航天器共面圓型快速繞飛控制研究*

趙書閣 張景瑞

北京理工大學宇航學院，北京 100081

?

航天器共面圓型快速繞飛控制研究*

趙書閣 張景瑞

北京理工大學宇航學院，北京 100081

研究了基于C-W方程的航天器共面圓型快速繞飛問題。分析了2種受迫快速繞飛方法：第1種方法基于C-W方程的解析解，設計了軌道平面內(nèi)近圓拼接繞飛軌跡，給出了拼接繞飛所需的控制脈沖；第2種方法設計了任意周期的圓型繞飛相對運動參考軌跡，并利用PD控制律對其跟蹤。并給出了2種受迫繞飛方法的固定推力形式的控制律。精確軌道仿真結果表明2種方法都能實現(xiàn)對目標航天器軌道平面內(nèi)的近圓型繞飛。相對于參考軌跡繞飛，拼接繞飛為非標準圓型軌跡，且繞飛周期固定，但是實現(xiàn)拼接繞飛所需的推力器控制開關機次數(shù)較少，速度增量也較小。

受迫繞飛;C-W方程；脈沖控制；PD控制

航天器的繞飛運動是一個在軌航天器圍繞另一個在軌航天器的周期性封閉相對運動[1]。現(xiàn)今眾多的空間任務中，如航天器在軌服務、空間軍事監(jiān)視任務等，實現(xiàn)航天器自主繞飛，監(jiān)測目標的飛行狀態(tài)并執(zhí)行相關操作都是重要的環(huán)節(jié)。繞飛運動有自然繞飛[2-4]和快速繞飛[1,5-6]之分。自然繞飛的繞飛軌跡近似橢圓，繞飛航天器與目標航天器的距離會發(fā)生較大的變化，而且繞飛周期與目標航天器的軌道周期相同。快速繞飛具有可變繞飛周期和繞飛形狀的優(yōu)勢，在航天器近距離觀測、空間目標識別與偵察、在軌應急服務中有重要的應用。

本文針對近圓軌道上運行的航天器，基于C-W方程設計了2種快速受迫繞飛方法：拼接繞飛和參考軌跡繞飛。拼接繞飛利用2個自然橢圓繞飛的部分軌跡拼接形成新的繞飛軌跡，參考軌跡繞飛利用PD控制實現(xiàn)對任意預定軌道的跟蹤。考慮工程實際，2種快速受迫繞飛方法都給出了定常推力控制律。最后用精確的軌道模型對2種受迫繞飛方法進行數(shù)值仿真驗證，分析對比各自的優(yōu)缺點。

1 坐標系及運動方程

繞飛運動通常是近距離的，因此可以用C-W方程[7]進行繞飛軌跡描述和控制律設計。首先建立以目標航天器質(zhì)心為坐標原點的LVLH(當?shù)厮?當?shù)卮怪?坐標系OXYZ，如圖1，F(xiàn)S(Fly-around Spacecraft)為繞飛航天器，TS(Target Spacecraft)為目標航天器，Z軸(徑向)從目標航天器指向地心，X軸(橫向)垂直Z軸指向前，X軸和Z軸組成當?shù)剀壍榔矫妫琘軸(副法向)由右手定則確定。

圖1 目標航天器LVLH坐標系

當目標航天器運行于圓或近圓軌道，且繞飛航天器與目標航天器距離很近時，兩航天器間的引力差可作線性化處理，從而繞飛航天器在目標航天器LVLH坐標系的運動可用C-W方程(又稱Hill方程)描述[7]。

(1)

式中：x，y，z是繞飛航天器的質(zhì)心在LVLH坐標系中的坐標;wt為目標航天器的軌道角速度；fx，fy，fz分別為繞飛航天器在X，Y，Z的3個方向的控制加速度。

(2)

可見，若初始條件6wtz0-3vx0≠0，則X軸方向有隨時間不斷增長的項(漂移項)，相對距離會越來越大；若初始條件滿足6wtz0-3vx0=0，則繞飛航天器相對于目標航天器的運動在軌道平面內(nèi)的投影可轉(zhuǎn)化為橢圓方程：

(3)

即軌道平面內(nèi)形成中心在目標航天器LVLH坐標系的點(P,0)處，長半軸為2b，短半軸為b的橢圓軌跡，即為自然橢圓繞飛軌跡。這種相對運動的周期為2π/wt，即目標航天器的軌道周期，b和P由初始條件決定:

(4)

2 基于C-W方程的拼接繞飛

當兩航天器相對運動的初始條件滿足6wtz0-3vx0=0時，可在軌道平面內(nèi)實現(xiàn)封閉橢圓運動軌跡。如圖2，由對稱性可以在Z軸兩側(cè)設置2個鏡面對稱的橢圓1和橢圓2，它們相交于A點和B點，則只要在A點和B點分別施加速度增量就能形成一個新的封閉繞飛軌跡(即拼接繞飛軌跡)。

圖2 拼接繞飛

假設自然橢圓軌跡1從B點到A點的短路徑經(jīng)歷時間為T/n，其中T為目標航天器的軌道周期，n為比例系數(shù)，則拼接繞飛的周期為2T/n，拼接繞飛的周期與自然橢圓繞飛的周期之比為2/n。為方便推導特征尺寸，假設初始時刻繞飛航天器位于點C，自然橢圓軌跡1的運動規(guī)律為：

(5)

自然橢圓軌跡1從C點到A點的短路徑經(jīng)歷時間為ΔtC→A=T/2n，代入式(5)可以計算OA；同時根據(jù)目標航天器經(jīng)過點A時X方向坐標為0，可以得到P；接下來根據(jù)OC+P=2b，可以得到OC，從而得到拼接繞飛的特征尺寸：

(6)

對式(5)進行微分可以得到速度的表達式，代入ΔtC→A=T/2n,可以計算繞飛航天器在橢圓1的A點速度。根據(jù)對稱性，可以計算繞飛航天器在橢圓2的A點速度：

(7)

根據(jù)v1，v2可以計算實現(xiàn)拼接繞飛在A點所需的速度增量為:

(8)

由對稱性得到實現(xiàn)拼接繞飛在B點所需的速度增量為：

(9)

可見，可以由固定大小的橢圓繞飛軌跡拼接形成新的繞飛軌跡，繞飛周期可以任意設定，但不同的繞飛周期只能一一對應不同的繞飛軌跡特征尺寸和維持繞飛所需的速度增量。表1給出了航天器在7000km軌道上運行時，實現(xiàn)不同拼接繞飛情況的繞飛軌跡的特征尺寸和維持繞飛所需的速度增量。

表1 拼接繞飛的特征尺寸和維持繞飛所需的速度增量

特別地，為了實現(xiàn)近圓型繞飛，需要使OA=OC，根據(jù)式(6)可得：

bsin(π/n)=2b[1-cos(π/n)]

(10)

由式(10)可解得n=3.3879，即近圓型拼接繞飛的周期與自然橢圓繞飛的周期之比為定值。

公式(8)和(9)僅給出了實現(xiàn)拼接繞飛所需的速度增量，為了應用于工程實際中的定常推力器，需要折算出推力器開機工作時間。根據(jù)齊奧爾可夫斯基公式，可以建立推力器開機工作時間Δtv與速度增量Δv的關系:

(11)

式中：F為推力器的標稱推力，Isp為推力器標稱比沖，它們都是常值，m0為推力器開機前一刻的航天器質(zhì)量。按對半平分原則，在設計的速度增量作用時刻，噴氣控制Δtv時長即可。

3 基于C-W方程的參考軌跡繞飛

由拼接繞飛圖2可以看出，當僅在A點和B點施加徑向速度增量，繞飛軌跡是兩段橢圓拼接而成，所以標稱軌道不是標準圓，而且由于要求OA=OC，推導出近圓型拼接繞飛的周期與自然橢圓繞飛的周期之比為定值，即近圓型拼接繞飛的周期相對固定，所以不利于任意周期的繞飛。設計參考軌跡，應用PD控制可以實現(xiàn)標準圓型繞飛，還可以任意設計繞飛周期。

假設繞飛軌跡從D點開始順時針運行，則圓型參考軌跡繞飛的標稱軌跡為:

(12)

式中:To為參考軌跡繞飛的周期。

采用比例-微分控制方式跟蹤上述參考軌跡，控制加速度由參考軌跡與實際軌跡的相對位置和相對速度之差構成：

(13)

噴氣推力大小固定，設仿真步長為ΔT，發(fā)動機最短工作時間為tm，則發(fā)動機每個步長的工作時間為：

(14)

4 數(shù)值仿真

本文的數(shù)值仿真將實現(xiàn)特征尺寸OA=OC=100m的拼接繞飛和半徑為100m的圓型參考軌跡繞飛。為了使仿真結果更具有普遍性，繞飛航天器的初始位置位于目標航天器的正后方300m處。

首先利用V-Bar接近方法[8]從后方300m處沿著X軸直線接近至后方100m處，然后在Z方向施加控制形成自然橢圓繞飛軌跡，最后再分別進行2種受迫繞飛控制。

V-Bar接近方法的控制律：fx=fy=0，fz=-2wtvx，根據(jù)V-Bar接近方法的要求，選取初始條件如下：x0=-300m，vx0=0.5m/s，y0=z0=0，vy0=vz0=0。根據(jù)以上的目標航天器坐標系下的初始條件，選取兩航天器的初始平均軌道要素如表2所示。

表2 兩航天器的初始平均軌道要素

繞飛航天器初始質(zhì)量為500kg，噴氣推力器推力為50N，推力器標稱比沖為2800m/s，發(fā)動機最短工作時間為50ms。PD控制參數(shù)為Kp=Kd=0.01。仿真中用Cowell法進行軌道積分，包括地球扁率J2～J4項攝動，仿真步長為0.4s。為了對2種繞飛控制律進行比較，令參考圓繞飛的周期等于拼接繞飛的周期，維持2個繞飛周期。表3給出了拼接繞飛和參考圓繞飛所需的噴氣次數(shù)和速度增量，圖3和4給出了拼接繞飛和參考圓繞飛的推力控制(絕對值代表開機時間，正負代表推力方向)。可見拼接繞飛所需的噴氣次數(shù)遠遠小于參考圓繞飛，拼接繞飛所需的速度增量明顯小于參考圓繞飛。

圖5和6給出了軌道平面內(nèi)拼接繞飛和參考圓繞飛的運動軌跡。可見拼接繞飛的運動軌跡與標準圓有偏差，且拼接繞飛的運動軌跡與標稱的運動軌跡偏差會逐漸拉大，這是由于C-W方程的模型誤差和控制沖量誤差造成的，因此只能應用于短期繞飛；參考軌跡繞飛能實現(xiàn)圓型繞飛，而且采用實時閉環(huán)的PD控制策略，能夠長期保持期望的繞飛軌跡，適用于長期繞飛。可根據(jù)工程需要選擇相應的繞飛軌跡及控制策略。

表3 繞飛兩圈的噴氣次數(shù)及速度增量

圖3 拼接繞飛的推力控制

圖4 參考圓繞飛的推力控制

圖5 拼接繞飛的運動軌跡

圖6 參考圓繞飛的運動軌跡

5 結論

研究了基于C-W方程的航天器快速受迫繞飛問題，設計了2種快速繞飛軌跡和相應的控制策略：拼接繞飛(速度沖量控制)和參考軌跡繞飛(PD控制)。由于拼接繞飛充分利用了航天器相對運動的動力學特性，所以拼接繞飛所需的速度增量和推力器噴氣次數(shù)遠遠小于參考軌跡繞飛，但由于模型誤差和控制沖量誤差，拼接繞飛的運動軌跡會偏離期望的運動軌道，只能應用于短時間的繞飛，而參考軌跡繞飛能長時間的保持圓型繞飛軌跡。

[1] 羅建軍,楊宇和,袁建平.共面快速受控繞飛軌跡設計與控制[J].宇航學報,2006,27(6)：1389-1393. (Luo Jianjun, Yang Yuhe, Yuan Jianping. Trajectory Design and Control of In-Plane Fast Controlled Flyaround [J].Journal of Astronautics,2006,27(6)：1389-1393.)

[2] Sabol C, Burns R, McLaughlin C A.Satellite Formation Flying Design and Evolution [J].Journal of Spacecraft and Rocked,2001，38(2): 270-278.

[3] Lovell T Alan,Tragesser Steven G.Guidance for Relative Motion of Low Earth Orbit Spacecraft Based on Relative Orbit Elements [D].AIAA Paper 2004-4988, Rhode Island, 2004.

[4] 林來興.小衛(wèi)星圍繞空間站飛行動力學和控制研究[J].中國空間科學技術,1999,(6): 1-6.(Lin Laixing. A Study on Dynamics and Control of Small Satellite Flying around Space Station [J].Chinese Space Science and Technology,1999,(6): 1-6.)[5] 王鵬基,楊滌.小衛(wèi)星空間圓型編隊飛行隊形設計與比例-微分(PD)控制[J]. 航天控制,2002,(4): 21-27.(Wang Pengji,Yang Di.The Space Circular Formation Design and the Proportional-Differential (PD) Control of the Small Satellites Formation Flying [J].Aerospace Control,2002,(4): 21-27.)

[6] Masutani Y,Matsushita M,Miyazaki F.Flyaround Maneuvers on a Satellite Orbit by Impulsive Thrust Control [C].International Conference on Robotics & Automation,Seoul,Korea.May 21-26,2001.

[7] Clohessy W H,Wiltshire R S.Terminal Guidance System for Satellite Rendezvous [J].Journal of the Aerospace Sciences,1960,27(9): 653-659.

[8] Feshs W.Automated Rendezvous and Docking of Spacecraft [M].Cambridge: Cambridge University Press，2003.

A Study on Trajectory Control of Spacecraft In-Plane Circular Fast Fly-around

ZHAO Shuge ZHANG Jingrui

School of Aerospace, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081，China

Thespacecraftin-planecircularfastfly-aroundbasedonC-Wequationisstudiedinthispaper.Twomethodsfortheforcedfly-aroundarepresented.Inthefirstmethod,thenaturalellipticaltrajectoriesinplanewhichareobtainedbasedonC-Wequationarestitchedtobeanearlycircularfly-aroundtrajectory.Andthenthecontrolimpulsesforstitchingfly-aroundarecalculated.Inthesecondmethod,areferencefly-aroundtrajectoryisdesignedregardingthedesiredfly-aroundradiusandperiod.Theproportional-differential(PD)controllawisusedtotrackthereferencetrajectoryaccurately.Thecontrollawsofthesetwoforcedfly-aroundareobtainedundertheassumptionofconstantthrust.Theorbitalsimulationresultsshowthatthebothmethodscanaccomplishthefastforcedfly-aroundinplane.Bycomparingwiththereferencetrajectoryfly-around,thetrajectoryofstitchingfly-aroundisnotastandardcirclecorrespondingtoafixedfly-aroundperiod.Buttheon-offtimesandthevelocityincrementofthrustforthestitchingfly-aroundcontrolarelessthanthatforthereferencetrajectoryfly-aroundcontrol.

Forcedfly-around; C-Wequation;Impulsivecontrol; PDcontrol

*國家自然科學基金資助項目(11172036)

2012-09-21

趙書閣(1987-),男，山東德州人，博士研究生，主要研究方向為航天器編隊飛行控制；張景瑞(1974-)，女，沈陽人，教授，博士研究生導師，主要研究方向為航天器動力學與控制。

V448.2

A

1006-3242(2014)01-0068-05