形的中點(diǎn)四邊形）和原四邊形的邊（對(duì)角線）是同樣的性質(zhì). 實(shí)際上，中點(diǎn)四邊形的邊平行且等于原四邊形的對(duì)角線的一半. 畫出圖形能更直觀地發(fā)現(xiàn)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【錯(cuò)解改正】C.

總之，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)，首先必須熟記圖形的性質(zhì)和判定，然后必須認(rèn)識(shí)到，學(xué)習(xí)幾何沒有圖形是不可想象的，一個(gè)清楚標(biāo)準(zhǔn)的圖是解決問題的關(guān)鍵. 圖形的性質(zhì)和判定就像游戲中的規(guī)則，圖形就像游戲中的地圖，只要兩樣都爛熟于心，你就一定能做得非常棒！

（作者單位：江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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由于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定都比較多，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)往往容易遺漏判定的條件、混淆圖形的性質(zhì)，造成這樣那樣的錯(cuò)誤. 現(xiàn)在列舉一些中心對(duì)稱圖形（平行四邊形）中常見的錯(cuò)誤并加以剖析，希望對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)中心對(duì)稱圖形（平行四邊形）這一章有所幫助.

一、 圖形性質(zhì)方面的錯(cuò)誤

例1 如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接OB、OD，則BO=OD嗎？為什么？

【常見錯(cuò)解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD（平行四邊形對(duì)角線互相平分）.

【錯(cuò)解分析】對(duì)“平行四邊形對(duì)角線互相平分”這一性質(zhì)理解不深. 題中沒有說明OB、OD在一直線上，即沒有“對(duì)角線BD”這個(gè)條件，所以不能直接用這一性質(zhì).

【錯(cuò)解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD且AB∥CD（平行四邊形對(duì)邊平行且相等），∴∠1=∠2.

∵O是AC的中點(diǎn)，

∴AO=CO.

在△AOB和△COD中，

AO=CO，

∠1=∠2，

AB=CD，

∴△AOB≌△COD，∴BO=OD.

例2 正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）.

A. 對(duì)角線互相垂直

B. 對(duì)角線互相平分

C. 對(duì)角線相等

D. 對(duì)角線平分一組對(duì)角

【常見錯(cuò)解】A、B、D.

【錯(cuò)解分析】對(duì)矩形、菱形、正方形的性質(zhì)不熟悉. 在學(xué)習(xí)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)熟記它們的邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，同時(shí)頭腦中要有圖形，要勤畫圖，這樣對(duì)性質(zhì)的理解會(huì)更加深刻.

【錯(cuò)解改正】C.

二、 圖形判定方面的錯(cuò)誤

例3 有兩條邊相等，另兩條邊也相等的四邊形是平行四邊形嗎？

【常見錯(cuò)解】是.

【錯(cuò)解分析】沒有嚴(yán)格對(duì)照平行四邊形的定義和判定定理來判斷. 兩組邊相等必須是兩組對(duì)邊相等. 當(dāng)兩條相鄰的邊相等時(shí)就不一定是平行四邊形了.

【錯(cuò)解改正】不是.

例4 如圖2，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，BE平分∠ABC交AD于E，AF與BE相交于G.

求證：四邊形ABFE是菱形.

【常見錯(cuò)解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°.

∵AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠1=∠BAD，∠2=∠ABC.

∠1+∠2=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，

∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE.

∴四邊形ABFE是菱形.

【錯(cuò)解分析】本題常見錯(cuò)誤是在證四邊形ABFE是菱形時(shí)僅僅證明了對(duì)角線互相垂直，就說明是菱形，而忽略了四邊形ABFE是平行四邊形這個(gè)要求.

【錯(cuò)解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AFB.

∵AF平分∠BAD，∴∠EAF=∠1.

∴∠1=∠AFB，∴AB=BF.

同理AB=AE，∴AE=BF.

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABFE是平行四邊形.

又∵AB=BF（證AF⊥BE亦可），

∴四邊形ABFE是菱形.

例5 順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形，則原四邊形為（）.

A. 平行四邊形

B. 菱形

C. 對(duì)角線相等的四邊形

D. 對(duì)角線互相垂直的四邊形

【常見錯(cuò)解】B、D.

【錯(cuò)解分析】想當(dāng)然地認(rèn)為中點(diǎn)四邊形（順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所組成的四邊形叫做原四邊形的中點(diǎn)四邊形）和原四邊形的邊（對(duì)角線）是同樣的性質(zhì). 實(shí)際上，中點(diǎn)四邊形的邊平行且等于原四邊形的對(duì)角線的一半. 畫出圖形能更直觀地發(fā)現(xiàn)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【錯(cuò)解改正】C.

總之，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)，首先必須熟記圖形的性質(zhì)和判定，然后必須認(rèn)識(shí)到，學(xué)習(xí)幾何沒有圖形是不可想象的，一個(gè)清楚標(biāo)準(zhǔn)的圖是解決問題的關(guān)鍵. 圖形的性質(zhì)和判定就像游戲中的規(guī)則，圖形就像游戲中的地圖，只要兩樣都爛熟于心，你就一定能做得非常棒！

（作者單位：江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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由于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定都比較多，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)往往容易遺漏判定的條件、混淆圖形的性質(zhì)，造成這樣那樣的錯(cuò)誤. 現(xiàn)在列舉一些中心對(duì)稱圖形（平行四邊形）中常見的錯(cuò)誤并加以剖析，希望對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)中心對(duì)稱圖形（平行四邊形）這一章有所幫助.

一、 圖形性質(zhì)方面的錯(cuò)誤

例1 如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接OB、OD，則BO=OD嗎？為什么？

【常見錯(cuò)解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD（平行四邊形對(duì)角線互相平分）.

【錯(cuò)解分析】對(duì)“平行四邊形對(duì)角線互相平分”這一性質(zhì)理解不深. 題中沒有說明OB、OD在一直線上，即沒有“對(duì)角線BD”這個(gè)條件，所以不能直接用這一性質(zhì).

【錯(cuò)解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD且AB∥CD（平行四邊形對(duì)邊平行且相等），∴∠1=∠2.

∵O是AC的中點(diǎn)，

∴AO=CO.

在△AOB和△COD中，

AO=CO，

∠1=∠2，

AB=CD，

∴△AOB≌△COD，∴BO=OD.

例2 正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）.

A. 對(duì)角線互相垂直

B. 對(duì)角線互相平分

C. 對(duì)角線相等

D. 對(duì)角線平分一組對(duì)角

【常見錯(cuò)解】A、B、D.

【錯(cuò)解分析】對(duì)矩形、菱形、正方形的性質(zhì)不熟悉. 在學(xué)習(xí)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)熟記它們的邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，同時(shí)頭腦中要有圖形，要勤畫圖，這樣對(duì)性質(zhì)的理解會(huì)更加深刻.

【錯(cuò)解改正】C.

二、 圖形判定方面的錯(cuò)誤

例3 有兩條邊相等，另兩條邊也相等的四邊形是平行四邊形嗎？

【常見錯(cuò)解】是.

【錯(cuò)解分析】沒有嚴(yán)格對(duì)照平行四邊形的定義和判定定理來判斷. 兩組邊相等必須是兩組對(duì)邊相等. 當(dāng)兩條相鄰的邊相等時(shí)就不一定是平行四邊形了.

【錯(cuò)解改正】不是.

例4 如圖2，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，BE平分∠ABC交AD于E，AF與BE相交于G.

求證：四邊形ABFE是菱形.

【常見錯(cuò)解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°.

∵AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠1=∠BAD，∠2=∠ABC.

∠1+∠2=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，

∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE.

∴四邊形ABFE是菱形.

【錯(cuò)解分析】本題常見錯(cuò)誤是在證四邊形ABFE是菱形時(shí)僅僅證明了對(duì)角線互相垂直，就說明是菱形，而忽略了四邊形ABFE是平行四邊形這個(gè)要求.

【錯(cuò)解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AFB.

∵AF平分∠BAD，∴∠EAF=∠1.

∴∠1=∠AFB，∴AB=BF.

同理AB=AE，∴AE=BF.

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABFE是平行四邊形.

又∵AB=BF（證AF⊥BE亦可），

∴四邊形ABFE是菱形.

例5 順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形，則原四邊形為（）.

A. 平行四邊形

B. 菱形

C. 對(duì)角線相等的四邊形

D. 對(duì)角線互相垂直的四邊形

【常見錯(cuò)解】B、D.

【錯(cuò)解分析】想當(dāng)然地認(rèn)為中點(diǎn)四邊形（順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所組成的四邊形叫做原四邊形的中點(diǎn)四邊形）和原四邊形的邊（對(duì)角線）是同樣的性質(zhì). 實(shí)際上，中點(diǎn)四邊形的邊平行且等于原四邊形的對(duì)角線的一半. 畫出圖形能更直觀地發(fā)現(xiàn)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【錯(cuò)解改正】C.

總之，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)，首先必須熟記圖形的性質(zhì)和判定，然后必須認(rèn)識(shí)到，學(xué)習(xí)幾何沒有圖形是不可想象的，一個(gè)清楚標(biāo)準(zhǔn)的圖是解決問題的關(guān)鍵. 圖形的性質(zhì)和判定就像游戲中的規(guī)則，圖形就像游戲中的地圖，只要兩樣都爛熟于心，你就一定能做得非常棒！

（作者單位：江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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