從分式基本性質(zhì)到約分和通分

周紅娟

一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是說(shuō)分子與分母都乘（或除以）的整式必須是同時(shí)，并且是同一個(gè)整式.

例1 在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)恼剑沟忍?hào)成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【講解】緊扣“性質(zhì)”進(jìn)行觀察、分析，通過(guò)比較等式左、右兩邊分式的分子、分母發(fā)生了怎樣的變化，應(yīng)用分式基本性質(zhì)作出正確解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不為0的整式”的意義

我們?cè)趹?yīng)用基本性質(zhì)時(shí)，應(yīng)首先考慮同乘（或除以）的整式的值是否為0. 如果為0，則分式的分母為0，無(wú)意義. 并且所乘（或除以）的數(shù)或式子必須是整式.

三、 注意理解③“分式值不變”

理解分式基本性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質(zhì).

例2 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”號(hào).

（1） ；（2） ；（3） .

【講解】（1） 同時(shí)改變分子、分母的“-”號(hào)，分式值不變；（2） 同時(shí)改變分子和分式本身的符號(hào)，分式值不變；（3） 同時(shí)改變分母和分式本身的符號(hào)，分式值不變.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【變式問(wèn)題】不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項(xiàng)符號(hào)為正.

【講解】此題要注意：分子、分母應(yīng)先提取“-”號(hào)，再化簡(jiǎn). 切勿把分子、分母首項(xiàng)符號(hào)當(dāng)成了分子、分母的符號(hào).

解：==.

下面我們?cè)儆煞质降幕拘再|(zhì)帶來(lái)的兩種重要的變形“約分”和“通分”做出一些解讀.

三、 約分

利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時(shí)除以公因式，達(dá)到約分的目的. 若分子、分母是單項(xiàng)式：先找出公因式，后約去；若分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先“準(zhǔn)備”，然后因式分解，再約分.

例3 約分：

（1） ；（2） .

【講解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化異分母分式為同分母分式的過(guò)程稱為分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最簡(jiǎn)公分母，然后用每一個(gè)分式的分母去除這個(gè)最簡(jiǎn)公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡(jiǎn)公分母. 確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵.

例4 通分：與.

【講解】確定最簡(jiǎn)公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué)）

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一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是說(shuō)分子與分母都乘（或除以）的整式必須是同時(shí)，并且是同一個(gè)整式.

例1 在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)恼剑沟忍?hào)成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【講解】緊扣“性質(zhì)”進(jìn)行觀察、分析，通過(guò)比較等式左、右兩邊分式的分子、分母發(fā)生了怎樣的變化，應(yīng)用分式基本性質(zhì)作出正確解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不為0的整式”的意義

我們?cè)趹?yīng)用基本性質(zhì)時(shí)，應(yīng)首先考慮同乘（或除以）的整式的值是否為0. 如果為0，則分式的分母為0，無(wú)意義. 并且所乘（或除以）的數(shù)或式子必須是整式.

三、 注意理解③“分式值不變”

理解分式基本性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質(zhì).

例2 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”號(hào).

（1） ；（2） ；（3） .

【講解】（1） 同時(shí)改變分子、分母的“-”號(hào)，分式值不變；（2） 同時(shí)改變分子和分式本身的符號(hào)，分式值不變；（3） 同時(shí)改變分母和分式本身的符號(hào)，分式值不變.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【變式問(wèn)題】不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項(xiàng)符號(hào)為正.

【講解】此題要注意：分子、分母應(yīng)先提取“-”號(hào)，再化簡(jiǎn). 切勿把分子、分母首項(xiàng)符號(hào)當(dāng)成了分子、分母的符號(hào).

解：==.

下面我們?cè)儆煞质降幕拘再|(zhì)帶來(lái)的兩種重要的變形“約分”和“通分”做出一些解讀.

三、 約分

利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時(shí)除以公因式，達(dá)到約分的目的. 若分子、分母是單項(xiàng)式：先找出公因式，后約去；若分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先“準(zhǔn)備”，然后因式分解，再約分.

例3 約分：

（1） ；（2） .

【講解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化異分母分式為同分母分式的過(guò)程稱為分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最簡(jiǎn)公分母，然后用每一個(gè)分式的分母去除這個(gè)最簡(jiǎn)公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡(jiǎn)公分母. 確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵.

例4 通分：與.

【講解】確定最簡(jiǎn)公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué)）

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一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是說(shuō)分子與分母都乘（或除以）的整式必須是同時(shí)，并且是同一個(gè)整式.

例1 在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)恼剑沟忍?hào)成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【講解】緊扣“性質(zhì)”進(jìn)行觀察、分析，通過(guò)比較等式左、右兩邊分式的分子、分母發(fā)生了怎樣的變化，應(yīng)用分式基本性質(zhì)作出正確解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不為0的整式”的意義

我們?cè)趹?yīng)用基本性質(zhì)時(shí)，應(yīng)首先考慮同乘（或除以）的整式的值是否為0. 如果為0，則分式的分母為0，無(wú)意義. 并且所乘（或除以）的數(shù)或式子必須是整式.

三、 注意理解③“分式值不變”

理解分式基本性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質(zhì).

例2 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”號(hào).

（1） ；（2） ；（3） .

【講解】（1） 同時(shí)改變分子、分母的“-”號(hào)，分式值不變；（2） 同時(shí)改變分子和分式本身的符號(hào)，分式值不變；（3） 同時(shí)改變分母和分式本身的符號(hào)，分式值不變.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【變式問(wèn)題】不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項(xiàng)符號(hào)為正.

【講解】此題要注意：分子、分母應(yīng)先提取“-”號(hào)，再化簡(jiǎn). 切勿把分子、分母首項(xiàng)符號(hào)當(dāng)成了分子、分母的符號(hào).

解：==.

下面我們?cè)儆煞质降幕拘再|(zhì)帶來(lái)的兩種重要的變形“約分”和“通分”做出一些解讀.

三、 約分

利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時(shí)除以公因式，達(dá)到約分的目的. 若分子、分母是單項(xiàng)式：先找出公因式，后約去；若分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先“準(zhǔn)備”，然后因式分解，再約分.

例3 約分：

（1） ；（2） .

【講解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化異分母分式為同分母分式的過(guò)程稱為分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最簡(jiǎn)公分母，然后用每一個(gè)分式的分母去除這個(gè)最簡(jiǎn)公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡(jiǎn)公分母. 確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵.

例4 通分：與.

【講解】確定最簡(jiǎn)公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué)）

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