由一道課本習題出發

高爽

分式方程是分母中含有未知數的方程. 求解分式方程時，通常先去分母，將其轉化為整式方程. 這是數學轉化思想的典型體現. 轉化可以為問題的解決帶來方便，但在轉化的過程中，總有一些同學出現問題，導致方程解錯. 這里，我們需要強調，轉化帶來的形式上的變化，其根源在于運算本質. 只有抓住運算本質，才能解好分式方程.

讓我們從一道課本例題說起：

例1 （蘇科版八下，第115頁探索）

解方程：=-1.

根據多年的教學經驗，先列舉一些學生的“錯解”，然后進行剖析與點評.

【錯解1】方程兩邊同乘（x-2）（3x-6），得

（5x-4）（3x-6）=（4x+10）（x-2）-（x-2）·（3x-6）.

【點評】這樣，分母是去掉了，可整理的過程以及整理出來的結果都會使問題陷入僵局. 原因在于沒有分析好最簡公分母就盲目下手. 可見，解分式方程的第一步，是在未動筆之前先確定好合理的公分母——要對能因式分解的分母徹底分解，取所有分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作為公分母，即最簡公分母. 這就像“兵馬未動，糧草先行”的道理，做好了充足準備，解題才會順利.

【錯解2】方程兩邊同乘3（x-2），得

3（5x-4）=4x+10-1.

【點評】最簡公分母找對了，分母也去掉了，等式卻失衡了. 因為-1那一項漏乘，等式已經不成立了. 去分母，一定要遵守等式的基本性質，必須保證等式左右兩邊的公平，每一項都要乘最簡公分母. 這里最值得關注的是分式方程中的整式項. 解分式方程時，對整式項的處理，經常是同學們容易出問題的地方，應該注意兩點：第一，整式項不能漏乘；第二，整式項乘最簡公分母后，不能漏掉應該添加的括號，而且要嚴格遵守去括號的變號法則. 走好這一步，表面看是要注意運算細節，其實是要抓準等式基本性質、約分法則，以及括號法則的運用.

【錯解3】方程兩邊同乘3（x-2），得

3（5x-4）=4x+10-3（x-2）.

解得：x=2.

所以，原分式方程的解為：x=2.

【點評】轉化來的整式方程是易于求解，但它的解未必是原分式方程的解. 當我們把x=2代回原方程時就會發現原方程的分母都等于0. 原分式無意義！怎么會這樣？回憶我們去分母的過程，分母沒了，x的取值范圍擴大了，而實際上原方程中的x是不能等于2的. 所以x=2只是整式方程的解，并不是原分式方程的解. 這時，我們稱x=2為原分式方程的增根. 可見，解分式方程與解整式方程不同，轉化而來的東西，要經得起考驗. 所以，驗根是解分式方程必不可少的一步.

反思與賞析：一道好的例題，一定蘊含著若干個閃光點，聰明的你如能發掘出來，解決問題的功力就會大大增強. 這個例題在告訴我們，解好分式方程不能忽視三點：

第一，最簡公分母一定要做到最簡；

第二，等式基本性質的使用一定要公平；

第三，解完方程一定要驗根.

（編者按：關于分式方程的驗根，可以參見本期楊琦同學的數學寫作《對分式方程檢驗的認識》）

由于分式方程的驗根是必不可少的“特色步驟”，以下就介紹幾種不同的驗根方法：

一、 直接驗根法

將解得的值分別代入原分式方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，此解即為原分式方程的解，否則，此解就不是原分式方程的解.

例2 解方程=.

講解：原方程變形得2x=x-1，∴x=-1.

檢驗：把x=-1分別代入原分式方程的左邊和右邊，左邊==-1，右邊==-1，左邊=右邊，所以x=-1是原分式方程的解.

反思：運用直接驗根法，不僅能檢驗出原分式方程的解，而且還能檢驗求得的解是否正確.

二、 各分母驗根法

把所求得的值代入原分式方程的各個分母中，如果使各個分母的值都不為0，則此解為原分式方程的解；若有分母為0，則不是原分式方程的解.

例3 解分式方程：=.

講解：去分母得：2（x-1）=x-3.

解得x=-1.

檢驗：把x=-1分別代入原分式方程的各個分母得x-3=-1-3=-4，x-1=-1-1=-2，分母都不為0，所以x=-1是原分式方程的解.

三、 公分母驗根法

把解得的值代入最簡公分母中進行檢驗，使得最簡公分母為0的值不是原分式方程的解，否則即為原分式方程的解.

例4 解分式方程：=-1.

講解：方程兩邊同乘3（x-2），得3（5x-4）=4x+10-3（x-2）.

解這個方程，得x=2.

檢驗：當x=2時，3（x-2）=0，所以x=2是增根，原方程無解.

反思：公分母驗根法比較簡單，因此常被廣泛地采用.

（作者單位：河北省秦皇島市第十六中學）

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