由一道課本習題出發(fā)

高爽

分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程. 求解分式方程時，通常先去分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程. 這是數(shù)學轉(zhuǎn)化思想的典型體現(xiàn). 轉(zhuǎn)化可以為問題的解決帶來方便，但在轉(zhuǎn)化的過程中，總有一些同學出現(xiàn)問題，導致方程解錯. 這里，我們需要強調(diào)，轉(zhuǎn)化帶來的形式上的變化，其根源在于運算本質(zhì). 只有抓住運算本質(zhì)，才能解好分式方程.

讓我們從一道課本例題說起：

例1 （蘇科版八下，第115頁探索）

解方程：=-1.

根據(jù)多年的教學經(jīng)驗，先列舉一些學生的“錯解”，然后進行剖析與點評.

【錯解1】方程兩邊同乘（x-2）（3x-6），得

（5x-4）（3x-6）=（4x+10）（x-2）-（x-2）·（3x-6）.

【點評】這樣，分母是去掉了，可整理的過程以及整理出來的結(jié)果都會使問題陷入僵局. 原因在于沒有分析好最簡公分母就盲目下手. 可見，解分式方程的第一步，是在未動筆之前先確定好合理的公分母——要對能因式分解的分母徹底分解，取所有分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作為公分母，即最簡公分母. 這就像“兵馬未動，糧草先行”的道理，做好了充足準備，解題才會順利.

【錯解2】方程兩邊同乘3（x-2），得

3（5x-4）=4x+10-1.

【點評】最簡公分母找對了，分母也去掉了，等式卻失衡了. 因為-1那一項漏乘，等式已經(jīng)不成立了. 去分母，一定要遵守等式的基本性質(zhì)，必須保證等式左右兩邊的公平，每一項都要乘最簡公分母. 這里最值得關(guān)注的是分式方程中的整式項. 解分式方程時，對整式項的處理，經(jīng)常是同學們?nèi)菀壮鰡栴}的地方，應該注意兩點：第一，整式項不能漏乘；第二，整式項乘最簡公分母后，不能漏掉應該添加的括號，而且要嚴格遵守去括號的變號法則. 走好這一步，表面看是要注意運算細節(jié)，其實是要抓準等式基本性質(zhì)、約分法則，以及括號法則的運用.

【錯解3】方程兩邊同乘3（x-2），得

3（5x-4）=4x+10-3（x-2）.

解得：x=2.

所以，原分式方程的解為：x=2.

【點評】轉(zhuǎn)化來的整式方程是易于求解，但它的解未必是原分式方程的解. 當我們把x=2代回原方程時就會發(fā)現(xiàn)原方程的分母都等于0. 原分式無意義！怎么會這樣？回憶我們?nèi)シ帜傅倪^程，分母沒了，x的取值范圍擴大了，而實際上原方程中的x是不能等于2的. 所以x=2只是整式方程的解，并不是原分式方程的解. 這時，我們稱x=2為原分式方程的增根. 可見，解分式方程與解整式方程不同，轉(zhuǎn)化而來的東西，要經(jīng)得起考驗. 所以，驗根是解分式方程必不可少的一步.

反思與賞析：一道好的例題，一定蘊含著若干個閃光點，聰明的你如能發(fā)掘出來，解決問題的功力就會大大增強. 這個例題在告訴我們，解好分式方程不能忽視三點：

第一，最簡公分母一定要做到最簡；

第二，等式基本性質(zhì)的使用一定要公平；

第三，解完方程一定要驗根.

（編者按：關(guān)于分式方程的驗根，可以參見本期楊琦同學的數(shù)學寫作《對分式方程檢驗的認識》）

由于分式方程的驗根是必不可少的“特色步驟”，以下就介紹幾種不同的驗根方法：

一、 直接驗根法

將解得的值分別代入原分式方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，此解即為原分式方程的解，否則，此解就不是原分式方程的解.

例2 解方程=.

講解：原方程變形得2x=x-1，∴x=-1.

檢驗：把x=-1分別代入原分式方程的左邊和右邊，左邊==-1，右邊==-1，左邊=右邊，所以x=-1是原分式方程的解.

反思：運用直接驗根法，不僅能檢驗出原分式方程的解，而且還能檢驗求得的解是否正確.

二、 各分母驗根法

把所求得的值代入原分式方程的各個分母中，如果使各個分母的值都不為0，則此解為原分式方程的解；若有分母為0，則不是原分式方程的解.

例3 解分式方程：=.

講解：去分母得：2（x-1）=x-3.

解得x=-1.

檢驗：把x=-1分別代入原分式方程的各個分母得x-3=-1-3=-4，x-1=-1-1=-2，分母都不為0，所以x=-1是原分式方程的解.

三、 公分母驗根法

把解得的值代入最簡公分母中進行檢驗，使得最簡公分母為0的值不是原分式方程的解，否則即為原分式方程的解.

例4 解分式方程：=-1.

講解：方程兩邊同乘3（x-2），得3（5x-4）=4x+10-3（x-2）.

解這個方程，得x=2.

檢驗：當x=2時，3（x-2）=0，所以x=2是增根，原方程無解.

反思：公分母驗根法比較簡單，因此常被廣泛地采用.

（作者單位：河北省秦皇島市第十六中學）

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