基于CARE模型的金融市場VaR和ES度量

鐘山+傅強

摘要：次貸危機余波未了，歐債危機又風生水起。在此背景下，深入研究金融市場風險的度量方法及其預測防范機制，對推進金融市場改革、維護國家金融安全具有重要的參考價值。本文以期望分位數（Expectile）模型為基礎，結合CAViaR模型，構建出條件自回歸期望分位數模型（CARE），并以此來計算金融收益序列的VaR和ES，用以度量金融市場風險。通過對上證指數和深圳成指的實證分析發現：CARE模型在對金融收益序列的VaR估計和預測方面，明顯優于風險管理實務界主流的RiskMetrics模型，也優于CAViaR模型，而且在ES度量方面也有著非常明顯的優勢。

關鍵詞：條件自回歸期望分位數模型；非對稱最小二乘法；動態分位數檢驗；自舉檢驗

中圖分類號：F830.9文獻標識碼：A文章編號：10035192(2014)03004005doi：10.11847/fj.33.3.40

Abstract:Influence of the subprime crisis has not eliminated，while the European debt crisis is blustering. In this context, an indepth study of the financial market risk has played an important role on the development of Chinas economy. This paper proposes the Conditional Autoregressive Expectile models, which is based on Asymmetric Least Squares and CAViaR models, to estimate VaR and ES. Thus, the financial market risk can be described by CARE models. The empirical results show that CARE models are better than RiskMetrics and CAViaR models in estimating VaR. Furthermore, the CARE models have distinct advantages in estimating ES.

Key words:Conditional Autoregressive Expectile models(CARE); Asymmetric Least Squares(ALS); dynamic quantile test; bootstrap test

1引言

次貸危機余波未了，歐債危機又風生水起。頻繁發生金融危機的主要原因在于金融機構對其自身風險的估計嚴重不足，缺乏相應的風險防范措施。目前，金融機構的風險度量大多采用的是VaR指標，再輔之以其他的分析指標來做補充。然而，計算VaR是在特定假設條件下進行的，如數據分布的正態性等，有時這些假設與現實并不相符，而且VaR只是市場處于正常變動下的市場風險的有效測量，不能處理金融市場處于極端價格變動的情形，如政策變化、股市崩盤、金融危機等。

VaR是目前市場風險度量的主流方法與核心手段，它用于度量某一金融資產組合在既定時間和給定置信水平（通常是1%或5%）時所面臨的潛在最大損失。故P(yt≥VaRt)=1-α，即VaRt(α)=-qt(α)，其中yt為金融資產的收益率，α為給定的置信水平，-qt(α)為置信水平α所對應的損益分布的分位數，為了研究方便，一般取其相反數，即VaRt(α)=qt(α)。

一般來說，金融資產的收益分布都具有尖峰厚尾的特征, 而在VaR度量中廣泛應用的正態分布與實際金融收益分布之間存在著較大的差距；并且VaR僅度量了損益分布的分位數, 忽略了高于VaR水平的極端情況的損失；此外，Artzner和Delbain等［1］，Acerbi和Tasche［2］指出：VaR不滿足次可加性，破壞了風險分散化原理，不是一致風險估計。

Yamai和Yoshiba［3］提出的ES（Expected Shortfall）模型則克服了這些弱點，因而得到了日益廣泛的應用。ES被定義為超過VaR水平損失的條件期望值，其表達式為

ESt(α)=E［yt｜yt≥VaRt(α)］(1)

2金融市場VAR和ES度量技術的演變

金融市場風險度量方法主要可分為三類：參數法、半參數法和非參數法。

參數法中應用最廣泛的是GARCH模型。這種模型用條件波動和對分布進行假設來估計條件分位數，常被用于預測金融時間序列數據的波動性和相關性［4］，其用于計算ES也是簡而易懂的。但參數法卻依賴對分布進行的假設，而常用的正態分布、Studentst分布和指數分布等橢圓分布往往與實際金融收益分布有很大的差距，導致VaR和ES度量也與實際值的差距比較大。

鐘山，等：基于CARE模型的金融市場VaR和ES度量Vol.33, No.3預測2014年第3期半參數法主要包括極值理論和基于分位數回歸法［5］的CAViaR模型等方法。極值理論采用統計方法，通過描述價值變化的尾部統計特征，給出極端條件下的VaR值。但金融收益序列中存在的異方差阻礙了極值理論的直接應用。為了克服這一點，McNeil和Frey［6］提出了超過閥值的極值理論和廣義帕累托分布模型，該方法適用于GARCH條件波動模型的標準殘差估計，可以很好地估計其分位數，這也為ES度量提供了一種有效的分析方法。Manganelli和Engle［7］的CAViaR模型是在GARCH模型的基礎上推出的，與GARCH模型有相似的結構，其四個常用表達式如下

間接GARCH(1,1)模型

VaRt(α)=β0+β1VaR2t-1(α)+β2y2t-1(2)

對稱絕對值模型(SAV)

VaRt(α)=β0+β1VaRt-1(α)+β2｜yt-1｜(3)

非對稱模型(AS)

VaRt(α)=β0+β1VaRt-1(α)+β2(yt-1)++β3(yt-1)-(4)

適應性模型（Adaptive）

VaRt(α)=VaRt-1(α)+β1［I(yt-1<-VaRt-1(α))-α］(5)

其中I(y)為指示函數，yt為金融資產的收益率系列，且yt=rt-E(rt｜yt-1),rt是第t期的回報值，E(rt｜yt-1)是條件期望值，等于一個常數，一般取0，(yt-1)+和(yt-1)-分別代表yt-1的正部和負部。

使用最廣泛的非參數法是Monte Carlo模擬法和歷史模擬法。Monte Carlo模擬法適用于數據不充分或現有數據不滿足參數法要求等情況，對決定市場價格和收益率的情況進行重復模擬，當模擬次數足夠多時，模擬分布就趨于真實分布，但其計算復雜，完全依賴計算機；歷史模擬法的分布形式完全由數據決定，不會丟失和扭曲信息，ES可用收益均值來估計，這比VaR估計更科學。但歷史模擬法的難點是應選擇多少個過去時間段，涵蓋的數據太少有可能導致很大的抽樣誤差，數據過多則可能導致估計值對真實分布的反應太慢。

國內關于風險度量的研究主要有：朱國慶，張維等［8］綜述了極值理論在科技、工程等領域，特別是在金融風險管理領域的應用；陳學華，楊耀輝［9］從收益率的波動性和分布兩方面進行考慮, 建立了計算時變風險值的VaR和ES模型, 結果表明基于廣義極值分布的VaR模型能夠較好地刻畫高頻時間序列的尖峰厚尾及杠桿效應等特性，而ES模型則有效地彌補了VaR模型的不足之處；余素紅，張世英等［10］對基于GARCH模型和SV模型的VaR度量做了比較，指出SV模型能夠更好地擬合金融時間序列尖峰厚尾的特性；魏宇［11］認為與條件正態分布和條件t分布等常用收益分布假定相比，條件EVT分布在測度極端市場風險時表現出一定的優越性。這些研究成果對于深刻認識和把握我國金融市場風險狀況都具有積極的現實作用。

3條件自回歸期望分位數（CARE）模型

眾所周知，尾部概率分位數q(α)，即以分位數為基礎的VaR估計值（以下簡稱QVaR），只取決于極端損失的概率而不是其規模和價值。因此，只要保證尾部分布的概率相同，即便尾部分布完全不同，也能夠得到相同的VaR值。而且QVaR是正常市場環境中金融資產的風險衡量，完全忽視了分位點左側的風險值，當極端損失出現時，QVaR在度量風險時就會出現完全低估風險的情況。而事實上，風險從業人員和監管部門通常更關心的就是在異常波動和極端損失出現的情況下，金融資產所面臨的最大潛在風險。

為避免QVaR模型的上述缺點，本文采用以Expectile模型為基礎的VaR度量方法(以下簡稱EVaR)來構建條件自回歸期望分位數模型(CARE)。EVaR是以Expectile模型為基礎［12］，構建的一種比QVaR更為靈敏的VaR度量方法。由于Expectile模型的二次損失函數的特性，因此EVaR更易于反映極端損失下的潛在風險值。

定義概率分布函數：F(x)=∫x-∞f(y)dy，其中f(x)為概率密度函數，結合非對稱最小二乘法（ALS），可構造出Expectile回歸模型

minμ(θ) E［｜θ-I(y≤μ(θ))｜［y-μ(θ)］2］(6)

其中θ為ALS參數值。為符合金融實業界使用置信水平α的習慣，μ(θ)是損益分布的期望分位數，定義：對于任意給定的置信水平α∈(0,1)，當θ∈(0,1)時,都有μ(θ)=q(α)，即α=F(μ(θ))。

其最小值的一階條件為

(1-θ)∫μ(θ)-∞(y-μ(θ))dF(y)+

θ∫+∞μ(θ)(y-μ(θ))dF(y)=0(7)

整理得

(1-2θθ)E［(y-μ(θ))I(y<μ(θ))］=μ(θ)-E(y)(8)

3.1基于Expectile模型的VaR估計

由表達（7）式推得

θ=∫μ(θ)-∞(y-μ(θ))dF(y)∫μ(θ)-∞(y-μ(θ))dF(y)+∫+∞μ(θ)(y-μ(θ))dF(y)

=∫μ(θ)-∞(y-μ(θ))dF(y)∫+∞-∞(y-μ(θ))dF(y)(9)

即μ(θ)=λE(y｜y>μ(θ))+(1-λ)E(y｜y≤μ(θ))，其中

λ=θ［1-FY(μ(θ))］θ［1-FY(μ(θ))］+(1-θ)FY(μ(θ))

=θ(1-α)θ(1-α)+α(1-θ)

可以認為μ(θ)是當y>μ(θ)時的加權平均概率，是E(y｜y>μ(θ))與E(y｜y≤μ(θ))之間的平衡值，即

EVaR(α)=λE(y｜y>μ(θ))+(1-λ)E(y｜y≤μ(θ))

λ=θ(1-α)θ(1-α)+α(1-θ)(10)

3.2基于Expectile模型的ES估計

由表達（8）式推得

E(y｜y<μ(θ))=(1+θ(1-2θ)F(μ(θ)))μ(θ)-

θ(1-2θ)F(μ(θ))E(y)(11)

又α=F(μ(θ))，聯立（1）式和（11）式，可得

ES(α)=(1+θ(1-2θ)α)μ(θ)-θ(1-2θ)αE(y)

考慮到時間序列的變動，而條件ES是建立在t-1期的基礎上的，故第t期的條件期望分位數μt(θ)與ESt(α)之間的關系可以表示為

ESt(α)=(1+θ(1-2θ)α)μt(θ)-θ(1-2θ)αE(yt)(12)

由于現實中金融資產的平均收益率大多趨近于0，故可以認為E(yt)=0，簡化起見，(12)式可化為

ESt(α)=(1+θ(1-2θ)α)μt(θ)(13)

3.3條件自回歸期望分位數（CARE）模型

由于CAViaR模型有著很多的優點：完全避開了收益分布的假設，直接從分位數的角度進行風險建模，只要有歷史收益率和設定一個置信水平，通過一定的回歸方法和優化算法，就可以直接計算出VaR值，不僅考慮了收益的類聚性，也很好地處理了收益序列的尾部分布。所以我們考慮使用CAViaR模型來構建條件自回歸Expectile模型。

考慮到模型的簡化和實用性，本文選取間接GARCH(1,1)CAViaR模型和SAVCAViaR模型為基礎構建CARE模型。以間接GARCH(1,1)CAViaR模型為例，將(2)式線性變換

VaR2t(α)=β0+β1VaR2t-1(α)+β2y2t-1(14)

則間接GARCH(1，1)CARE模型可以表示為

EVaR2t(θ)=β0+β1EVaR2t-1(θ)+β2y2t-1(15)

結合表達（13）式可以推出條件ES模型

ES2t(α)=γ0+γ1ES2t-1(α)+γ2y2t-1(16)

其中γi=［1+θ(1-2θ)α］2βi(i=0,2),γ1=β1。同理可得，SAVCARE模型

EVaRt(θ)=β0+β1EVaRt-1(θ)+β2｜yt-1｜(17)

條件ES模型

ESt(α)=γ0+γ1ESt-1(α)+γ2｜yt-1｜(18)

4實證分析與檢驗

為檢驗CARE模型對于中國股市風險的穩定性，本文選取上證指數和深圳成指每日收盤價作為樣本。鑒于2005年5月9日證監會推出了股權分置改革，實現了中國股市的第二次革命，故選擇時間跨度為2005年5月9日到2012年8月29日，其間包含了次貸危機和歐債危機兩個重要的金融事件，所有數據均來自新浪財經的公共數據庫。考慮到突發事件等因素，剔除交易日不重合的數據，每種指數均得到T=1795組有效數據。

兩種指數日收益率序列的基本統計描述顯示：偏度為負，說明收益率分布不對稱，呈左偏；峰度都大于3，說明收益率的尾部比正態分布要厚；分布都呈現尖峰厚尾的特征，說明如果用一般的正態分布是不能準確模擬股市真實情形的；ADF檢驗結果表明：兩個股市收益率顯著拒絕單位根的零假設，說明兩個序列都是平穩時間序列，可以進行進一步的分析和計量建模。

4.1參數估計

表1給定的置信水平下的ALS參數θ（×100）值

置信水平α1%5%CARE模型GARCH(1，1)

模型SAV模型GARCH(1，1)

模型SAV模型上證指數0.15620.14391.7411.623深圳成指0.20670.19831.8541.905

由于現實中金融收益序列分布呈現尖峰厚尾的特征，常用的正態分布、偏t分布等橢圓分布不能準確擬合金融收益序列的特征，故本文采用步長為0.001的三次樣條插值的方法來近似估計不同置信水平下的兩種CARE模型的最佳ALS參數值。具體參數估計值詳見表1。

為了較好地估計出模型的未知參數，選取固定長度滾動時間窗的樣本外預測法，結合對尾部分布沒有要求的分位數回歸法，來估計模型的未知參數βi(i=1,2,3)：將數據樣本劃分為“估計樣本”與“預測和檢驗樣本”兩部分。其中，估計樣本包含前1200個交易日的數據，而預測和檢驗樣本則包含最后595個交易日的數據；在給定的置信水平下，對每個股指收益率重復進行595次不同的模型估計，從而每個股指在每個置信水平下都獲得了595個未來一天的樣本外VaR預測；再用分位數回歸法估計出每個股指在給定置信水平下的參數值。表2和表3分別給出了間接GARCH(1，1)CARE模型和SAVCARE模型的相關參數估計值。表2給定的置信水平下間接GARCH(1，1)CARE模型的參數估計值（圓弧括號內為標準誤差）

置信水平α1%5%系數βiθ×100β0β1β2θ×100β0β1β2上證指數0.15620.0656

(0.0149)0.8430

(0.0007)0.026

(0.0021)

1.439

0.0836

(0.0234)0.6853

(0.0011)0.022

(0.0123)深圳成指0.20670.1312

(0.0173)0.8699

(0.0006)-0.0005

(0.0023)1.9830.1601

(0.0279)0.7804

(0.0009)0.0012

(0.0041)

表3給定的置信水平下SAVCARE模型的參數估計值（圓弧括號內為標準誤差）

置信水平α1%5%系數βiθ×100β0β1β2θ×100β0β1β2上證指數0.17410.0357

(0.0023)0.9154

(0.0006)-0.047

(0.0011)1.6230.0454

(0.0039)0.9237

(0.0011)-0.0104

(0.0021)深圳成指0.18540.0449

(0.0025)0.9296

(0.0005)-0.0048

(0.0011)1.9050.0503

(0.0043)0.9108

(0.0010)-0.0161

(0.0020)

4.2模型的檢驗及評價

直觀起見，我們采用間接GARCH(1,1)CARE和SAVCARE模型，將兩個股指在1%和5%的置信水平下分別進行樣本外的動態VaR和ES預測。結果表明：兩個模型的VaR和ES都能夠較好地刻畫出收益率的時變波動特征，但VaR模型低估了極端損失情況下股票的市場風險，即實際損失值明顯超過VaR值的次數相對較多；而ES模型則更好地擬合了股票市場風險的傾向，實際損失值明顯超過ES值的次數相對較少。

為進一步分析CAREVaR模型的穩定性，本文采用 Kupiec［13］提出的檢驗VaR碰撞失敗率的似然比檢驗（LRTest）法以及Engle和Manganelli［14］提出的動態分位數（DQTest）檢驗法（一般選擇K=7，q=5，即一個周5個交易日）。為使結果具有可比性，我們把CAREVaR模型與風險管理實務界主流的RiskMetrics模型和CAViaR模型一起做返回檢驗。在1%和5%的置信水平下，VaR的p值檢驗結果表明CARE模型比RiskMetrics模型和CAViaR模型在VaR估計方面更為精確。究其原因，金融風險管理實務界主流的RiskMetrics模型，由于其假設金融時間序列是正態分布，與實際金融時間序列的尖峰厚尾特征不吻合，故很難得到精確的動態VaR預測；CAViaR模型不需要對分布進行假設，直接對分布尾部建模，在VaR 的估計和預測上有著明顯的優點，能夠很好地得到精確的動態VaR預測，但由于VaR完全忽視了分位點左側的風險，故存在低估市場風險的弊端。

為了檢驗CAREES模型的穩定性，本文采用McNeil，Frey和Embrechts［15］提出的自舉檢驗（Bootstrap Test）法。由于CAViaR模型并沒有相應的ES估計模型，故選取現行風險度量中常用的兩種ES極值模型——GARCH Students t EVT和GARCH Skewt EVT模型一起做返回檢驗，結果顯示：CARE模型的檢驗p值略大于用極值理論（EVT）構建的GARCH模型的檢驗p值，且顯著大于置信水平，這說明了CARE模型能夠更好地度量和預測收益序列的動態ES值。

5主要結論

本文以Expectile模型為基礎，結合CAViaR模型構造出條件自回歸Expectile模型（CARE），完全避開了對收益分布的假設，直接從分位數的角度進行風險建模，采用三次樣條插值的方法，近似估計出最優的ALS參數值，再使用滾動窗口的動態分位數回歸法來估計未知參數，使得模型具備了CAViaR模型的優點，能夠較好地度量和預測收益序列的VaR值，而且只需要進行簡單的變形，就可以轉變成條件ES度量模型。通過對上證指數和深圳成指的實證分析發現：CARE模型在對金融收益序列的VaR估計與預測方面，明顯優于金融風險管理實務界主流的RiskMetrics 模型和CAViaR模型，而且在ES度量方面也有著非常明顯的優勢。

參考文獻：

［1］Artzner P F, Delbain F, Eber J M, et al.. Coherent measures of risk［J］. Mathematical Finance, 1999, 9(3): 203228.

［2］Acerbi C, Tasche D. On the coherence of expected shortfall［J］. Journal of Banking and Finance, 2002, 26(7): 14871503.

［3］Yamai Y, Yoshiba T. On the validity of valueatrisk: comparative analyses with expected shortfall［J］. Monetary and Economic Studies, 2002, 20(1): 5785.

［4］Poon S, Granger C J. Forecasting volatility in financial markets: a review［J］. Journal of Economic Literature, 2003, 41(2): 478539.

［5］Koenker R W, Bassett G W. Regression quantiles［J］. Econometrica, 1978, 46(1): 3350.

［6］McNeil A J, Frey R. Estimation of tailrelated risk measures for heteroscedastic financial time series: an extreme value approach［J］. Journal of Empirical Finance, 2000, 7(3/4): 271300.

［7］Manganelli S, Engle R F. Value at risk models in finance［R］. Working Paper, No.75, European Central Bank, 2001. 19.

［8］朱國慶,張維，張小薇,等.極值理論應用研究進展評析［J］.系統工程學報,2001,16(1):7277.

［9］陳學華,楊耀輝.股市風險VaR與ES的動態度量與分析［J］.系統工程,2004,22(1):8490.

［10］余素紅,張世英,宋軍.基于GARCH模型和SV模型的VaR比較［J］.管理科學學報,2004,7(5):6165.

［11］魏宇.股票市場的極值風險測度及后驗分析研究［J］.管理科學學報,2008,11(1):7888.

［12］Newey W K, Powell J L. Asymmetric least squares estimation and testing［J］. Econometrica, 1987, 55(4): 819847.

［13］Kupiec P. Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models［J］. Journal of Derivatives, 1995, 3(2): 173184.

［14］Engle R F, Manganelli S. CAViaR: conditional autoregressive value at risk by regression quantiles［J］. Journal of Business and Economic Statistics, 2004, 22(4): 367381.

［15］McNeil A J, Frey R, Embrechts P. Quantitative risk management［M］. New Jersey, Princeton University Press, 2005. 521.