“平行四邊形”考點(diǎn)直擊

季葉紅

中心對(duì)稱圖形——平行四邊形是初中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，也是歷年中考必考的內(nèi)容，現(xiàn)把歷年來的中考考點(diǎn)歸納如下.

考點(diǎn)一 平行四邊形的判定方法

例1 （2013·四川瀘州）如圖1，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）.

A. AB∥DC，AD∥BC

B. AB=DC，AD=BC

C. AO=CO，BO=DO

D. AB∥DC，AD=BC

【分析】根據(jù)平行四邊形的定義，選項(xiàng)A中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，選項(xiàng)B中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，選項(xiàng)C中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是等腰梯形，選項(xiàng)D中的條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形.選D.

【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的判定是本題的考查目標(biāo)，關(guān)鍵要熟悉平行四邊形的判定方法，并且結(jié)合圖形判斷.

考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)

例2 （2012·泰安）如圖2，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)C的直線CE⊥AB，垂足為E. 若∠EAD=53°，則∠BCE的度數(shù)為（）.

A. 53° B. 37°

C. 47° D. 123°

【分析】由平行四邊形可知兩組對(duì)邊互相平行，由平行可知同位角相等（∠B=∠EAD），最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠BCE的度數(shù). 選B.

【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的性質(zhì)是本題的考查目標(biāo)，掌握平行四邊形的性質(zhì)“兩組對(duì)邊分別平行”是解答本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三 平行四邊形常和三角形結(jié)合考查

例3 （2013·山東泰安）如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長(zhǎng)為（）.

A. 2 B. 4

C. 4 D. 8

【分析】由AE為角平分線及AD∥BE得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊得到AD=DF，△ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點(diǎn)，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長(zhǎng)，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，再由△ADF≌△ECF，得出AF=EF，即可求出AE的長(zhǎng).

解：∵AE為∠ABD的平分線，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

又∵F為DC的中點(diǎn)，

∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：

AG=，則AF=2AG=2，

在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E

∠ADF=∠ECF

DF=CF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴AF=EF，則AE=2AF=4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

例4 （2013·湖北十堰）如圖4，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長(zhǎng)線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，則AB的長(zhǎng)是______.

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四邊形ABDE，推出DE=DC=AB，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng).

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=CD.

∵AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB=DE=CD，即D為CE中點(diǎn).

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠CEF=30°.

∵EF=，∴CE=2，

∴AB=1，故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、平行線性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上中線性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，是一道比較好的題目.

（作者單位：江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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中心對(duì)稱圖形——平行四邊形是初中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，也是歷年中考必考的內(nèi)容，現(xiàn)把歷年來的中考考點(diǎn)歸納如下.

考點(diǎn)一 平行四邊形的判定方法

例1 （2013·四川瀘州）如圖1，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）.

A. AB∥DC，AD∥BC

B. AB=DC，AD=BC

C. AO=CO，BO=DO

D. AB∥DC，AD=BC

【分析】根據(jù)平行四邊形的定義，選項(xiàng)A中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，選項(xiàng)B中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，選項(xiàng)C中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是等腰梯形，選項(xiàng)D中的條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形.選D.

【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的判定是本題的考查目標(biāo)，關(guān)鍵要熟悉平行四邊形的判定方法，并且結(jié)合圖形判斷.

考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)

例2 （2012·泰安）如圖2，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)C的直線CE⊥AB，垂足為E. 若∠EAD=53°，則∠BCE的度數(shù)為（）.

A. 53° B. 37°

C. 47° D. 123°

【分析】由平行四邊形可知兩組對(duì)邊互相平行，由平行可知同位角相等（∠B=∠EAD），最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠BCE的度數(shù). 選B.

【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的性質(zhì)是本題的考查目標(biāo)，掌握平行四邊形的性質(zhì)“兩組對(duì)邊分別平行”是解答本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三 平行四邊形常和三角形結(jié)合考查

例3 （2013·山東泰安）如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長(zhǎng)為（）.

A. 2 B. 4

C. 4 D. 8

【分析】由AE為角平分線及AD∥BE得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊得到AD=DF，△ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點(diǎn)，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長(zhǎng)，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，再由△ADF≌△ECF，得出AF=EF，即可求出AE的長(zhǎng).

解：∵AE為∠ABD的平分線，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

又∵F為DC的中點(diǎn)，

∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：

AG=，則AF=2AG=2，

在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E

∠ADF=∠ECF

DF=CF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴AF=EF，則AE=2AF=4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

例4 （2013·湖北十堰）如圖4，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長(zhǎng)線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，則AB的長(zhǎng)是______.

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四邊形ABDE，推出DE=DC=AB，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng).

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=CD.

∵AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB=DE=CD，即D為CE中點(diǎn).

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠CEF=30°.

∵EF=，∴CE=2，

∴AB=1，故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、平行線性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上中線性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，是一道比較好的題目.

（作者單位：江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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中心對(duì)稱圖形——平行四邊形是初中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，也是歷年中考必考的內(nèi)容，現(xiàn)把歷年來的中考考點(diǎn)歸納如下.

考點(diǎn)一 平行四邊形的判定方法

例1 （2013·四川瀘州）如圖1，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）.

A. AB∥DC，AD∥BC

B. AB=DC，AD=BC

C. AO=CO，BO=DO

D. AB∥DC，AD=BC

【分析】根據(jù)平行四邊形的定義，選項(xiàng)A中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，選項(xiàng)B中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，選項(xiàng)C中的條件能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是等腰梯形，選項(xiàng)D中的條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形.選D.

【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的判定是本題的考查目標(biāo)，關(guān)鍵要熟悉平行四邊形的判定方法，并且結(jié)合圖形判斷.

考點(diǎn)二 平行四邊形的性質(zhì)

例2 （2012·泰安）如圖2，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)C的直線CE⊥AB，垂足為E. 若∠EAD=53°，則∠BCE的度數(shù)為（）.

A. 53° B. 37°

C. 47° D. 123°

【分析】由平行四邊形可知兩組對(duì)邊互相平行，由平行可知同位角相等（∠B=∠EAD），最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠BCE的度數(shù). 選B.

【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形的性質(zhì)是本題的考查目標(biāo)，掌握平行四邊形的性質(zhì)“兩組對(duì)邊分別平行”是解答本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三 平行四邊形常和三角形結(jié)合考查

例3 （2013·山東泰安）如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長(zhǎng)為（）.

A. 2 B. 4

C. 4 D. 8

【分析】由AE為角平分線及AD∥BE得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊得到AD=DF，△ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點(diǎn)，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長(zhǎng)，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)，再由△ADF≌△ECF，得出AF=EF，即可求出AE的長(zhǎng).

解：∵AE為∠ABD的平分線，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

又∵F為DC的中點(diǎn)，

∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：

AG=，則AF=2AG=2，

在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E

∠ADF=∠ECF

DF=CF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴AF=EF，則AE=2AF=4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

例4 （2013·湖北十堰）如圖4，平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長(zhǎng)線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，則AB的長(zhǎng)是______.

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四邊形ABDE，推出DE=DC=AB，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng).

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=CD.

∵AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB=DE=CD，即D為CE中點(diǎn).

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠CEF=30°.

∵EF=，∴CE=2，

∴AB=1，故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、平行線性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上中線性質(zhì)、含30°角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，是一道比較好的題目.

（作者單位：江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

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