分式化簡求值的深度探討

陸煒鋒

分式的化簡求值是中考常考的類型，2013年江蘇省13個(gè)地級(jí)市的中考數(shù)學(xué)試卷中，6個(gè)市考查了化簡求值、5個(gè)市考查了純化簡、2市未考. 在全國的近兩百份試卷中，出現(xiàn)化簡求值題非常多. 本文將從全國的中考試卷中選取具有代表性的此類問題，進(jìn)行深層探討，以期對(duì)同學(xué)們有所幫助.

在進(jìn)行化簡運(yùn)算時(shí)，書本第111頁闡述得很明確：與分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算類似，分式的加、減、乘、除混合運(yùn)算的順序是：先乘除，后加減，如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

例1 （湖北黃石卷改編）先化簡，再計(jì)算：

÷·，其中a=2.

分析：本題是三個(gè)分式純乘除的問題，解題原則是“哪個(gè)分式在前，先算哪個(gè)分式”，而實(shí)際操作時(shí)，一般都是先把除法轉(zhuǎn)化成乘法（并把除式的分子、分母顛倒位置），再一起約分運(yùn)算.本題還有一個(gè)要注意的地方，就是對(duì)于81-a2和9-a都要先變成相反數(shù)，這樣計(jì)算比較方便.

解：原式=÷·（對(duì)于最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的，先變成相反數(shù)，并在前面添加負(fù)號(hào)，因本題有兩個(gè)部分變成了相反數(shù)，正好互相抵消.）

=÷·（對(duì)能分解因式的項(xiàng)都要進(jìn)行分解.）

=··（除法轉(zhuǎn)化成乘法，除號(hào)后面的那個(gè)分式的分子、分母要交換位置.）

=（約分，即約去公因式.）

∴當(dāng)a=2時(shí)，原式==. （將2代入化簡后的分式.）

深度探討：

第一，化簡分式時(shí)，一定要化簡得徹底，不能還存在公因式；

第二，分式的純乘除運(yùn)算，可以先因式分解，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法；也可以先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，再因式分解；

第三，對(duì)于其中有相反數(shù)的項(xiàng)，也可以在最后一步完成，但是約分時(shí)要分清哪些項(xiàng)是相反數(shù)，哪些項(xiàng)是一樣的. a-9與9-a互為相反數(shù)；而a+9和9+a是一樣的.

例2 （南通卷）先化簡，再求代數(shù)式的值：

1-÷，其中m=1.

解：原式=

-1÷=·=.

∴當(dāng)m=1時(shí)，原式=-.

深度探討：

第一，對(duì)于整數(shù)1，我們是把它轉(zhuǎn)化為；

第二，第一步在進(jìn)行括號(hào)內(nèi)運(yùn)算時(shí)，后面的除式也在進(jìn)行因式分解，也就是說在平時(shí)的解題時(shí)，可以省略掉若干過程.

例3 （遼寧錦州卷）先將

1-÷化簡，然后請(qǐng)自選一個(gè)你喜歡的x值代入求值.

解：原式=÷=·=x+2.

∴當(dāng)x=2時(shí)，原式=2+2=4.

深度探討：本題好像和上題差不多，而實(shí)際上卻暗藏陷阱.我們知道，分式有意義的條件是分母不等于0，仔細(xì)觀察本題的化簡過程，我們發(fā)現(xiàn)有三個(gè)因式在分母中：x、x+2、x-1，也就是說你不能取x=0、-2、1. 而一般情況下同學(xué)們都喜歡取0、1，因?yàn)橛?jì)算比較簡單；甚至有同學(xué)取-2，以為這樣正好答案為0，其實(shí)都是陷阱.

跟蹤練習(xí)：

1. 已知：a

+b+（2a-b+1）2=0，求÷

-1÷a

-.

2. 先化簡：÷（a+1）+，然后a在-1、1、2三個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值.

參考答案

1. 化簡：-；其中a、b的值通過聯(lián)立方程組得到，a=-，b=，結(jié)果是1.

2. ；a只能取2，結(jié)果是5.

（作者單位：江蘇省海門市六甲中學(xué)）

endprint

分式的化簡求值是中考常考的類型，2013年江蘇省13個(gè)地級(jí)市的中考數(shù)學(xué)試卷中，6個(gè)市考查了化簡求值、5個(gè)市考查了純化簡、2市未考. 在全國的近兩百份試卷中，出現(xiàn)化簡求值題非常多. 本文將從全國的中考試卷中選取具有代表性的此類問題，進(jìn)行深層探討，以期對(duì)同學(xué)們有所幫助.

在進(jìn)行化簡運(yùn)算時(shí)，書本第111頁闡述得很明確：與分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算類似，分式的加、減、乘、除混合運(yùn)算的順序是：先乘除，后加減，如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

例1 （湖北黃石卷改編）先化簡，再計(jì)算：

÷·，其中a=2.

分析：本題是三個(gè)分式純乘除的問題，解題原則是“哪個(gè)分式在前，先算哪個(gè)分式”，而實(shí)際操作時(shí)，一般都是先把除法轉(zhuǎn)化成乘法（并把除式的分子、分母顛倒位置），再一起約分運(yùn)算.本題還有一個(gè)要注意的地方，就是對(duì)于81-a2和9-a都要先變成相反數(shù)，這樣計(jì)算比較方便.

解：原式=÷·（對(duì)于最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的，先變成相反數(shù)，并在前面添加負(fù)號(hào)，因本題有兩個(gè)部分變成了相反數(shù)，正好互相抵消.）

=÷·（對(duì)能分解因式的項(xiàng)都要進(jìn)行分解.）

=··（除法轉(zhuǎn)化成乘法，除號(hào)后面的那個(gè)分式的分子、分母要交換位置.）

=（約分，即約去公因式.）

∴當(dāng)a=2時(shí)，原式==. （將2代入化簡后的分式.）

深度探討：

第一，化簡分式時(shí)，一定要化簡得徹底，不能還存在公因式；

第二，分式的純乘除運(yùn)算，可以先因式分解，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法；也可以先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，再因式分解；

第三，對(duì)于其中有相反數(shù)的項(xiàng)，也可以在最后一步完成，但是約分時(shí)要分清哪些項(xiàng)是相反數(shù)，哪些項(xiàng)是一樣的. a-9與9-a互為相反數(shù)；而a+9和9+a是一樣的.

例2 （南通卷）先化簡，再求代數(shù)式的值：

1-÷，其中m=1.

解：原式=

-1÷=·=.

∴當(dāng)m=1時(shí)，原式=-.

深度探討：

第一，對(duì)于整數(shù)1，我們是把它轉(zhuǎn)化為；

第二，第一步在進(jìn)行括號(hào)內(nèi)運(yùn)算時(shí)，后面的除式也在進(jìn)行因式分解，也就是說在平時(shí)的解題時(shí)，可以省略掉若干過程.

例3 （遼寧錦州卷）先將

1-÷化簡，然后請(qǐng)自選一個(gè)你喜歡的x值代入求值.

解：原式=÷=·=x+2.

∴當(dāng)x=2時(shí)，原式=2+2=4.

深度探討：本題好像和上題差不多，而實(shí)際上卻暗藏陷阱.我們知道，分式有意義的條件是分母不等于0，仔細(xì)觀察本題的化簡過程，我們發(fā)現(xiàn)有三個(gè)因式在分母中：x、x+2、x-1，也就是說你不能取x=0、-2、1. 而一般情況下同學(xué)們都喜歡取0、1，因?yàn)橛?jì)算比較簡單；甚至有同學(xué)取-2，以為這樣正好答案為0，其實(shí)都是陷阱.

跟蹤練習(xí)：

1. 已知：a

+b+（2a-b+1）2=0，求÷

-1÷a

-.

2. 先化簡：÷（a+1）+，然后a在-1、1、2三個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值.

參考答案

1. 化簡：-；其中a、b的值通過聯(lián)立方程組得到，a=-，b=，結(jié)果是1.

2. ；a只能取2，結(jié)果是5.

（作者單位：江蘇省海門市六甲中學(xué)）

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分式的化簡求值是中考常考的類型，2013年江蘇省13個(gè)地級(jí)市的中考數(shù)學(xué)試卷中，6個(gè)市考查了化簡求值、5個(gè)市考查了純化簡、2市未考. 在全國的近兩百份試卷中，出現(xiàn)化簡求值題非常多. 本文將從全國的中考試卷中選取具有代表性的此類問題，進(jìn)行深層探討，以期對(duì)同學(xué)們有所幫助.

在進(jìn)行化簡運(yùn)算時(shí)，書本第111頁闡述得很明確：與分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算類似，分式的加、減、乘、除混合運(yùn)算的順序是：先乘除，后加減，如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

例1 （湖北黃石卷改編）先化簡，再計(jì)算：

÷·，其中a=2.

分析：本題是三個(gè)分式純乘除的問題，解題原則是“哪個(gè)分式在前，先算哪個(gè)分式”，而實(shí)際操作時(shí)，一般都是先把除法轉(zhuǎn)化成乘法（并把除式的分子、分母顛倒位置），再一起約分運(yùn)算.本題還有一個(gè)要注意的地方，就是對(duì)于81-a2和9-a都要先變成相反數(shù)，這樣計(jì)算比較方便.

解：原式=÷·（對(duì)于最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的，先變成相反數(shù)，并在前面添加負(fù)號(hào)，因本題有兩個(gè)部分變成了相反數(shù)，正好互相抵消.）

=÷·（對(duì)能分解因式的項(xiàng)都要進(jìn)行分解.）

=··（除法轉(zhuǎn)化成乘法，除號(hào)后面的那個(gè)分式的分子、分母要交換位置.）

=（約分，即約去公因式.）

∴當(dāng)a=2時(shí)，原式==. （將2代入化簡后的分式.）

深度探討：

第一，化簡分式時(shí)，一定要化簡得徹底，不能還存在公因式；

第二，分式的純乘除運(yùn)算，可以先因式分解，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法；也可以先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，再因式分解；

第三，對(duì)于其中有相反數(shù)的項(xiàng)，也可以在最后一步完成，但是約分時(shí)要分清哪些項(xiàng)是相反數(shù)，哪些項(xiàng)是一樣的. a-9與9-a互為相反數(shù)；而a+9和9+a是一樣的.

例2 （南通卷）先化簡，再求代數(shù)式的值：

1-÷，其中m=1.

解：原式=

-1÷=·=.

∴當(dāng)m=1時(shí)，原式=-.

深度探討：

第一，對(duì)于整數(shù)1，我們是把它轉(zhuǎn)化為；

第二，第一步在進(jìn)行括號(hào)內(nèi)運(yùn)算時(shí)，后面的除式也在進(jìn)行因式分解，也就是說在平時(shí)的解題時(shí)，可以省略掉若干過程.

例3 （遼寧錦州卷）先將

1-÷化簡，然后請(qǐng)自選一個(gè)你喜歡的x值代入求值.

解：原式=÷=·=x+2.

∴當(dāng)x=2時(shí)，原式=2+2=4.

深度探討：本題好像和上題差不多，而實(shí)際上卻暗藏陷阱.我們知道，分式有意義的條件是分母不等于0，仔細(xì)觀察本題的化簡過程，我們發(fā)現(xiàn)有三個(gè)因式在分母中：x、x+2、x-1，也就是說你不能取x=0、-2、1. 而一般情況下同學(xué)們都喜歡取0、1，因?yàn)橛?jì)算比較簡單；甚至有同學(xué)取-2，以為這樣正好答案為0，其實(shí)都是陷阱.

跟蹤練習(xí)：

1. 已知：a

+b+（2a-b+1）2=0，求÷

-1÷a

-.

2. 先化簡：÷（a+1）+，然后a在-1、1、2三個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值.

參考答案

1. 化簡：-；其中a、b的值通過聯(lián)立方程組得到，a=-，b=，結(jié)果是1.

2. ；a只能取2，結(jié)果是5.

（作者單位：江蘇省海門市六甲中學(xué)）

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