基于GPS/INS緊組合導航的UKF和CKF濾波精度分析

孟 朱立新

電子工程學院電子制約技術安徽省重點實驗室，合肥230037

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基于GPS/INS緊組合導航的UKF和CKF濾波精度分析

電子工程學院電子制約技術安徽省重點實驗室，合肥230037

GPS/INS組合導航系統采用以誤差量作為狀態變量的非線性緊組合模型，通過函數泰勒展開式，理論分析了無跡卡爾曼濾波(UKF)和容積卡爾曼濾波(CKF)2種算法的濾波精度，引入了數值穩定因子，并證明當狀態維數高于三維時，UKF積分精度變差，而CKF的濾波精度高于UKF。將2種算法應用于組合導航中，通過仿真實驗，驗證了理論分析的正確性，所得結果具有工程應用參考價值。

GPS/INS組合導航; UKF; CKF; 泰勒展開式; 穩定因子; 導航精度

GPS/INS(Global Positioning System/ Inertial Navigation System)組合導航系統克服了各自缺點，使組合后的導航精度高于兩個系統單獨工作的精度[1]，其常見的組合模式有松組合(采用位置、速度組合)和緊組合(采用偽距、偽距率組合)[2]。研究表明，緊組合模式可以提高組合導航應對復雜環境的能力，可見衛星數目少于4顆甚至僅有1顆時，依然能保持組合模式，并可提供高于單一慣性導航系統的導航精度[3]。由于導航環境的復雜性和多變性，GPS/INS組合導航的系統模型往往具有非線性和不確定性的特點[4]，本文采用緊組合導航的非線性模型，選取了UKF (無跡卡爾曼濾波，Unscented Kalman Filter)和CKF(容積卡爾曼濾波，Cubature Kalman filter)2種基于確定性采樣的典型非線性濾波，分析其濾波估計精度。

1 GPS/INS緊組合模型

圖1 緊組合工作框圖

1.1 狀態方程

GPS誤差狀態變量為2維的XG(t)，INS誤差XI(t)包括平臺誤差角(3維)、速度誤差(3維)、位置誤差(3維)、INS元件誤差(9維)共計18維。GPS/INS組合導航系統的狀態方程可寫作：

即

其中：

1.2 量測方程

設載體在地球大地坐標系中的慣導輸出位置可表示為經度λI、緯度LI、高度hI，則載體真實位置可表示為λ=λI-δλ，L=LI-δL，h=hI-δh，將其轉換為地心地球固連(ECEF)坐標系為：

則衛星到載體真實距離ρj(j=1,2,3,4)可表示為：

GPS接收機測得到衛星j之間的偽距可表示為：

將x,y,z帶入上式得：

將x,y,z帶入上式即可得到偽距率的量測方程，以接收機輸出的偽距信號作為觀測量的量測方程(限于篇幅不再展開)表示為：

2 UKF和CKF濾波算法

2.1 無跡卡爾曼濾波

無跡卡爾曼濾波是一種典型的非線性濾波，在組合導航中應用廣泛，學者已經研究表明其濾波精度優于擴展卡爾曼濾波(EKF)[6]。

UKF通過引入UT變換，用一組確定的樣本點近似求解測量條件下系統狀態的后驗概率P(xk|zk)的均值和方差，實現系統狀態遞推均值和方差的估計[7]。

設系統的狀態方程和量測方程為：

xk+1=f(xk)+wk

zk+1=h(xk+1)+vk+1

其中wk，vk+1分別是系統噪聲和量測噪聲，其協方差分別是Qk，Rk+1。基于UT變換的標準UKF算法過程如下：

2) 根據系統狀態方程求取樣本點傳遞值：

xsi(k+1,k)=f(si(k))

3) 系統狀態均值和方差的一步預測，即：

4)根據系統量測方程求取狀態一步預測的傳遞值：

zsi(k+1,k)=h(xsi(k+1,k))

5)預測量均值和協方差：

式中：Pzz是量測方差矩陣；Pxz是狀態向量與量測向量的協方差矩陣。

6)計算UKF增益，更新狀態向量和方差，即：

2.2 容積卡爾曼濾波

容積卡爾曼濾波[8]是一種基于容積數值積分準則的遞推型貝葉斯濾波器，該方法既無需計算雅可比矩陣，又不必預先設定參量。容積卡爾曼濾波是在容積積分準則的基礎上提出的一種濾波算法。

容積積分準則：

對于一般的積分問題：

令x=ry(r∈[0,+∞))，yyT=1，得xTx=r2，則上式轉化為徑向與超球面的二重積分為：

式中，Un表示單位超球面,σ(·)為積分微元。

對上面兩式分別采用Gauss-Hermite準則和Spherical準則,最終得

一般令mr=1，ms=2n(n是系統狀態維數)即可滿足精度要求。容積卡爾曼濾波算法中容積點數目是狀態維數的2倍(各點成對對稱出現)，樣本數較UKF要少，一定程度上減少了計算量。

容積卡爾曼濾波也分為時間更新階段和量測更新階段，其具體算法步驟如下：

1)時間更新

②計算傳播后的積分點，

③估計k時刻的狀態預測值和協方差

2) 量測更新

① Cholesky分解并計算積分點

②估計量測值

③估計自相關、互相關協方差陣

④計算CKF濾波增益，更新狀態和協方差

3 濾波精度分析

3.1 CKF估計精度

則CKF預測的f(x)的均值為

考慮到對稱性，奇階矩為0，所以

其中,aij為矩陣Sk-1|k-1中的第i行第j列元素。

進一步可以寫成

其中，ξ為各分量之間的交叉項。

從而CKF預測的f(x)的均值為

3.2 UKF估計精度

由3.1節推導CKF估計精度的過程可類似求得UKF的估計精度為：

3.3 濾波精度對比

當I>1時，積分公式將引入大量的截斷誤差[9，11]。

由3.1節和3.2節可知，對比2種方法的濾波精度，只需比較nk-1和(n+λ)k-1。對于真實均值的四階矩，為了捕獲其大部分信息，UKF濾波過程中選擇n+λ=3[12]，其中n為狀態變量維數，λ為微調因子。

當n<3時，nk-1<(n+λ)k-1，即UKF的濾波精度高于CKF；

當n=3時，nk-1=(n+λ)k-1，即UKF和CKF的濾波精度相當；

由IUKF的表達式可知，IUKF與狀態維數n為線性關系，隨著n的線性增加，積分的數值估計中出現很大的誤差，積分公式精度變差。

由以上分析可以看出，當狀態變量的維數大于3維時，CKF的濾波精度會高于UKF。第1節中GPS/INS緊組合模型為狀態變量為20維的狀態，使用CKF可以提供更加精確的導航信息。

4 仿真驗證

設計仿真時長為500s的飛行過程，其中包括勻速、加速、減速、轉彎、爬升、俯沖、平飛等過程，具體飛行軌跡如圖2所示。

圖2 飛行軌跡仿真圖

仿真參數設置如下：SINS的陀螺隨機漂移εb為0.01(°)/h；陀螺儀一階馬爾科夫過程隨機噪聲εr為0.01(°)/h；加速度計漂移誤差Δ為10-4g；GPS隨機偽距誤差為10m，隨機偽距率測量誤差為0.05m/s；設模擬飛行器的采樣周期為0.01s，捷聯慣性導航的更新頻率為50Hz，GPS接收機的更新頻率為1Hz，濾波器的數據融合頻率同樣為1Hz。在上述實驗環境中，圖3～8為分別采用UKF和CKF算法對導航誤差進行估計的曲線圖，表1為位置、速度均方根誤差表。

圖3 經度誤差曲線

圖4 緯度誤差曲線

圖5 高度誤差曲線

圖6 東向速度誤差曲線

圖7 北向速度誤差曲線

從圖3～8及表1可以看出，GPS/INS 組合導航中，采用CKF濾波后的各參數誤差小于UKF的估計誤差，位置、速度估計精度得到了改善，提高了40%以上。

5 結束語

在分析了GPS/INS緊組合導航的基礎上，采用非線性模型，然后從函數泰勒展開式及數值穩定性上分析了UKF和CKF兩種濾波方法。理論分析表明三維以上的非線性系統采用CKF的濾波精度將高于UKF。

在GPS/INS緊組合導航中用CKF對導航誤差進行濾波估計，并與UKF對比，其導航誤差得到了降低，提高了導航定位的精度。CKF的采樣點比UKF少，減少了濾波過程的計算量，在GPS/INS組合導航工程應用中有一定的參考價值。

圖8 天向速度誤差曲線

表1 位置、速度均方根誤差(RMSE)

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Cubature and Unscented Kalman Filter Accuracy Analysis Based on Tightly-Coupled GPS/INS Integrated Navigation System

MENG Yan ZHU Lixin

Electronic Engineering Institute Anhui Province Key Laboratory of Electronic Restriction, Hefei 230037, China

Theusingnon-linearandtightly-coupledmodelisusedinGPS/INSintegratednavigationsystem,whichisbasedonerrorsasstatevariables.AnalysisaccuracyofunscentedKalmanfilter(UKF)andcubatureKalmanfilter(CKF)fromtheTaylorexpansionofthefunctionandstabilityfactorisintroducedtoprovethattheaccuracyofUKFisdeterioratedandthefilteringaccuracyofCKFisbetterthanUKFwhenthestatedimensionismorethanthreedimensions.Twoalgorithmsareusedinintegratednavigationsystemandsimulationresultsverifythecorrectnessofthetheoreticalanalysisandoffercertainreferencevalueforengineeringapplications.

GPS/INS;UKF;CKF;Taylorexpansion;Stabilityfactor;Navigationaccuracy

2013-08-29

孟(1989-),男，山東淄博人，碩士研究生，主要研究方向為組合導航、信息處理；朱立新(1963-)，女，安徽無為人，副教授，主要研究方向為信息處理、目標跟蹤和衛星導航等。

TN967.2

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1006-3242(2014)01-0010-06