從分式基本性質到約分和通分

周紅娟

一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是說分子與分母都乘（或除以）的整式必須是同時，并且是同一個整式.

例1 在括號內填入適當的整式，使等號成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【講解】緊扣“性質”進行觀察、分析，通過比較等式左、右兩邊分式的分子、分母發生了怎樣的變化，應用分式基本性質作出正確解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不為0的整式”的意義

我們在應用基本性質時，應首先考慮同乘（或除以）的整式的值是否為0. 如果為0，則分式的分母為0，無意義. 并且所乘（或除以）的數或式子必須是整式.

三、 注意理解③“分式值不變”

理解分式基本性質的實質是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質.

例2 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”號.

（1） ；（2） ；（3） .

【講解】（1） 同時改變分子、分母的“-”號，分式值不變；（2） 同時改變分子和分式本身的符號，分式值不變；（3） 同時改變分母和分式本身的符號，分式值不變.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【變式問題】不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項符號為正.

【講解】此題要注意：分子、分母應先提取“-”號，再化簡. 切勿把分子、分母首項符號當成了分子、分母的符號.

解：==.

下面我們再由分式的基本性質帶來的兩種重要的變形“約分”和“通分”做出一些解讀.

三、 約分

利用分式的基本性質，分子、分母同時除以公因式，達到約分的目的. 若分子、分母是單項式：先找出公因式，后約去；若分子、分母是多項式時，先“準備”，然后因式分解，再約分.

例3 約分：

（1） ；（2） .

【講解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化異分母分式為同分母分式的過程稱為分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最簡公分母，然后用每一個分式的分母去除這個最簡公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡公分母. 確定幾個分式的最簡公分母是通分的關鍵.

例4 通分：與.

【講解】確定最簡公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級中學）

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一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是說分子與分母都乘（或除以）的整式必須是同時，并且是同一個整式.

例1 在括號內填入適當的整式，使等號成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【講解】緊扣“性質”進行觀察、分析，通過比較等式左、右兩邊分式的分子、分母發生了怎樣的變化，應用分式基本性質作出正確解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不為0的整式”的意義

我們在應用基本性質時，應首先考慮同乘（或除以）的整式的值是否為0. 如果為0，則分式的分母為0，無意義. 并且所乘（或除以）的數或式子必須是整式.

三、 注意理解③“分式值不變”

理解分式基本性質的實質是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質.

例2 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”號.

（1） ；（2） ；（3） .

【講解】（1） 同時改變分子、分母的“-”號，分式值不變；（2） 同時改變分子和分式本身的符號，分式值不變；（3） 同時改變分母和分式本身的符號，分式值不變.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【變式問題】不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項符號為正.

【講解】此題要注意：分子、分母應先提取“-”號，再化簡. 切勿把分子、分母首項符號當成了分子、分母的符號.

解：==.

下面我們再由分式的基本性質帶來的兩種重要的變形“約分”和“通分”做出一些解讀.

三、 約分

利用分式的基本性質，分子、分母同時除以公因式，達到約分的目的. 若分子、分母是單項式：先找出公因式，后約去；若分子、分母是多項式時，先“準備”，然后因式分解，再約分.

例3 約分：

（1） ；（2） .

【講解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化異分母分式為同分母分式的過程稱為分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最簡公分母，然后用每一個分式的分母去除這個最簡公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡公分母. 確定幾個分式的最簡公分母是通分的關鍵.

例4 通分：與.

【講解】確定最簡公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級中學）

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一、 注意理解①“同乘（或除以）”

也就是說分子與分母都乘（或除以）的整式必須是同時，并且是同一個整式.

例1 在括號內填入適當的整式，使等號成立：

（1） =；

（2） =；

（3） =（a+1≠0）.

【講解】緊扣“性質”進行觀察、分析，通過比較等式左、右兩邊分式的分子、分母發生了怎樣的變化，應用分式基本性質作出正確解答.

解：（1） a（a+b）；（2） x；（3） （a+1）c.

二、 注意理解②“不為0的整式”的意義

我們在應用基本性質時，應首先考慮同乘（或除以）的整式的值是否為0. 如果為0，則分式的分母為0，無意義. 并且所乘（或除以）的數或式子必須是整式.

三、 注意理解③“分式值不變”

理解分式基本性質的實質是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質.

例2 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”號.

（1） ；（2） ；（3） .

【講解】（1） 同時改變分子、分母的“-”號，分式值不變；（2） 同時改變分子和分式本身的符號，分式值不變；（3） 同時改變分母和分式本身的符號，分式值不變.

解：（1） =；（2） =-；（3） =-.

【變式問題】不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項符號為正.

【講解】此題要注意：分子、分母應先提取“-”號，再化簡. 切勿把分子、分母首項符號當成了分子、分母的符號.

解：==.

下面我們再由分式的基本性質帶來的兩種重要的變形“約分”和“通分”做出一些解讀.

三、 約分

利用分式的基本性質，分子、分母同時除以公因式，達到約分的目的. 若分子、分母是單項式：先找出公因式，后約去；若分子、分母是多項式時，先“準備”，然后因式分解，再約分.

例3 約分：

（1） ；（2） .

【講解】（1） ==；

（2） ==-.

四、 通分

化異分母分式為同分母分式的過程稱為分式的通分. 通分的方法是先求各分母的最簡公分母，然后用每一個分式的分母去除這個最簡公分母，用所得的商去乘它的分子、分母. 一般地，各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡公分母. 確定幾個分式的最簡公分母是通分的關鍵.

例4 通分：與.

【講解】確定最簡公分母是（m+3）（m-3），=，==-.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級中學）

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