讓例題的“根”扎得更深

支耀紅

蘇科版八（下）87頁例題：

已知，如圖1，在四邊形ABCD中，AC=BD， E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

求證：四邊形EFGH是菱形.

【分析】要證四邊形EFGH是菱形，根據(jù)條件需從邊著手分析，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，可聯(lián)想到三角形的中位線定理，從而EF、FG、GH、EH的關系就明確了，此題也便得證.

證明：∵E為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，

在△BAC中，

∴EF=AC（三角形的中位線等于第三邊的一半）.

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD.

∵AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE.

∴四邊形EFGH是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）.

若在上述問題中，去掉條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形呢？

證明：連接AC.

在△BAC中，∵E為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，

∴EF∥AC且EF=AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）.

同理GH∥AC，且GH=AC.

∴EF∥GH且EF=GH.

∴四邊形EFGH是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

歸納：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形都為平行四邊形.

探究1 如果一個四邊形的對角線互相垂直，那么順次連接它的各邊中點能得到什么圖形？

【分析】如圖2，易知四邊形EFGH是平行四邊形，又由于AC⊥BD，故可證∠HEF是直角，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以四邊形EFGH是矩形.

探究2 （1） 順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（2） 順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（3） 順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（4） 順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是_____________.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖3，4，5，6. 因為矩形、等腰梯形的對角線相等，所以順次連接矩形或等腰梯形各邊中點的四邊形是菱形；因為菱形的對角線互相垂直，所以順次連接菱形各邊中點的四邊形是矩形；因為正方形的對角線相等且互相垂直，所以順次連接正方形各邊中點所得的四邊形既是菱形又是矩形，即為正方形.

探究3 （1） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是菱形，則原四邊形是什么圖形？（2） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是矩形，則原四邊形是什么圖形？（3） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是正方形，則原四邊形是什么圖形？

【分析】（1）中的原四邊形是矩形嗎？由圖1知不一定是矩形，原四邊形只要滿足對角線相等即可；（2）中的原四邊形一定是菱形嗎？由圖2知，原四邊形只要滿足對角線互相垂直即可；（3）中的原四邊形一定是正方形嗎？由圖7知，原四邊形只要滿足對角線相等且互相垂直即可.

探究4 如圖8，在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，問四邊形PQMN是什么圖形？

【分析】要知道四邊形PQMN的形狀，關鍵在于四邊形ABCD的對角線有何關系，故需要連接AC、BD. 由于△ADE和△BCE都是等邊三角形，可知AE=DE，EC=EB. 我們可以利用SAS證明△AEC≌△DEB，從而得到AC=BD. 故四邊形PQMN是菱形.

解：四邊形PQMN是菱形.

理由：連接AC、BD.

在△CBD中，∵M為CD的中點，Q為BC的中點，

∴MQ=BD（三角形的中位線等于第三邊的一半）.

同理NP=BD，MN=AC，PQ=AC.

∵△ADE、△BCE是等邊三角形，

∴AE=DE ， BE=CE，∠AED=∠BEC=60°.

∴∠AEC=∠DEB=120°.

在△AEC和△DEB中

AE=DE，

∠AEC=∠DEB，

EC=EB.

∴△AEC≌△DEB（SAS）. ∴AC=BD.

∴MQ=MN=NP=PQ.

∴四邊形PQMN是菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市外國語初級中學）

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蘇科版八（下）87頁例題：

已知，如圖1，在四邊形ABCD中，AC=BD， E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

求證：四邊形EFGH是菱形.

【分析】要證四邊形EFGH是菱形，根據(jù)條件需從邊著手分析，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，可聯(lián)想到三角形的中位線定理，從而EF、FG、GH、EH的關系就明確了，此題也便得證.

證明：∵E為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，

在△BAC中，

∴EF=AC（三角形的中位線等于第三邊的一半）.

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD.

∵AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE.

∴四邊形EFGH是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）.

若在上述問題中，去掉條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形呢？

證明：連接AC.

在△BAC中，∵E為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，

∴EF∥AC且EF=AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）.

同理GH∥AC，且GH=AC.

∴EF∥GH且EF=GH.

∴四邊形EFGH是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

歸納：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形都為平行四邊形.

探究1 如果一個四邊形的對角線互相垂直，那么順次連接它的各邊中點能得到什么圖形？

【分析】如圖2，易知四邊形EFGH是平行四邊形，又由于AC⊥BD，故可證∠HEF是直角，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以四邊形EFGH是矩形.

探究2 （1） 順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（2） 順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（3） 順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（4） 順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是_____________.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖3，4，5，6. 因為矩形、等腰梯形的對角線相等，所以順次連接矩形或等腰梯形各邊中點的四邊形是菱形；因為菱形的對角線互相垂直，所以順次連接菱形各邊中點的四邊形是矩形；因為正方形的對角線相等且互相垂直，所以順次連接正方形各邊中點所得的四邊形既是菱形又是矩形，即為正方形.

探究3 （1） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是菱形，則原四邊形是什么圖形？（2） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是矩形，則原四邊形是什么圖形？（3） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是正方形，則原四邊形是什么圖形？

【分析】（1）中的原四邊形是矩形嗎？由圖1知不一定是矩形，原四邊形只要滿足對角線相等即可；（2）中的原四邊形一定是菱形嗎？由圖2知，原四邊形只要滿足對角線互相垂直即可；（3）中的原四邊形一定是正方形嗎？由圖7知，原四邊形只要滿足對角線相等且互相垂直即可.

探究4 如圖8，在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，問四邊形PQMN是什么圖形？

【分析】要知道四邊形PQMN的形狀，關鍵在于四邊形ABCD的對角線有何關系，故需要連接AC、BD. 由于△ADE和△BCE都是等邊三角形，可知AE=DE，EC=EB. 我們可以利用SAS證明△AEC≌△DEB，從而得到AC=BD. 故四邊形PQMN是菱形.

解：四邊形PQMN是菱形.

理由：連接AC、BD.

在△CBD中，∵M為CD的中點，Q為BC的中點，

∴MQ=BD（三角形的中位線等于第三邊的一半）.

同理NP=BD，MN=AC，PQ=AC.

∵△ADE、△BCE是等邊三角形，

∴AE=DE ， BE=CE，∠AED=∠BEC=60°.

∴∠AEC=∠DEB=120°.

在△AEC和△DEB中

AE=DE，

∠AEC=∠DEB，

EC=EB.

∴△AEC≌△DEB（SAS）. ∴AC=BD.

∴MQ=MN=NP=PQ.

∴四邊形PQMN是菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市外國語初級中學）

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蘇科版八（下）87頁例題：

已知，如圖1，在四邊形ABCD中，AC=BD， E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

求證：四邊形EFGH是菱形.

【分析】要證四邊形EFGH是菱形，根據(jù)條件需從邊著手分析，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，可聯(lián)想到三角形的中位線定理，從而EF、FG、GH、EH的關系就明確了，此題也便得證.

證明：∵E為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，

在△BAC中，

∴EF=AC（三角形的中位線等于第三邊的一半）.

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD.

∵AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE.

∴四邊形EFGH是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）.

若在上述問題中，去掉條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形呢？

證明：連接AC.

在△BAC中，∵E為AB的中點，F(xiàn)為BC的中點，

∴EF∥AC且EF=AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）.

同理GH∥AC，且GH=AC.

∴EF∥GH且EF=GH.

∴四邊形EFGH是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

歸納：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形都為平行四邊形.

探究1 如果一個四邊形的對角線互相垂直，那么順次連接它的各邊中點能得到什么圖形？

【分析】如圖2，易知四邊形EFGH是平行四邊形，又由于AC⊥BD，故可證∠HEF是直角，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以四邊形EFGH是矩形.

探究2 （1） 順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（2） 順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（3） 順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是_____________；

（4） 順次連接等腰梯形各邊中點所得的四邊形是_____________.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖3，4，5，6. 因為矩形、等腰梯形的對角線相等，所以順次連接矩形或等腰梯形各邊中點的四邊形是菱形；因為菱形的對角線互相垂直，所以順次連接菱形各邊中點的四邊形是矩形；因為正方形的對角線相等且互相垂直，所以順次連接正方形各邊中點所得的四邊形既是菱形又是矩形，即為正方形.

探究3 （1） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是菱形，則原四邊形是什么圖形？（2） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是矩形，則原四邊形是什么圖形？（3） 如果順次連接一個四邊形各邊的中點所成的四邊形是正方形，則原四邊形是什么圖形？

【分析】（1）中的原四邊形是矩形嗎？由圖1知不一定是矩形，原四邊形只要滿足對角線相等即可；（2）中的原四邊形一定是菱形嗎？由圖2知，原四邊形只要滿足對角線互相垂直即可；（3）中的原四邊形一定是正方形嗎？由圖7知，原四邊形只要滿足對角線相等且互相垂直即可.

探究4 如圖8，在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點，△ADE和△BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，問四邊形PQMN是什么圖形？

【分析】要知道四邊形PQMN的形狀，關鍵在于四邊形ABCD的對角線有何關系，故需要連接AC、BD. 由于△ADE和△BCE都是等邊三角形，可知AE=DE，EC=EB. 我們可以利用SAS證明△AEC≌△DEB，從而得到AC=BD. 故四邊形PQMN是菱形.

解：四邊形PQMN是菱形.

理由：連接AC、BD.

在△CBD中，∵M為CD的中點，Q為BC的中點，

∴MQ=BD（三角形的中位線等于第三邊的一半）.

同理NP=BD，MN=AC，PQ=AC.

∵△ADE、△BCE是等邊三角形，

∴AE=DE ， BE=CE，∠AED=∠BEC=60°.

∴∠AEC=∠DEB=120°.

在△AEC和△DEB中

AE=DE，

∠AEC=∠DEB，

EC=EB.

∴△AEC≌△DEB（SAS）. ∴AC=BD.

∴MQ=MN=NP=PQ.

∴四邊形PQMN是菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市外國語初級中學）

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