如何利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題

于海青

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，是近幾年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，也是學(xué)生感到比較棘手的一類問題.

類型一 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

依據(jù)是：若函數(shù)f（x）在某

個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f '（x），則

（1）若f '（x）>0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞增；

（2）若f '（x）<0， 則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)遞減；

（3）若f '（x）=0， 則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

例 ：已知函數(shù)f（x）=x-1（1+a）lnx-—（a≠0），試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

解析：函數(shù)f （x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

f '（x）=1-—+—=—=

—.

（1）當(dāng)a<0時(shí)，由f '（x）>0得x>1； 由f '（x<0）得0

所以f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)0

0得x>1或0

所以f（x）在區(qū)間（0，a），（1，+∞） 上單調(diào)遞增，在區(qū)間（a，1）上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)a=1時(shí)，f '（x）≥0恒成立，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（4）當(dāng)a>1時(shí)，由f '（x）>0得x>a 或0

所以f（x）在區(qū)間（0，1），（a ，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，a）上單調(diào)遞減.

變式：已知函數(shù)f（x）=x-lnx-—（a≠0） ，試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

解析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，

+∞），f '（x）=1-—+—=—

由于△=1-4a，所以

（1）當(dāng)1-4a≤0 即a≥—時(shí)，

f '（x）≥0恒成立，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)1-4a>0 即a<—時(shí)，令

f '（x）=0，得x1=—；x2=—.

若a<0，則由f '（x）>0 得x>

x2；由f '（x）<0 得0

若00得0x2；由f '（x）<0 得x1

由以上兩題可以看出，在判斷含參函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需要注意兩點(diǎn)：①函數(shù)的定義域；②如何分類討論.若方程f '（x）=0的根可通過分解因式法求出，則

可以根據(jù)方程f '（x）=0的根是否在定義域內(nèi)及根與根之間的大小關(guān)系來分類討論；若方程 f '（x）=0的根不能通過分解因式法求出，則要根據(jù)方程f '（x）=

0（一元二次方程）的判別式及根是否在定義域內(nèi)來分類討論.

類型二 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

依據(jù)是：一般地，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充要條件是：

（1）對(duì) x∈（a，b），都有f '（x）≥0；

（2）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的任何子區(qū)間上f '（x）不恒為0 .

例：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R） 在區(qū)間（-—，-—）內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：f（x）=3x2+2ax+1

因?yàn)閒 '（x）在區(qū)間（-—，-—）

內(nèi)是減函數(shù)，所以f '（x）=3x2+2ax+

1≤0對(duì)x∈（-—，-—）恒成立.結(jié)合二次函數(shù)的圖像，有

f '（-—）≤0

f '（-—）≤0 ，所以a≥2.

而當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在區(qū)間（-—，

-—）內(nèi)不是常數(shù)函數(shù)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2.

變式1：函數(shù)f（x）=—（a∈R） 在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 ：f '（x）=—=

—

因?yàn)楹瘮?shù)f '（x）在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，所以f '（x）=—≥

0在區(qū)間（-2，+∞）恒成立，所以a≥—.

而當(dāng)a=—時(shí)，f（x）=—=—為常數(shù)函數(shù)，故a=—舍去，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>—.

變式2：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+

x+1（a∈R）在區(qū)間（-—，-—）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：f '（x）=3x2+2ax+1

因?yàn)閒（x）在區(qū)間（-—，-—）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，以f '（x）=3x2+

2ax+1<0對(duì)x∈（-—，-—）有解.即不等式a>-—x-—對(duì)x∈（-—，-—）有解.

令g（x）=-—x-—，x∈（-—，

-—），則g '（x）=-—x+—=—

所以g（x）在區(qū)間（-—，-—）內(nèi)遞減，在區(qū)間（-—，-—）內(nèi)遞增，故g（x）min=g（-—）=√3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>√3.

由函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可以利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將其轉(zhuǎn)化為“不等式恒成立”問題，也可以利用函數(shù)與方程的思想及數(shù)形結(jié)合的思想，將其轉(zhuǎn)化為“函數(shù)圖像的交點(diǎn)”問題.

（作者單位：山東省青島市城陽第一高級(jí)中學(xué)）