基于LMI的撓性航天器抗飽和補(bǔ)償器設(shè)計(jì)及分析*

王明釗 劉金琨

北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191

?

基于LMI的撓性航天器抗飽和補(bǔ)償器設(shè)計(jì)及分析*

王明釗 劉金琨

北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191

針對(duì)撓性航天器中輸入受限問(wèn)題，設(shè)計(jì)了基于LMI的抗飽和補(bǔ)償器。理想情況下，撓性航天器采用LQG控制，保持系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；輸入受限時(shí)，在不改變系統(tǒng)原有結(jié)構(gòu)的前提下，設(shè)計(jì)基于LMI的抗飽和補(bǔ)償器。抗飽和補(bǔ)償器為靜態(tài)補(bǔ)償器，所以不增加系統(tǒng)階數(shù)；它不僅保證系統(tǒng)能夠閉環(huán)穩(wěn)定，還能保證系統(tǒng)滿足最優(yōu)的L2指標(biāo)。仿真表明，在理想情況和受限情況下，抗飽和補(bǔ)償器均能保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，并且具有良好的魯棒性。

輸入受限；LMI；抗飽和；撓性航天器；補(bǔ)償器

隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展與航天需求的不斷增長(zhǎng)，航天器的結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，尺寸也越來(lái)越大，但由于發(fā)射成本及運(yùn)載能力限制的原因，航天器的重量成為一個(gè)嚴(yán)格的約束條件。在航天器姿態(tài)控制方面，飛輪等執(zhí)行機(jī)構(gòu)由于上述限制，只能提供有限的控制力矩，這就容易產(chǎn)生輸入受限問(wèn)題。該問(wèn)題在某種程度上將影響航天器姿態(tài)控制精度，甚至使整個(gè)姿態(tài)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)撓性航天器的抗飽和問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequalities，簡(jiǎn)稱LMI)作為一種有效的數(shù)學(xué)工具，被廣泛應(yīng)用于抗飽和控制領(lǐng)域中。文獻(xiàn)[1]基于線性矩陣不等式法(LMI)，針對(duì)線性系統(tǒng)提出了一種改進(jìn)的抗積分飽和控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制；文獻(xiàn)[2]針對(duì)線性系統(tǒng)利用LIM方法設(shè)計(jì)補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)抗飽和目標(biāo)。Mulder等[3]針對(duì)動(dòng)態(tài)控制器，設(shè)計(jì)了靜態(tài)補(bǔ)償器，保證了系統(tǒng)全局穩(wěn)定，并且降低了系統(tǒng)的L2增益。Grimm等[4]針對(duì)一般情況下的穩(wěn)定模型系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于LMI的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器，保證系統(tǒng)穩(wěn)定，并保證系統(tǒng)輸出對(duì)外部干擾具有L2增益。Hu等[5-6]針對(duì)一般系統(tǒng)研究了L2增益的特性以及穩(wěn)定區(qū)域。隨后，Hu等[7]針對(duì)更普遍的穩(wěn)定系統(tǒng)進(jìn)行了補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)，并且對(duì)穩(wěn)定區(qū)域和非線性性能指標(biāo)進(jìn)行了討論。Hencey等[8-10]利用LMI區(qū)域法研究了抗飽和中D穩(wěn)定問(wèn)題。

針對(duì)撓性航天器中存在的輸入受限問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了基于LMI的抗飽和補(bǔ)償器，保證了系統(tǒng)在輸入受限情況下的閉環(huán)穩(wěn)定。同時(shí)補(bǔ)償器是靜態(tài)的，沒(méi)有增加系統(tǒng)的階數(shù)。

1 撓性航天器控制系統(tǒng)描述

撓性航天器姿態(tài)角理想控制系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 撓性航天器理想控制系統(tǒng)圖

撓性航天器的簡(jiǎn)化模型如下所示：

(1)

為了便于設(shè)計(jì)LQG控制器和補(bǔ)償器，將式(1)寫成狀態(tài)方程、輸出方程、誤差方程標(biāo)準(zhǔn)形式：

(2)

根據(jù)式(2)設(shè)計(jì)撓性航天器的LQG控制器如下所示：

(3)

(4)

圖2 撓性航天器輸入受限控制系統(tǒng)

圖2中受限系統(tǒng)的控制器如下所示：

(5)

2 基于LMI的補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

為了保證撓性航天器姿態(tài)角輸入受限控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)補(bǔ)償器如下：

(6)

其中，q=yc-u。系統(tǒng)可表示成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：

(7)

在本節(jié)中，將采用線性矩陣不等式(LMI)方法，證明存在補(bǔ)償器，保證輸入受限系統(tǒng)穩(wěn)定。把補(bǔ)償器(6)代入標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程(7)中可得：

2.1 定義及引理

為了證明存在式(6)的補(bǔ)償器，保證撓性航天器受限控制系統(tǒng)穩(wěn)定，需要用到以下的定義和引理[6，11]。

定義1：設(shè)X為方形矩陣，則HeX:=X+XT。

引理1：對(duì)于系統(tǒng)(7)，設(shè)矩陣Q∈Rn×n，Q=QT>0。

設(shè)γ>0，s>0。如果存在矩陣Y∈Rnu×n和對(duì)角矩陣U>0，滿足以下條件：

(8)

(9)

(10)

2.2 補(bǔ)償器設(shè)計(jì)及存在性證明

根據(jù)下面的設(shè)計(jì)方法，利用MATLAB中的LMI工具箱，可以獲得抗飽和補(bǔ)償器式(6)。

(1)解不等式

利用MATLAB中的LMI工具箱，解下列不等式，得到解(R,Z,γ2)。其中，

(11)

(12)

(13)

(14)

(2)LMI求解補(bǔ)償器

令m=n+nu+nr+nz,構(gòu)造矩陣H∈Rnv×m，ΨR∈Rm×m和GU∈Rnu×m如下所示：

然后求解不等式：

(15)

其中，ΛU∈R(naw+nv)×(naw+nu),對(duì)角矩陣U∈Rnu×nu,U>0為不等式的未知變量。最后即可獲得抗飽和補(bǔ)償器：

Daw=AUU-1

(16)

證明：根據(jù)設(shè)計(jì)方法中的第(1)步，LMI的解(R,Z,γ2)令式(12)成立。根據(jù)文獻(xiàn)[4]的方法，構(gòu)造一個(gè)特殊矩陣WH如下：

其中，WH的列向量分別為H零空間基向量組成，分塊矩陣的前3×3塊為(np+nw+nz)×n維。經(jīng)過(guò)計(jì)算，式(12)可以寫成如下形式：

令P=R-1，根據(jù)文獻(xiàn)[4]方法可得：

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的定理5，式(11)成立，當(dāng)且僅當(dāng)

同時(shí)成立。所以第(1)步中式(11)～(14)的解(R,Z,γ2)保證了式(15)必然有解。令Q=R，則式(9)與(15)相同，所以式(9)成立。

令Q=R，根據(jù)Schur補(bǔ)的性質(zhì)，可以得到式(8)。

所以根據(jù)引理1，補(bǔ)償器式(6)存在，且滿足定理1的結(jié)論。

注：當(dāng)模型(1)含有虛軸上的極點(diǎn)，且其余極點(diǎn)均在左半平面時(shí)，不等式(11)～(13)有解(R,Z,γ2)。由于系統(tǒng)是閉環(huán)指數(shù)穩(wěn)定的，選擇R=

RT>0滿足

(17)

因此，對(duì)于任意s>0，可以選擇足夠大的R11滿足式(17)及下式

當(dāng)R11和Z滿足上述條件時(shí)，總是能選擇足夠大的γ同時(shí)滿足式(12)和(13)。

3 仿真結(jié)果

補(bǔ)償器Daw如式(19)所示。此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的有限L2增益為γ=1.9421。仿真結(jié)果如圖3和4所示。

圖3 撓性航天器姿態(tài)角輸出(理想系統(tǒng)、輸入受限系統(tǒng)、加入補(bǔ)償器的受限系統(tǒng))

圖4 LMI補(bǔ)償器系統(tǒng)控制器輸出及受限輸出

根據(jù)圖3，理想情況下，LQG能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性；存在輸入受限時(shí)，系統(tǒng)無(wú)法保持穩(wěn)定；加入LMI補(bǔ)償器時(shí)，即使在受限情況下，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。圖4顯示了理想情況下與受限情況下的控制信號(hào)變化情況。

4 結(jié)論

針對(duì)撓性航天器姿態(tài)角控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于LMI的抗飽和補(bǔ)償器。靜態(tài)補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)，不僅沒(méi)有增加系統(tǒng)固有階數(shù)，還能保證系統(tǒng)在輸入受限情況下的穩(wěn)定。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)在輸入受限情況下，抗飽和補(bǔ)償器能夠保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

(18)

(19)

[1] Boyd S,Ghaoul L E, Feron E. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory[M]. Society for Industrial Mathematics, 1994.

[2] Miyamoto S,Vinnicombe G.Robust Control of Plants with Saturation Nonlinearity Based on Coprime Factor Representation[C].36thCDC.Kobe,Japan.1996:2838-2840.

[3] Mulder E,Kothare M,Morari M.Multivariable Anti-windup Controller Synthesis Using Linear Matrix Inequalities[J].Automatica,2001,37(9):1407-1416.

[4] Grimm G, Hatfield J, Postlethwaite I, Teel A, Turner M, Zaccarian L. Antiwindup for Stable Linear Systems with Input Saturation:An LMI-based Synthesis[J].IEEE Transactions on Automatic Control , 2003,48(9): 1509-1525.

[5] Hu T, Teel A, Zaccarian L.Nonlinear L2 Gain and Regional Analysis for Linear Systems with Anti-windup Compensation[C].American Control Conference，Portland (OR),USA.2005:3391-3396.

[6] Hu T,Teel A,Zaccarian L.Stability and Performance for Saturated Systems via Quadratic and Non-quadratic Lyapunov Functions[J].IEEE Transactions on Automatic Control , 2006,51(11): 1770-1786.

[7] Hu T,Teel A, Zaccarian L.Anti-windup Synthesis for Linear Control Systems with Input Saturation: Achieving Regional,Nonlinear Performance[J].Automatica, 2008,44: 512-519.

[8] Hencey B,Alleyne A.A Static Anti-Windup Compensator Design Technique for Robust Regional Pole Placement[C]. ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition Conference, 2006.

[9] Hencey B,Alleyne A.A KYP Lemma for LMI Regions[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2007, 52 (10): 1926-1930.

[10] Hencey B,Alleyne A.An Anti-Windup Technique for LMI Regions[J]. Automatica,2009,45: 2344-2349.

[11] Gomes da Silva J M,Jr.,Tarbouriech S.Anti-windup Design with Guaranteed Regions of Stability: An LMI-Based Approach[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2005, 50(1): 106-111.

The Anti-windup Compensator Design and Analysis for the Flexible Spacecraft Based on the LMI Method

WANG Mingzhao LIU Jinkun

Beihang University, School of Mechanical Engineering & Automation, Beijing 100191，China

Ananti-windupcompensatorbasedonthelinearmatrixinequalities(LMI)isdesignfortheinputsaturationincontrollingtheflexiblespacecraft.TheLQGcontrollercanguaranteethestabilityoftheclose-loopsystemintheidealconditionbutintheinputsaturationcondition.Therefore,thecompensatorbasedontheLMIisdesigned.Thecompensator,whichisstatewithoutincreasingthesystemorder,canguaranteeboththestabilityoftheclose-loopsystemandtheoptimalL2performanceofthesystem.Thesimulationresultsshowthatthecompensatorcanguaranteetheclose-loopstabilityandrobustnessnotonlyintheidealconditionbutalsointheinputsaturationcondition.

Inputsaturation; LMI;Anti-windup;Flexiblespacecraft;Compensator

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61374048);高效博士點(diǎn)基金項(xiàng)目(20121102110008)

2013-06-08

王明釗(1989-),男，山東人，碩士，主要研究方向?yàn)楹教炱骺癸柡涂刂频龋粍⒔痃?1965-)，男，遼寧人，教授，主要研究方向?yàn)榛？刂坪妥赃m應(yīng)控制等。

TP273

A

1006-3242(2014)01-0063-05