認(rèn)清凹四邊形的中點(diǎn)四邊形的“真面目”

胡華春

探究一：請你畫一個凹四邊形ABCD，順次連接各邊中點(diǎn)E、F、G、H得中點(diǎn)四邊形EFGH，請你說明它是一個平行四邊形. 然后，請你探索當(dāng)四邊形EFGH為菱形時，原四邊形ABCD應(yīng)該滿足什么條件.

證明：連接AC、BD， 如圖1.在△ABC中，∵點(diǎn)E、F是中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=AC，同理，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥HG，EF=HG. ∴四邊形EFGH是平行四邊形.要四邊形EFGH是菱形，只需其鄰邊EF=FG.

在△BCD中，∵點(diǎn)F、G是中點(diǎn)，∴FG=BD. 又∵EF=AC，所以要EF=FG，只要AC=BD即可.所以，當(dāng)凹四邊形滿足對角線相等時，中點(diǎn)四邊形是菱形.

探究二：當(dāng)中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形時，凹四邊形ABCD應(yīng)該滿足什么條件？

證明：連接AC、BD，延長AC交FG于點(diǎn)M、交BD于點(diǎn)N，如圖2.

當(dāng)對角線滿足垂直且相等時，四邊形EFGH是正方形.

由探究一可知，當(dāng)對角線AC=BD時，中點(diǎn)四邊形一定是菱形. ∵△CBD中，點(diǎn)G、F是中點(diǎn)，∴GF∥BD，又∵AC⊥BD，∴AM⊥FG，∵△ACD中，點(diǎn)G、H是中點(diǎn)，∴GH∥AC，又AM⊥FG，∴HG⊥FG，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形.

所以，當(dāng)凹四邊形滿足對角線垂直且相等時，中點(diǎn)四邊形是正方形.

探究3：凹四邊形的中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

證明：連接AC，取AC中點(diǎn)O，連接OE、OH、EC，如圖3. 在△ABC中，∵點(diǎn)E、O是中點(diǎn)，∴EO

=BC=CF，同理，OH

=CG，EH=FG，∴△OEH≌△CFG，從而，四邊形EFGH的面積轉(zhuǎn)化為四邊形EFCO和HGCO的面積之和.

∵△AEO和△ECO等底同高，∴△AEO和△ECO面積相等，同理，△BEF和△CEF面積相等. 又EO=FC，EF=CO，EC=EC. 得△OEC≌△FCE. ∴四邊形EFCO的面積是△ABC的面積的一半.

同理，四邊形HGCO的面積是△ADC的面積的一半.

∴四邊形EFGH的面積是凹四邊形ABCD的面積的一半.

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學(xué)）

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探究一：請你畫一個凹四邊形ABCD，順次連接各邊中點(diǎn)E、F、G、H得中點(diǎn)四邊形EFGH，請你說明它是一個平行四邊形. 然后，請你探索當(dāng)四邊形EFGH為菱形時，原四邊形ABCD應(yīng)該滿足什么條件.

證明：連接AC、BD， 如圖1.在△ABC中，∵點(diǎn)E、F是中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=AC，同理，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥HG，EF=HG. ∴四邊形EFGH是平行四邊形.要四邊形EFGH是菱形，只需其鄰邊EF=FG.

在△BCD中，∵點(diǎn)F、G是中點(diǎn)，∴FG=BD. 又∵EF=AC，所以要EF=FG，只要AC=BD即可.所以，當(dāng)凹四邊形滿足對角線相等時，中點(diǎn)四邊形是菱形.

探究二：當(dāng)中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形時，凹四邊形ABCD應(yīng)該滿足什么條件？

證明：連接AC、BD，延長AC交FG于點(diǎn)M、交BD于點(diǎn)N，如圖2.

當(dāng)對角線滿足垂直且相等時，四邊形EFGH是正方形.

由探究一可知，當(dāng)對角線AC=BD時，中點(diǎn)四邊形一定是菱形. ∵△CBD中，點(diǎn)G、F是中點(diǎn)，∴GF∥BD，又∵AC⊥BD，∴AM⊥FG，∵△ACD中，點(diǎn)G、H是中點(diǎn)，∴GH∥AC，又AM⊥FG，∴HG⊥FG，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形.

所以，當(dāng)凹四邊形滿足對角線垂直且相等時，中點(diǎn)四邊形是正方形.

探究3：凹四邊形的中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

證明：連接AC，取AC中點(diǎn)O，連接OE、OH、EC，如圖3. 在△ABC中，∵點(diǎn)E、O是中點(diǎn)，∴EO

=BC=CF，同理，OH

=CG，EH=FG，∴△OEH≌△CFG，從而，四邊形EFGH的面積轉(zhuǎn)化為四邊形EFCO和HGCO的面積之和.

∵△AEO和△ECO等底同高，∴△AEO和△ECO面積相等，同理，△BEF和△CEF面積相等. 又EO=FC，EF=CO，EC=EC. 得△OEC≌△FCE. ∴四邊形EFCO的面積是△ABC的面積的一半.

同理，四邊形HGCO的面積是△ADC的面積的一半.

∴四邊形EFGH的面積是凹四邊形ABCD的面積的一半.

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學(xué)）

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探究一：請你畫一個凹四邊形ABCD，順次連接各邊中點(diǎn)E、F、G、H得中點(diǎn)四邊形EFGH，請你說明它是一個平行四邊形. 然后，請你探索當(dāng)四邊形EFGH為菱形時，原四邊形ABCD應(yīng)該滿足什么條件.

證明：連接AC、BD， 如圖1.在△ABC中，∵點(diǎn)E、F是中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=AC，同理，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥HG，EF=HG. ∴四邊形EFGH是平行四邊形.要四邊形EFGH是菱形，只需其鄰邊EF=FG.

在△BCD中，∵點(diǎn)F、G是中點(diǎn)，∴FG=BD. 又∵EF=AC，所以要EF=FG，只要AC=BD即可.所以，當(dāng)凹四邊形滿足對角線相等時，中點(diǎn)四邊形是菱形.

探究二：當(dāng)中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形時，凹四邊形ABCD應(yīng)該滿足什么條件？

證明：連接AC、BD，延長AC交FG于點(diǎn)M、交BD于點(diǎn)N，如圖2.

當(dāng)對角線滿足垂直且相等時，四邊形EFGH是正方形.

由探究一可知，當(dāng)對角線AC=BD時，中點(diǎn)四邊形一定是菱形. ∵△CBD中，點(diǎn)G、F是中點(diǎn)，∴GF∥BD，又∵AC⊥BD，∴AM⊥FG，∵△ACD中，點(diǎn)G、H是中點(diǎn)，∴GH∥AC，又AM⊥FG，∴HG⊥FG，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形.

所以，當(dāng)凹四邊形滿足對角線垂直且相等時，中點(diǎn)四邊形是正方形.

探究3：凹四邊形的中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

證明：連接AC，取AC中點(diǎn)O，連接OE、OH、EC，如圖3. 在△ABC中，∵點(diǎn)E、O是中點(diǎn)，∴EO

=BC=CF，同理，OH

=CG，EH=FG，∴△OEH≌△CFG，從而，四邊形EFGH的面積轉(zhuǎn)化為四邊形EFCO和HGCO的面積之和.

∵△AEO和△ECO等底同高，∴△AEO和△ECO面積相等，同理，△BEF和△CEF面積相等. 又EO=FC，EF=CO，EC=EC. 得△OEC≌△FCE. ∴四邊形EFCO的面積是△ABC的面積的一半.

同理，四邊形HGCO的面積是△ADC的面積的一半.

∴四邊形EFGH的面積是凹四邊形ABCD的面積的一半.

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學(xué)）

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