探究高考中的三角函數(shù)

邸紅梅

摘要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的基本初等函數(shù)之一，在高考中所占分?jǐn)?shù)比重較大，是高中教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，同時(shí)也是高考的熱點(diǎn)。三角函數(shù)部分主要包括三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及解三角形及其在生活中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；高考；解題方法中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2014）12-0289-02根據(jù) 《2013年福建省數(shù)學(xué)高考考試說(shuō)明》指出，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性、周期性和奇偶性，從而進(jìn)一步刻畫(huà)了函數(shù)的概念與性質(zhì)的掌握和認(rèn)知。因此，高考中不僅要考查以三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式為工具的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，也要突出考察三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，更重要的是以三角公式為素材，重點(diǎn)考察數(shù)學(xué)的思想方法。

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)基本初等函數(shù)之一，對(duì)研究三角形和建模周期現(xiàn)象、物理學(xué)和許多其他問(wèn)題來(lái)講，都是至關(guān)重要的基礎(chǔ)知識(shí)。前面在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)為三角函數(shù)奠定了牢固的基礎(chǔ)。而三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用，也使得函數(shù)的內(nèi)容和意義得到了升華和延伸。而高中生往往面對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容只會(huì)單純的背誦公式，遇到問(wèn)題時(shí)又手忙腳亂，不知如何下手，既找不到問(wèn)題的解決辦法，也茫然不知在眾多的公式中該選擇哪個(gè)。而在高考中，三角函數(shù)部分的設(shè)計(jì)往往是基礎(chǔ)題一到兩個(gè)，解答題一題，總分在20分左右，占據(jù)龐大比例，因此有必要有針對(duì)性地分析探究幾種三角函數(shù)問(wèn)題類型及解決方案。

1.考查三角函數(shù)的基本概念與基本公式問(wèn)題

?？疾槔萌呛瘮?shù)的定義、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和（差）公式及倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值。

例1： 已知sin(π6－α)＝13，則cos(2π3＋2α)等于 ()

A.-79B.－13C.13D.79

答案A

解析∵(π3＋α)＋(π6－α)＝π2，

∴sin(π6－α)＝sin[π2－(π3＋α)]＝cos(π3＋α)＝13.

則cos(2π3＋2α)＝2cos2(π3＋α)－1＝－79.

點(diǎn)評(píng)：利用同角三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式、二倍角來(lái)解決問(wèn)題，在解題過(guò)程中一定注意對(duì)三角函數(shù)的符號(hào)的選擇，不同的象限，取值不同。引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成計(jì)算，取值等易錯(cuò)點(diǎn)。對(duì)于復(fù)雜的化簡(jiǎn)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生不能盲目的套用公式，要依據(jù)已知條件，努力構(gòu)造所需要的結(jié)果的形式，化簡(jiǎn)或整理過(guò)程要由負(fù)到正，由異到同，由高到低，由繁化簡(jiǎn)，盡量由題目的本身?xiàng)l件出發(fā)，尋找解答結(jié)論的突破口。這類題目源于基礎(chǔ)，又高于基礎(chǔ)，有一定的考查難度和解題思路的要求。

2.考查三角函數(shù)的圖像問(wèn)題

學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是基礎(chǔ)理論,而函數(shù)的圖像是構(gòu)成基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要部分.而 "數(shù)形結(jié)合思想"在高中數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位，所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)屬性互相轉(zhuǎn)化來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題，可以以形解數(shù)，也可以以數(shù)定形，把直觀圖形與抽象的數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言相結(jié)合。這一解題方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，并應(yīng)用在生活實(shí)際中。

因此能夠掌握并充分利用好函數(shù)圖像是學(xué)習(xí)理論知識(shí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié).首先，要能夠正確畫(huà)出并合理應(yīng)用函數(shù)圖像,這樣能在很大程度上能幫助我們理解、鞏固所學(xué)的理論知識(shí).其次，要借助于圖像,能使所研究的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、清晰化、直觀化.所以在教學(xué)中,一定要加強(qiáng)學(xué)生作圖、識(shí)圖、用圖的本領(lǐng)。使學(xué)生從根本上明確函數(shù)圖像的重要地位,并在實(shí)踐中加以應(yīng)用.

例3、(2012?高考四川卷) 函數(shù)f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形

(Ⅰ)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域；

(Ⅱ)若f(x0)＝835，且x0∈(－103，23)，求f(x0＋1)的值．

解：(Ⅰ)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋3sinωx＝23sin(ωx＋π3)．

又正三角形ABC的高為23，從而B(niǎo)C＝4.

所以函數(shù)f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.

函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－23，23]．

(Ⅱ)因?yàn)閒(x0)＝835，由(Ⅰ)有

f(x0)＝23sin(πx04＋π3)＝835，

即sin(πx04＋π3)＝45.

由x0∈－(103，23)，知πx04＋π3∈(－π2，π2)，

所以cos(πx04＋π3)＝1－(45)2＝35.

故f(x0＋1)＝23sin(πx04＋π4＋π3)＝23sin[(πx04＋π3)＋π4]

＝23[sin(πx04＋π3)cosπ4＋cos(πx04＋π3)sinπ4]

＝23(45×22＋35×22)＝765.

點(diǎn)評(píng)：本題完整的結(jié)合了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖像、三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)內(nèi)容，首先觀察圖形特征，各種長(zhǎng)度取值對(duì)問(wèn)題的影響，從而通過(guò)三角形的邊長(zhǎng)解決三角函數(shù)的周期，求出函數(shù)的解析式。

方法總結(jié)：針對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象求其解析式的問(wèn)題，主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮：

①k的確定：根據(jù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，即k＝最高點(diǎn)＋最低點(diǎn)2；

②A的確定：根據(jù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，即A＝最高點(diǎn)－最低點(diǎn)2

③ω的確定：根據(jù)圖象，先求出周期T，然后由T＝2πω(ω>0)來(lái)確定ω；

④φ的確定：由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k最開(kāi)始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)確定φ.

引導(dǎo)學(xué)生解決圖像問(wèn)題要多觀察，多動(dòng)腦，結(jié)合三角函數(shù)的圖形特征及其性質(zhì)，解決三角函數(shù)中數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題。

3.考查三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題

例4、 (2012?高考湖北卷)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，23cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a?b＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈(12，1).

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(Ⅱ) 若y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(π4，0)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3π5]上的取值范圍．

解：(Ⅰ)因?yàn)閒(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx?cosωx＋λ

＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ.

由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，

可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．

又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.

(Ⅱ)由y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(π4，0)， 得f(π4)＝0，

即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.

故f(x)＝2sin(53x－π6)－2，

由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，

所以－12≤sin(53x－π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x－π6)－2≤2－2，

故函數(shù)f(x)在(0，3π5)上的取值范圍為[－1－2，2－2]

點(diǎn)評(píng)：(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解．

(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)到以下幾種類型的題目：

①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；