感悟中點(diǎn)四邊形的研究方法與過(guò)程

劉德鑫+陳曉雯

在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發(fā)現(xiàn)圖中有很多的中點(diǎn)，聯(lián)想到剛學(xué)習(xí)的三角形中位線的知識(shí)，所以，第一反應(yīng)肯定是連接四邊形的對(duì)角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點(diǎn)所得的中點(diǎn)四邊形是不是也會(huì)變得特殊呢？于是，我們畫(huà)了一個(gè)矩形ABCD，順次連接各邊中點(diǎn)得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見(jiàn)四邊形EFGH為菱形. 根據(jù)上面的思路，還是連接對(duì)角線.若只連接一條明顯不能解決這個(gè)問(wèn)題.試試連接兩條對(duì)角線，謎底解開(kāi)了.

由矩形的對(duì)角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵時(shí)，發(fā)現(xiàn)說(shuō)明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對(duì)角線相等，再利用三角形中位線的性質(zhì)就可證明.

既然非特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過(guò)來(lái)說(shuō)，比如，連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細(xì)研究圖2，就會(huì)發(fā)現(xiàn)是通過(guò)證明鄰邊相等來(lái)說(shuō)明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對(duì)角線相等即可. 于是，我們畫(huà)了一個(gè)不規(guī)則的但對(duì)角線相等的四邊形并連接各邊中點(diǎn)，確實(shí)可得到菱形，也就是說(shuō)中點(diǎn)四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯(cuò)誤的. 同時(shí)，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點(diǎn)四邊形也是菱形.

在這個(gè)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)角線是決定中點(diǎn)四邊形的形狀的關(guān)鍵，中位線是聯(lián)系中點(diǎn)四邊形的邊與原四邊形的對(duì)角線之間關(guān)系的重要橋梁.同時(shí)，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點(diǎn)四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎(chǔ)，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質(zhì)得到四邊形EFGH是平行四邊形.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說(shuō)明凹四邊形的中點(diǎn)四邊形與它的面積關(guān)系呢？我們可以用類(lèi)似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點(diǎn)O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質(zhì)，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實(shí)，上述面積的計(jì)算方法還有很多，例如把一條對(duì)角線做底，再作高計(jì)算，也可得到同樣的關(guān)系.

在研究面積關(guān)系的過(guò)程中，三角形的中位線所構(gòu)成的如圖5這個(gè)基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關(guān)系，以及四個(gè)全等三角形，為我們整體轉(zhuǎn)化圖形的面積提供了基礎(chǔ). 所以說(shuō)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

在中點(diǎn)四邊形的研究過(guò)程中，不僅讓我們認(rèn)識(shí)到了對(duì)角線是決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨(dú)特的思維方式，也感受到了數(shù)學(xué)真的很有趣.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要敢想、敢做，你才會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，也讓我明白了基礎(chǔ)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，要注重方法的類(lèi)比和遷移，但方法要不斷創(chuàng)新. 總之，只要認(rèn)真探索，就一定能勇攀數(shù)學(xué)高峰.

教師點(diǎn)評(píng)：兩名小作者確實(shí)對(duì)中點(diǎn)四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點(diǎn)四邊形與原四邊形的關(guān)系，而且學(xué)會(huì)了聯(lián)想、模仿、類(lèi)比等基本的解決問(wèn)題的方法.作為學(xué)生，學(xué)習(xí)的最高境界是什么？我想用日本著名的數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏的經(jīng)典思想來(lái)回答：作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，出校門(mén)后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過(guò)程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，更多的是學(xué)會(huì)了作為精神、方法和思想的數(shù)學(xué).

（指導(dǎo)教師：胡華春）

endprint

在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發(fā)現(xiàn)圖中有很多的中點(diǎn)，聯(lián)想到剛學(xué)習(xí)的三角形中位線的知識(shí)，所以，第一反應(yīng)肯定是連接四邊形的對(duì)角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點(diǎn)所得的中點(diǎn)四邊形是不是也會(huì)變得特殊呢？于是，我們畫(huà)了一個(gè)矩形ABCD，順次連接各邊中點(diǎn)得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見(jiàn)四邊形EFGH為菱形. 根據(jù)上面的思路，還是連接對(duì)角線.若只連接一條明顯不能解決這個(gè)問(wèn)題.試試連接兩條對(duì)角線，謎底解開(kāi)了.

由矩形的對(duì)角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵時(shí)，發(fā)現(xiàn)說(shuō)明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對(duì)角線相等，再利用三角形中位線的性質(zhì)就可證明.

既然非特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過(guò)來(lái)說(shuō)，比如，連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細(xì)研究圖2，就會(huì)發(fā)現(xiàn)是通過(guò)證明鄰邊相等來(lái)說(shuō)明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對(duì)角線相等即可. 于是，我們畫(huà)了一個(gè)不規(guī)則的但對(duì)角線相等的四邊形并連接各邊中點(diǎn)，確實(shí)可得到菱形，也就是說(shuō)中點(diǎn)四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯(cuò)誤的. 同時(shí)，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點(diǎn)四邊形也是菱形.

在這個(gè)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)角線是決定中點(diǎn)四邊形的形狀的關(guān)鍵，中位線是聯(lián)系中點(diǎn)四邊形的邊與原四邊形的對(duì)角線之間關(guān)系的重要橋梁.同時(shí)，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點(diǎn)四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎(chǔ)，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質(zhì)得到四邊形EFGH是平行四邊形.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說(shuō)明凹四邊形的中點(diǎn)四邊形與它的面積關(guān)系呢？我們可以用類(lèi)似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點(diǎn)O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質(zhì)，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實(shí)，上述面積的計(jì)算方法還有很多，例如把一條對(duì)角線做底，再作高計(jì)算，也可得到同樣的關(guān)系.

在研究面積關(guān)系的過(guò)程中，三角形的中位線所構(gòu)成的如圖5這個(gè)基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關(guān)系，以及四個(gè)全等三角形，為我們整體轉(zhuǎn)化圖形的面積提供了基礎(chǔ). 所以說(shuō)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

在中點(diǎn)四邊形的研究過(guò)程中，不僅讓我們認(rèn)識(shí)到了對(duì)角線是決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨(dú)特的思維方式，也感受到了數(shù)學(xué)真的很有趣.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要敢想、敢做，你才會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，也讓我明白了基礎(chǔ)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，要注重方法的類(lèi)比和遷移，但方法要不斷創(chuàng)新. 總之，只要認(rèn)真探索，就一定能勇攀數(shù)學(xué)高峰.

教師點(diǎn)評(píng)：兩名小作者確實(shí)對(duì)中點(diǎn)四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點(diǎn)四邊形與原四邊形的關(guān)系，而且學(xué)會(huì)了聯(lián)想、模仿、類(lèi)比等基本的解決問(wèn)題的方法.作為學(xué)生，學(xué)習(xí)的最高境界是什么？我想用日本著名的數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏的經(jīng)典思想來(lái)回答：作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，出校門(mén)后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過(guò)程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，更多的是學(xué)會(huì)了作為精神、方法和思想的數(shù)學(xué).

（指導(dǎo)教師：胡華春）

endprint

在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發(fā)現(xiàn)圖中有很多的中點(diǎn)，聯(lián)想到剛學(xué)習(xí)的三角形中位線的知識(shí)，所以，第一反應(yīng)肯定是連接四邊形的對(duì)角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點(diǎn)所得的中點(diǎn)四邊形是不是也會(huì)變得特殊呢？于是，我們畫(huà)了一個(gè)矩形ABCD，順次連接各邊中點(diǎn)得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見(jiàn)四邊形EFGH為菱形. 根據(jù)上面的思路，還是連接對(duì)角線.若只連接一條明顯不能解決這個(gè)問(wèn)題.試試連接兩條對(duì)角線，謎底解開(kāi)了.

由矩形的對(duì)角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵時(shí)，發(fā)現(xiàn)說(shuō)明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對(duì)角線相等，再利用三角形中位線的性質(zhì)就可證明.

既然非特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過(guò)來(lái)說(shuō)，比如，連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細(xì)研究圖2，就會(huì)發(fā)現(xiàn)是通過(guò)證明鄰邊相等來(lái)說(shuō)明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對(duì)角線相等即可. 于是，我們畫(huà)了一個(gè)不規(guī)則的但對(duì)角線相等的四邊形并連接各邊中點(diǎn)，確實(shí)可得到菱形，也就是說(shuō)中點(diǎn)四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯(cuò)誤的. 同時(shí)，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點(diǎn)四邊形也是菱形.

在這個(gè)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)角線是決定中點(diǎn)四邊形的形狀的關(guān)鍵，中位線是聯(lián)系中點(diǎn)四邊形的邊與原四邊形的對(duì)角線之間關(guān)系的重要橋梁.同時(shí)，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點(diǎn)四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎(chǔ)，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質(zhì)得到四邊形EFGH是平行四邊形.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說(shuō)明凹四邊形的中點(diǎn)四邊形與它的面積關(guān)系呢？我們可以用類(lèi)似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點(diǎn)O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質(zhì)，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實(shí)，上述面積的計(jì)算方法還有很多，例如把一條對(duì)角線做底，再作高計(jì)算，也可得到同樣的關(guān)系.

在研究面積關(guān)系的過(guò)程中，三角形的中位線所構(gòu)成的如圖5這個(gè)基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關(guān)系，以及四個(gè)全等三角形，為我們整體轉(zhuǎn)化圖形的面積提供了基礎(chǔ). 所以說(shuō)，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

在中點(diǎn)四邊形的研究過(guò)程中，不僅讓我們認(rèn)識(shí)到了對(duì)角線是決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨(dú)特的思維方式，也感受到了數(shù)學(xué)真的很有趣.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要敢想、敢做，你才會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，也讓我明白了基礎(chǔ)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，要注重方法的類(lèi)比和遷移，但方法要不斷創(chuàng)新. 總之，只要認(rèn)真探索，就一定能勇攀數(shù)學(xué)高峰.

教師點(diǎn)評(píng)：兩名小作者確實(shí)對(duì)中點(diǎn)四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點(diǎn)四邊形與原四邊形的關(guān)系，而且學(xué)會(huì)了聯(lián)想、模仿、類(lèi)比等基本的解決問(wèn)題的方法.作為學(xué)生，學(xué)習(xí)的最高境界是什么？我想用日本著名的數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏的經(jīng)典思想來(lái)回答：作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，出校門(mén)后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過(guò)程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，更多的是學(xué)會(huì)了作為精神、方法和思想的數(shù)學(xué).

（指導(dǎo)教師：胡華春）

endprint