分式求值背后的思想方法

徐金星

要想找到快速破題之法，關鍵就是解題的數學思想要正確，方法要得當. 怎樣才能做到這些呢？下面結合近幾年的中考試題，跟同學們來一起探究一下本章中常見的數學思想方法在解題中的關鍵作用，望能給同學們的學習帶來裨益.

一、 分類討論，抽絲剝繭

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，則的值為______.

【分析】很顯然，根據題目條件，只知道a、b均不為0，但不能直接求出它們的值. 由于a、b的不確定性，則需對它們分類進行討論. 結合去絕對值的需要，可以將它們分同正、同負、一正一負來討論. 當a、b同為正數時，>0， >0，不合題意，舍去；同理，當a、b同為負數時，也舍去；故a、b兩數一正一負，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【點評】對于不確定因素的問題，我們需要進行分類討論. 本題中沒有明確指出兩數的大小，我們就可以分同正、同負、一正一負三種情況來討論，看哪種情形滿足題目中的條件，進而為問題的解決提供方便.

二、 類比聯想，解題輕松

例2（2013·江蘇宿遷）先化簡，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化簡的式子，可知其中有加、減、除、乘方運算，并含有括號，是分式的混合運算. 類比分數的運算法則，先算括號內的，再將除法變為乘法計算.

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴當x=3時，原式==4.

【點評】波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人.” 類比思想是一種很重要的解題思想，同學們應該還記得，在學習一元一次不等式的解法時，類比解一元一次方程的方法，學起來就很輕松. 那么，我們在學習分式時，類比分數的有關知識，不失為一種科學的學習方法.望同學們在以后的學習中注意體會和應用. 解題過程中，有時還要對某些式子先分解因式，約去分子、分母的公因式，使其變成最簡分式. 解決這類問題，一般是將分式先化簡，再代值計算.

三、 整體考慮，出奇制勝

例3（2013·山東棗莊）先化簡，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡原式可以得到.要求的值，則要求出m的值，可現階段又沒有學過如何解這個方程，那怎么辦呢？聯想整體思想，看看條件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即將m2+3m看作一個整體，如果所求式子中有或者能夠變形得到這個式子，那么問題可解. 仔細觀察，則有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【點評】在思考數學問題時，不能只著眼于它的局部特征. 整體思想是把聯系緊密的幾個量作為一個整體，再進行運算的數學思想. 運用這種思想可以將復雜問題簡單化，使解題過程簡捷，達到出奇制勝的效果.一般地，運用整體思想的方法有整體代換、整體設元、整體變形、整體補形、整體配湊和整體構造等.

跟蹤練習

1. （2013·重慶市）先化簡，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b滿足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·廣州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江蘇泰州）解方程：-=.

參考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴當a=3，

b=1.時，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

經檢驗：x=-是原方程的解.

∴原方程的解為x=-.

（作者單位：湖北省孝感市肖港初中）

endprint

要想找到快速破題之法，關鍵就是解題的數學思想要正確，方法要得當. 怎樣才能做到這些呢？下面結合近幾年的中考試題，跟同學們來一起探究一下本章中常見的數學思想方法在解題中的關鍵作用，望能給同學們的學習帶來裨益.

一、 分類討論，抽絲剝繭

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，則的值為______.

【分析】很顯然，根據題目條件，只知道a、b均不為0，但不能直接求出它們的值. 由于a、b的不確定性，則需對它們分類進行討論. 結合去絕對值的需要，可以將它們分同正、同負、一正一負來討論. 當a、b同為正數時，>0， >0，不合題意，舍去；同理，當a、b同為負數時，也舍去；故a、b兩數一正一負，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【點評】對于不確定因素的問題，我們需要進行分類討論. 本題中沒有明確指出兩數的大小，我們就可以分同正、同負、一正一負三種情況來討論，看哪種情形滿足題目中的條件，進而為問題的解決提供方便.

二、 類比聯想，解題輕松

例2（2013·江蘇宿遷）先化簡，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化簡的式子，可知其中有加、減、除、乘方運算，并含有括號，是分式的混合運算. 類比分數的運算法則，先算括號內的，再將除法變為乘法計算.

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴當x=3時，原式==4.

【點評】波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人.” 類比思想是一種很重要的解題思想，同學們應該還記得，在學習一元一次不等式的解法時，類比解一元一次方程的方法，學起來就很輕松. 那么，我們在學習分式時，類比分數的有關知識，不失為一種科學的學習方法.望同學們在以后的學習中注意體會和應用. 解題過程中，有時還要對某些式子先分解因式，約去分子、分母的公因式，使其變成最簡分式. 解決這類問題，一般是將分式先化簡，再代值計算.

三、 整體考慮，出奇制勝

例3（2013·山東棗莊）先化簡，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡原式可以得到.要求的值，則要求出m的值，可現階段又沒有學過如何解這個方程，那怎么辦呢？聯想整體思想，看看條件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即將m2+3m看作一個整體，如果所求式子中有或者能夠變形得到這個式子，那么問題可解. 仔細觀察，則有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【點評】在思考數學問題時，不能只著眼于它的局部特征. 整體思想是把聯系緊密的幾個量作為一個整體，再進行運算的數學思想. 運用這種思想可以將復雜問題簡單化，使解題過程簡捷，達到出奇制勝的效果.一般地，運用整體思想的方法有整體代換、整體設元、整體變形、整體補形、整體配湊和整體構造等.

跟蹤練習

1. （2013·重慶市）先化簡，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b滿足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·廣州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江蘇泰州）解方程：-=.

參考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴當a=3，

b=1.時，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

經檢驗：x=-是原方程的解.

∴原方程的解為x=-.

（作者單位：湖北省孝感市肖港初中）

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要想找到快速破題之法，關鍵就是解題的數學思想要正確，方法要得當. 怎樣才能做到這些呢？下面結合近幾年的中考試題，跟同學們來一起探究一下本章中常見的數學思想方法在解題中的關鍵作用，望能給同學們的學習帶來裨益.

一、 分類討論，抽絲剝繭

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，則的值為______.

【分析】很顯然，根據題目條件，只知道a、b均不為0，但不能直接求出它們的值. 由于a、b的不確定性，則需對它們分類進行討論. 結合去絕對值的需要，可以將它們分同正、同負、一正一負來討論. 當a、b同為正數時，>0， >0，不合題意，舍去；同理，當a、b同為負數時，也舍去；故a、b兩數一正一負，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【點評】對于不確定因素的問題，我們需要進行分類討論. 本題中沒有明確指出兩數的大小，我們就可以分同正、同負、一正一負三種情況來討論，看哪種情形滿足題目中的條件，進而為問題的解決提供方便.

二、 類比聯想，解題輕松

例2（2013·江蘇宿遷）先化簡，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化簡的式子，可知其中有加、減、除、乘方運算，并含有括號，是分式的混合運算. 類比分數的運算法則，先算括號內的，再將除法變為乘法計算.

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴當x=3時，原式==4.

【點評】波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人.” 類比思想是一種很重要的解題思想，同學們應該還記得，在學習一元一次不等式的解法時，類比解一元一次方程的方法，學起來就很輕松. 那么，我們在學習分式時，類比分數的有關知識，不失為一種科學的學習方法.望同學們在以后的學習中注意體會和應用. 解題過程中，有時還要對某些式子先分解因式，約去分子、分母的公因式，使其變成最簡分式. 解決這類問題，一般是將分式先化簡，再代值計算.

三、 整體考慮，出奇制勝

例3（2013·山東棗莊）先化簡，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡原式可以得到.要求的值，則要求出m的值，可現階段又沒有學過如何解這個方程，那怎么辦呢？聯想整體思想，看看條件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即將m2+3m看作一個整體，如果所求式子中有或者能夠變形得到這個式子，那么問題可解. 仔細觀察，則有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【點評】在思考數學問題時，不能只著眼于它的局部特征. 整體思想是把聯系緊密的幾個量作為一個整體，再進行運算的數學思想. 運用這種思想可以將復雜問題簡單化，使解題過程簡捷，達到出奇制勝的效果.一般地，運用整體思想的方法有整體代換、整體設元、整體變形、整體補形、整體配湊和整體構造等.

跟蹤練習

1. （2013·重慶市）先化簡，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b滿足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·廣州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江蘇泰州）解方程：-=.

參考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴當a=3，

b=1.時，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

經檢驗：x=-是原方程的解.

∴原方程的解為x=-.

（作者單位：湖北省孝感市肖港初中）

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