用博弈論知識(shí)分析"石頭剪刀布"游戲

石盟盟

摘要：本文是用數(shù)學(xué)知識(shí)（博弈論）去分析"石頭剪刀布"游戲，得出兩個(gè)結(jié)果：(1)第一次出招時(shí)可以隨意出剪刀、石頭或者布獲勝的概率都為1/3；(2)在假設(shè)游戲參與者一般不可能連續(xù)兩次出相同招式的情況下，給出游戲參與者怎么做才能更大概率的獲勝這一方法。本文充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：博弈論;零和博弈;混合戰(zhàn)略中圖分類(lèi)號(hào)：G648文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2014）12-0294-01平時(shí)，大家有時(shí)會(huì)玩"石頭剪子布"的游戲。 游戲規(guī)則是用握緊的拳頭表示石頭，用伸直的中指和食指表示剪刀，用張開(kāi)的手掌表示布。最后勝負(fù)的規(guī)則為：石頭勝剪刀；剪刀勝布；布勝石頭。如果雙方出相同的手勢(shì)，表示平局。以下我們用博弈論的知識(shí)分析 "石頭剪刀布"游戲的技巧。

事實(shí)上，我們沒(méi)有辦法猜出對(duì)手第一招怎么出，否則就不叫游戲了。在這種情形下第一招應(yīng)該怎么出，下面表（一）我們給出"石頭剪刀布"游戲的戰(zhàn)略式描述。

1.模型建立及求解

表1"石頭剪刀布"游戲的戰(zhàn)略式描述

參與人2

參與人1石頭剪刀布石頭0，01，-1-1,1剪刀-1,10,01,-1布1,-1-1,10,0無(wú)論是參與人1還是參與人2都會(huì)以某一概率出石頭，出剪刀或者出布，因此此戰(zhàn)略為混合戰(zhàn)略，又易見(jiàn)此為零和博弈。

下面定理1我們將給出混合戰(zhàn)略Nash均衡的規(guī)劃求解法：

定理1[1]：對(duì)于所給的零和博弈，若博弈的值v大于0，那么博弈的Nash均衡是下面對(duì)偶線性規(guī)劃問(wèn)題的解

和

其中，Nash均衡支付

Nash均衡戰(zhàn)略

上述定理1只適用于v>0的情形，而對(duì)于v≤0的情形，可以作一些修改。

命題1[2]:如果支付矩陣的每個(gè)元素都大于0，那么博弈的值大于0，即v>0。

命題2[1]:如果支付矩陣是由的每個(gè)元素都加上一個(gè)常數(shù)C得到，即，那么支付矩陣U和U*所對(duì)應(yīng)的零和博弈的Nash均衡戰(zhàn)略相同，博弈的值相差C。

上面博弈的支付矩陣為

在這個(gè)矩陣中由于。我們構(gòu)造支付矩陣，其中。令C=1，則我們構(gòu)造的支付矩陣為

根據(jù)上面的定理1，我們用規(guī)劃求解法求解Nash均衡，構(gòu)造規(guī)劃問(wèn)題如下：

和

通過(guò)求解對(duì)偶問(wèn)題，得到，參與人1的支付，參與人2的支付。因此參與人1的混合戰(zhàn)略，參與人2的混合戰(zhàn)略原博弈的值。所以，博弈存在一個(gè)混合戰(zhàn)略的Nash均衡。

3.結(jié)論

由上可見(jiàn)在出第一招時(shí)，參與人1，參與人2以1/3概率出石頭，剪刀或布即可，不用考慮太多。

我們的博弈技巧在于第二招。和局的情況下雙方第一招出的肯定是相同的。假設(shè)雙方都出石頭，按照一般人不會(huì)連出同一招的假定，留給對(duì)手可出的第二招有布和剪刀，易見(jiàn)我們只要出剪刀便可保證不敗，如果對(duì)手第二招也出剪刀，按照一般人不連出同一招的假定，則留給對(duì)手第三招可以出的有石頭和布，因此第三招我們出布便可保證不敗。如此循環(huán)下去，我們贏的概率將非常大。參考文獻(xiàn)：

[1]《博弈論教程》，羅云峰主編，清華大學(xué)出版社；（第53到55頁(yè)）

[2] 《博弈論及其應(yīng)用》，肖條軍著，上海三聯(lián)書(shū)店；（第45頁(yè)到第55頁(yè)）