“列表分析法”搭臺(tái) “分式方程應(yīng)用”唱戲

康海芯

分式方程應(yīng)用題是本章的重要內(nèi)容，由于它涉及的知識(shí)點(diǎn)多，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，因此很多同學(xué)對(duì)列分式方程解應(yīng)用題有畏懼心理. 解分式方程應(yīng)用題時(shí)，如果能借助表格，分析、挖掘其中的等量關(guān)系，往往可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的效果. 本文將結(jié)合2013年各地中考題，談?wù)劻斜矸治龇ㄔ诮獯鸱质椒匠虘?yīng)用題的運(yùn)用，供同學(xué)們參考.

一、 行程問(wèn)題

例1 （湖南湘西）吉首城區(qū)某中學(xué)組織學(xué)生到距學(xué)校20 km的德夯苗寨參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，一部分學(xué)生沿“谷韻綠道”騎自行車(chē)先走，半小時(shí)后，其余學(xué)生沿319國(guó)道乘汽車(chē)前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)（兩條道路路程相同），已知汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的2倍，求騎自行車(chē)學(xué)生的速度.

【分析】行程問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：路程、速度和時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩種交通方式，包含的等量關(guān)系有：①速度關(guān)系：汽車(chē)的速度=自行車(chē)速度的2倍；②時(shí)間關(guān)系：坐汽車(chē)所用的時(shí)間=騎自行車(chē)的時(shí)間-半小時(shí).

如果以②等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)速度為未知數(shù)，即設(shè)騎自行車(chē)學(xué)生的速度為每小時(shí)x千米，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

本題還可以以①為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)時(shí)間為未知數(shù)，同學(xué)們可以試一試.

解：設(shè)騎自行車(chē)學(xué)生的速度為x km/h，則汽車(chē)的速度為2x km/h，根據(jù)題意得：=-.

解得：x=20. 經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解.

答：騎自行車(chē)學(xué)生的速度為20 km/h.

二、 銷(xiāo)售問(wèn)題

例2 （湖北仙桃） 某文化用品商店用1 000元購(gòu)進(jìn)一批“晨光”套尺，很快銷(xiāo)售一空；商店又用1 500元購(gòu)進(jìn)第二批該款套尺，購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是第一批的倍，所購(gòu)數(shù)量比第一批多100套.

求第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是多少？

【分析】銷(xiāo)售問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：總價(jià)、單價(jià)和數(shù)量，它們之間的基本關(guān)系是：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩個(gè)批次的進(jìn)貨，包含的等量關(guān)系有：①單價(jià)關(guān)系：第二批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)=第一批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)的倍；②數(shù)量關(guān)系：第二批所購(gòu)數(shù)量=第一批所購(gòu)數(shù)量+100套.

如果以②等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)單價(jià)為未知數(shù)，即設(shè)第一批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)為x元，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

本題還可以以①為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)數(shù)量為未知數(shù)，同學(xué)們可以試一試.

解：（1） 設(shè)第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是x元/套.

由題意得：-=100，

即-=100，解得：x=2.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=2是所列方程的解.

答：第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是2元/套.

三、 工程問(wèn)題

例3 （2013·四川德陽(yáng)）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需40天完成，若乙隊(duì)先做30天后，甲、乙兩隊(duì)一起合做20天恰好完成任務(wù)，請(qǐng)問(wèn)乙隊(duì)單獨(dú)做需要多少天才能完成任務(wù)？

【分析】本題是虛擬類工程問(wèn)題，工作總量通常看作單位1，工程問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：工作總量、工作效率和工作時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩個(gè)人工作，涉及工作總量的等量關(guān)系為：甲的工作總量+乙的工作總量=1.

如果以工作總量為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)乙的工作時(shí)間為未知數(shù)，即設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)做需要x天才能完成任務(wù)，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

解：設(shè)乙單獨(dú)做需要x天完成，由題意得

×20+×（20+30）=1

解得x=100.

經(jīng)檢驗(yàn)x=100是原方程的解，

答：乙單獨(dú)做需要100天完成.

綜上所述，用列表分析法解分式方程應(yīng)用題時(shí)，主要包括三個(gè)步驟：第一，要確定問(wèn)題的類型（如工程問(wèn)題，行程問(wèn)題等），以及它涉及的哪些量，基本關(guān)系是什么？第二，根據(jù)題意，寫(xiě)出問(wèn)題中所有的等量關(guān)系，確定列分式方程的那個(gè)等量關(guān)系，并選擇合適的量設(shè)未知數(shù)，然后借助表格來(lái)理清這些量之間的關(guān)系，把其他量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)；第三，根據(jù)選擇好的基本等量關(guān)系就可以列出分式方程，從而求解.

（作者單位：江西省贛縣江口中學(xué)）

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分式方程應(yīng)用題是本章的重要內(nèi)容，由于它涉及的知識(shí)點(diǎn)多，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，因此很多同學(xué)對(duì)列分式方程解應(yīng)用題有畏懼心理. 解分式方程應(yīng)用題時(shí)，如果能借助表格，分析、挖掘其中的等量關(guān)系，往往可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的效果. 本文將結(jié)合2013年各地中考題，談?wù)劻斜矸治龇ㄔ诮獯鸱质椒匠虘?yīng)用題的運(yùn)用，供同學(xué)們參考.

一、 行程問(wèn)題

例1 （湖南湘西）吉首城區(qū)某中學(xué)組織學(xué)生到距學(xué)校20 km的德夯苗寨參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，一部分學(xué)生沿“谷韻綠道”騎自行車(chē)先走，半小時(shí)后，其余學(xué)生沿319國(guó)道乘汽車(chē)前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)（兩條道路路程相同），已知汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的2倍，求騎自行車(chē)學(xué)生的速度.

【分析】行程問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：路程、速度和時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩種交通方式，包含的等量關(guān)系有：①速度關(guān)系：汽車(chē)的速度=自行車(chē)速度的2倍；②時(shí)間關(guān)系：坐汽車(chē)所用的時(shí)間=騎自行車(chē)的時(shí)間-半小時(shí).

如果以②等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)速度為未知數(shù)，即設(shè)騎自行車(chē)學(xué)生的速度為每小時(shí)x千米，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

本題還可以以①為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)時(shí)間為未知數(shù)，同學(xué)們可以試一試.

解：設(shè)騎自行車(chē)學(xué)生的速度為x km/h，則汽車(chē)的速度為2x km/h，根據(jù)題意得：=-.

解得：x=20. 經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解.

答：騎自行車(chē)學(xué)生的速度為20 km/h.

二、 銷(xiāo)售問(wèn)題

例2 （湖北仙桃） 某文化用品商店用1 000元購(gòu)進(jìn)一批“晨光”套尺，很快銷(xiāo)售一空；商店又用1 500元購(gòu)進(jìn)第二批該款套尺，購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是第一批的倍，所購(gòu)數(shù)量比第一批多100套.

求第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是多少？

【分析】銷(xiāo)售問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：總價(jià)、單價(jià)和數(shù)量，它們之間的基本關(guān)系是：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩個(gè)批次的進(jìn)貨，包含的等量關(guān)系有：①單價(jià)關(guān)系：第二批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)=第一批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)的倍；②數(shù)量關(guān)系：第二批所購(gòu)數(shù)量=第一批所購(gòu)數(shù)量+100套.

如果以②等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)單價(jià)為未知數(shù)，即設(shè)第一批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)為x元，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

本題還可以以①為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)數(shù)量為未知數(shù)，同學(xué)們可以試一試.

解：（1） 設(shè)第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是x元/套.

由題意得：-=100，

即-=100，解得：x=2.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=2是所列方程的解.

答：第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是2元/套.

三、 工程問(wèn)題

例3 （2013·四川德陽(yáng)）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需40天完成，若乙隊(duì)先做30天后，甲、乙兩隊(duì)一起合做20天恰好完成任務(wù)，請(qǐng)問(wèn)乙隊(duì)單獨(dú)做需要多少天才能完成任務(wù)？

【分析】本題是虛擬類工程問(wèn)題，工作總量通常看作單位1，工程問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：工作總量、工作效率和工作時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩個(gè)人工作，涉及工作總量的等量關(guān)系為：甲的工作總量+乙的工作總量=1.

如果以工作總量為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)乙的工作時(shí)間為未知數(shù)，即設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)做需要x天才能完成任務(wù)，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

解：設(shè)乙單獨(dú)做需要x天完成，由題意得

×20+×（20+30）=1

解得x=100.

經(jīng)檢驗(yàn)x=100是原方程的解，

答：乙單獨(dú)做需要100天完成.

綜上所述，用列表分析法解分式方程應(yīng)用題時(shí)，主要包括三個(gè)步驟：第一，要確定問(wèn)題的類型（如工程問(wèn)題，行程問(wèn)題等），以及它涉及的哪些量，基本關(guān)系是什么？第二，根據(jù)題意，寫(xiě)出問(wèn)題中所有的等量關(guān)系，確定列分式方程的那個(gè)等量關(guān)系，并選擇合適的量設(shè)未知數(shù)，然后借助表格來(lái)理清這些量之間的關(guān)系，把其他量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)；第三，根據(jù)選擇好的基本等量關(guān)系就可以列出分式方程，從而求解.

（作者單位：江西省贛縣江口中學(xué)）

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分式方程應(yīng)用題是本章的重要內(nèi)容，由于它涉及的知識(shí)點(diǎn)多，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，因此很多同學(xué)對(duì)列分式方程解應(yīng)用題有畏懼心理. 解分式方程應(yīng)用題時(shí)，如果能借助表格，分析、挖掘其中的等量關(guān)系，往往可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的效果. 本文將結(jié)合2013年各地中考題，談?wù)劻斜矸治龇ㄔ诮獯鸱质椒匠虘?yīng)用題的運(yùn)用，供同學(xué)們參考.

一、 行程問(wèn)題

例1 （湖南湘西）吉首城區(qū)某中學(xué)組織學(xué)生到距學(xué)校20 km的德夯苗寨參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，一部分學(xué)生沿“谷韻綠道”騎自行車(chē)先走，半小時(shí)后，其余學(xué)生沿319國(guó)道乘汽車(chē)前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)（兩條道路路程相同），已知汽車(chē)速度是自行車(chē)速度的2倍，求騎自行車(chē)學(xué)生的速度.

【分析】行程問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：路程、速度和時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩種交通方式，包含的等量關(guān)系有：①速度關(guān)系：汽車(chē)的速度=自行車(chē)速度的2倍；②時(shí)間關(guān)系：坐汽車(chē)所用的時(shí)間=騎自行車(chē)的時(shí)間-半小時(shí).

如果以②等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)速度為未知數(shù)，即設(shè)騎自行車(chē)學(xué)生的速度為每小時(shí)x千米，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

本題還可以以①為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)時(shí)間為未知數(shù)，同學(xué)們可以試一試.

解：設(shè)騎自行車(chē)學(xué)生的速度為x km/h，則汽車(chē)的速度為2x km/h，根據(jù)題意得：=-.

解得：x=20. 經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解.

答：騎自行車(chē)學(xué)生的速度為20 km/h.

二、 銷(xiāo)售問(wèn)題

例2 （湖北仙桃） 某文化用品商店用1 000元購(gòu)進(jìn)一批“晨光”套尺，很快銷(xiāo)售一空；商店又用1 500元購(gòu)進(jìn)第二批該款套尺，購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是第一批的倍，所購(gòu)數(shù)量比第一批多100套.

求第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是多少？

【分析】銷(xiāo)售問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：總價(jià)、單價(jià)和數(shù)量，它們之間的基本關(guān)系是：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩個(gè)批次的進(jìn)貨，包含的等量關(guān)系有：①單價(jià)關(guān)系：第二批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)=第一批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)的倍；②數(shù)量關(guān)系：第二批所購(gòu)數(shù)量=第一批所購(gòu)數(shù)量+100套.

如果以②等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)單價(jià)為未知數(shù)，即設(shè)第一批套尺購(gòu)進(jìn)單價(jià)為x元，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

本題還可以以①為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)數(shù)量為未知數(shù)，同學(xué)們可以試一試.

解：（1） 設(shè)第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是x元/套.

由題意得：-=100，

即-=100，解得：x=2.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=2是所列方程的解.

答：第一批套尺購(gòu)進(jìn)時(shí)單價(jià)是2元/套.

三、 工程問(wèn)題

例3 （2013·四川德陽(yáng)）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需40天完成，若乙隊(duì)先做30天后，甲、乙兩隊(duì)一起合做20天恰好完成任務(wù)，請(qǐng)問(wèn)乙隊(duì)單獨(dú)做需要多少天才能完成任務(wù)？

【分析】本題是虛擬類工程問(wèn)題，工作總量通常看作單位1，工程問(wèn)題涉及三個(gè)基本量：工作總量、工作效率和工作時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，在這三個(gè)基本量中，已知兩個(gè)可以求出第三個(gè). 本題中涉及兩個(gè)人工作，涉及工作總量的等量關(guān)系為：甲的工作總量+乙的工作總量=1.

如果以工作總量為等量關(guān)系列分式方程，則需要設(shè)乙的工作時(shí)間為未知數(shù)，即設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)做需要x天才能完成任務(wù)，可以設(shè)計(jì)4行3列的表格，把題目中有關(guān)的量填入表格如下：

解：設(shè)乙單獨(dú)做需要x天完成，由題意得

×20+×（20+30）=1

解得x=100.

經(jīng)檢驗(yàn)x=100是原方程的解，

答：乙單獨(dú)做需要100天完成.

綜上所述，用列表分析法解分式方程應(yīng)用題時(shí)，主要包括三個(gè)步驟：第一，要確定問(wèn)題的類型（如工程問(wèn)題，行程問(wèn)題等），以及它涉及的哪些量，基本關(guān)系是什么？第二，根據(jù)題意，寫(xiě)出問(wèn)題中所有的等量關(guān)系，確定列分式方程的那個(gè)等量關(guān)系，并選擇合適的量設(shè)未知數(shù)，然后借助表格來(lái)理清這些量之間的關(guān)系，把其他量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)；第三，根據(jù)選擇好的基本等量關(guān)系就可以列出分式方程，從而求解.

（作者單位：江西省贛縣江口中學(xué)）

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