(Pa-U)模型下的二行動線性決策的貝葉斯假設檢驗

王燕飛，楊沐華

(1.吉林化工學院理學院，吉林吉林132022;2.吉林石化公司乙二醇廠，吉林吉林132022)

由式(1)及(3)，行動a2的后驗風險為

關于假設檢驗問題，經典統計只研究了正態總體的情況.這種局限性主要是由于其需要構造樞軸量及涉及的抽樣分布的復雜性.因此，對于總體分布為非正態分布時，經典統計就無能為力了.而貝葉斯統計恰好彌補了這個缺憾.在貝葉斯統計中，只要給出先驗分布和總體分布形式，后驗分布總是容易求得的.基于后驗分布的貝葉斯假設檢驗問題就相對應用較廣.對于這一類問題，已經有些研究者得出了一些研究成果.文獻［1］對比了貝葉斯統計與經典統計的方法.文獻［2］推出了新的二項分布的貝葉斯假設檢驗方法.文獻［3］研究了總體為幾何分布，負二項分布，威布爾分布和瑞利分布的未知參數的貝葉斯假設檢驗問題.文獻［4］研究了三類非正態總體指數分布、二項分布和泊松分布的未知參數的貝葉斯假設檢驗，給出了相應的否定域.

無論貝葉斯決策論，還是經典決策論都認為，狀態集Θ ={θ}，行動集A={a}和損失函數L(θ，a)是描述決策問題的3個基本要素.但兩種決策論主要有2點不同:1.經典決策問題只利用抽樣信息，而貝葉斯決策問題除了利用抽樣信息以外，還用先驗信息;2.在做決策時兩種決策論所定義的期望損失不同.經典決策論中定義的是風險函數，即損失函數對樣本分布的期望值.而貝葉斯決策論中，分別利用先驗分布和后驗分布計算期望損失，即先驗期望損失和后驗期望損失(后驗風險).貝葉斯假設檢驗問題實質上也是一類決策問題.

在貝葉斯決策問題中，如果先驗分布，總體分布形同，但損失函數不同，那么所得到的決策問題仍不同.在實際應用中，我們經常會遇到總體服從均勻分布的情況.而帕累托分布可用來描述諸如個人收入、某種藥理過程后病人的存活時間等，被廣泛地應用于經濟學、保險損失、網絡流建模、可靠性研究等領域，非常具有研究價值.本文研究了在總體分布為均勻分布，先驗分布為帕累托分布的(Pa-U)模型下，對二行動線性決策問題作出貝葉斯假設檢驗的分析.這對于經營管理者作出較為合理的決策提供了統計依據.

1(Pa-U)模型

后驗分布綜合了先驗信息，總體信息，樣本信息3種信息，貝葉斯的統計推斷和統計決策問題都是基于后驗分布進行分析的.

2 (Pa-U)模型的二行動線性決策的貝葉斯假設檢驗

2.1 二行動線性決策的假設檢驗

設有H0:θ＞θ0，H1:θ≤θ0兩個假設，兩個行動a1，a2:a1表示接受H0的行動，a2表示接受H1的行動.即決策者認為，如果θ＞θ0，行動a1適宜;如果θ≤θ0，則行動a2最好.狀態θ可以是離散或連續的;收益函數對每個行動都是狀態參數的線性函數.即收益函數

不妨設m1＞m2，b1＜b2，保證θ0＞0.若m1＜m2，將a1與a2互換即可.

根據公式，有:行動ai的損失函數為L(θ，ai)=maax Q(θ，a)-Q(θ，ai)，得:

2.2 (Pa-U)模型的假設檢驗

即后驗風險表示把損失函數L(θ，a)對后驗分布π(θ|x)求期望，是用后驗分布求得的平均損失［5］.它在樣本x給定下，不同的行動a有不同的后驗風險.而在行動a固定下，樣本x的變化也會使后驗風險隨之變化.對于決策者來說，我們希望找到最有行動，使得后驗風險達到最小.

由式(1)及(2)，行動a1的后驗風險為

由式(1)及(3)，行動a2的后驗風險為

當θ0≤ c時，

同理，行動 a1的后驗風險為 R(a1|x)=Eθ|xL(θ，a1)=0，

行動a2的后驗風險為

由于R(a1|x)＜R(a2|x)，故應當接受H0，認為θ＞θ0，行動a1更好.

對于決策者來說，如果認定總體X服從均勻分布，通過先驗信息確定未知參數θ為帕累托分布，那么只要知道收益函數的平衡點θ0與c=max{α，x(n)}及n，β的值，就能得到相應的檢驗結果，從而采取相應的行動.而后驗風險可以作為做決策的量化分析，通過其大小來衡量是否值得作出該決策，或者說，如果兩個行動的后驗風險相差不多時，考慮更加節約成本，獲利更大的決策更佳.

3 實 例

某美術廠與外單位商談一批美術品繪制任務.若繪制成功，每張美術作品可得800元;若繪制不成，每張要賠償損失1 600元.為了決定是否接受該訂單，廠長希望企劃部門作出有理有據的決策，故進行如下調查.假設廢品率X～U(0，θ).而根據該廠的技術力量估計θ～Pa(α，β).α=0.2，β=1.抽取過去10 年作品得到廢品率分別為x1=0.1，x2=0.1，x3=0.05，x4=0.25，x5=0.04，x6=0.15，x7=0.13，x8=0.03，x9=0.04，x10=0.06.故 n=10，c=max{α，x10}=max{0.2，0.25}=0.25.設 H0:θ＞ θ0，H1:θ≤θ0.a1:接受H0，則不接單，a2:接受H1，則接單.每張美術作品收益函數為

［1］張靜.貝葉斯假設檢驗有經典假設檢驗的對比研究［J］.統計與決策，2012(9):36-37.

［2］賈旭山，金振中.二項分布貝葉斯假設檢驗方法［J］.現代防御技術，2008，36(5):37-40.

［3］姜培華，范國良.幾種非正態總體參數的貝葉斯假設檢驗問題［J］.南通大學學報，2013，12(1):82-86.

［4］楊興瓊，張德然，周偉萍.一類非正態總體未知參數的Bayes假設檢驗［J］.綿陽師范學院學報，2007，26(8):14-16.

［5］茆詩松.貝葉斯統計［M］.北京:中國統計出版社，1999.