基于貝葉斯面板平滑轉換模型的房價閾值效應研究*

(湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082)

基于貝葉斯面板平滑轉換模型的房價閾值效應研究*

朱慧明，游萬海，李小依

(湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082)

針對經濟變量之間普遍存在的非線性關系，導致線性模型擬合失效的問題，構建面板數據平滑轉換模型，刻畫變量之間關系的非對稱性。采用貝葉斯方法進行模型的參數估計，避免非線性最小二乘算法難以收斂，參數估計不確定。通過分析模型結構，選擇參數先驗分布，設計相應的Metropolis-Hasting-Gibbs混合抽樣算法，據此估計模型參數；在此基礎上，利用省域面板數據分析房價閾值效應問題。研究結果表明：參數的動態迭代軌跡收斂，MH-Gibbs混合抽樣算法能夠準確地估計模型各參數，解決了非線性最小二乘無法收斂的問題，證明了貝葉斯面板數據平滑轉換模型的有效性；同時也驗證了房價波動的閾值效應以及房價與城市化、城鄉收入差距之間的非線性關系。

房價；城市化；面板數據；平滑轉換模型；貝葉斯分析

一 引 言

異質性是經濟金融變量的主要特征之一，有效地刻畫數據的異質性是合理建模的前提。面板數據模型通過引入個體和時間效應，能夠有效地刻畫個體之間的異質行為特征和揭示經濟運行規律，因此，被廣泛的應用于描述各種復雜經濟社會現象。然而，經濟金融變量常表示出非對稱和非線性關系，使得經典的線性面板數據模型失效。例如，在資本市場中，由于買方和賣方之間的信息非對稱性，個體公司的投資決策通常與其他金融變量相關，如現金流量。面板平滑轉換回歸模型(Panel Smooth Transition Regression, PSTR)通過引入轉移變量使得模型系數具有時變性，不僅可以刻畫個體之間的異質性，同時也能有效地描述經濟金融變量間的非對稱關系，從而被廣泛應用于經濟、金融、環境和能源領域，探索其內在的行為規律。房地產行業作為國民經濟的重要產業，非理性投機需求、單維經濟利益驅動推動房價泡沫的形成，房地產市場供需機制畸形引發的金融穩定等問題倍受關注。

伴隨城市化進程的不斷發展，探究城市化促進房價上漲的方式和作用的大小成為學術界研究的重點。Kottis[1]認為人口從農村向城市的轉移對房地產市場的擴張產生了促進作用，引起了房價的上漲。Michaels和Rauch[2]研究了美國人口從農村向城市的轉移，認為該轉移伴隨著機制轉換。Gabriel[3]對加利福尼亞州兩個最大城市住宅價格的變化模式進行分析后發現，龐大的人口遷移規模是近幾十年來加利福尼亞州住宅價格變化的主要因素。Koetter和Poghosyan[4]認為城市化水平是房地產價格的重要環境變量之一。Ghebreegziabiher和Debrezion[5]研究發現，大城市的房價會伴隨城市化的進程而有所提高。程開明[6]基于誤差修正模型并進行協整分析，認為城市化水平與房地產價格之間存在著長期均衡關系，城市化構成房價的Granger原因。同時也有不少學者研究了城鄉收入差距對房地產價格波動存在顯著影響。胡曉[7]認為較大的收入差距是構成房價上漲的重要因素。Flaherty[8]認為城鄉收入差距拉大對房價具有顯著的正向促進作用，Quigley[9]等人的研究同樣證實這一觀點。陳健和高波[10]構建面板聯立方程模型研究發現，收入差距與房價之間存在正向互動關系，收入差距擴大推動房價上漲，房價上漲也會引起收入差距的擴大。以上對房價的研究都是在線性模型的基礎上考察了城市化水平、城鄉收入差距對房地產價格的影響，并未考慮變量間可能存在的非線性特征。

對變量的非線性特征、變量之間的非線性關系的研究已引起眾多學者關注，Hansen[11]利用英國公司15年數據研究了財政限制與投資決策的非線性關系。Lee和Chiu[12]發現了保險金在存在閾值效應。Julien[13]利用面板平滑轉換模型研究區域資本流動性，分析了投資與儲蓄之間的非線性關系。Rosa和Vicente[14]利用PSTR模型，在環境庫茨曲線的理論框架下，研究了人均用水量與人均收入的非線性關系。Jude[15]研究發現經濟發展與金融發展的非線性關系。Omay和Kan[16]運用非線性最小二乘法研究出口貿易對通貨膨脹的非線性影響的參數。學者駱永民[17]基于平滑轉換模型分析城市化對房價的影響，研究發現，我國房價波動表現出明顯的非對稱性，具有很強的非線性特征。但是非線性最小二乘法(NLS)估計平滑轉換模型存在參數估計難以收斂的問題，會導致參數估計不準確。貝葉斯方法將參數的先驗信息運用到統計推斷中，不僅提高了統計推斷的準確性，而且可以解決參數估計不確定等難題。Wang和Holan[18]運用貝葉斯方法估計多機制平滑轉換模型參數，有效并且準確地解決模型參數估計不收斂的問題。

本文將構建貝葉斯面板數據平滑轉換模型解決線性模型擬合非線性關系失效的問題，設置先驗分布，根據貝葉斯定理，得到各參數相應的完全條件后驗密度函數，設計MH-Gibbs混合抽樣算法估計模型參數，解決參數估計難以收斂問題；并且利用省域面板數據對房價波動的閾值效應進行實證分析。

二 貝葉斯面板數據平滑轉換模型構建

(一)模型結構分析

面板數據平滑轉換模型不僅可以刻畫多個不同個體隨時間變化的行為特征，分析各個個體之間的共性與異質性，而且因其參數可以隨著一個含有外生變量的函數進行平滑轉變，進而模型描述了所有截面個體的參數對應于某一變量具有非線性轉換以及轉換漸進的行為特征。Gonzalez和Dijk[19]提出面板數據平滑轉換模型(PSTR)，該模型是面板數據門限回歸(PTR)模型的推廣，面板數據平滑轉換模型的表達式如下：

yit=αi+β1xit+β2xitg(qit;γ,c)+εit，

i=1,2,…,N;t=1,2,…,T

(1)

其中，yit為被解釋變量，i表示面板數據的個體維度，t表示時間維度，β1和β2依次為線性部分和非線性部分的參數向量。αi表示截面個體固定效應，εit為殘差項。g(qit,γ,c)是一個取值介于0～1之間、連續的轉換函數，可觀測變量qit稱為轉換變量，qit可以是xit向量組成部分的函數，也可以為一個不包含在xit內的外生變量。參數γ為平滑參數，表示從一個機制轉換到另一個機制的速度或調整的平滑性，決定了轉換的速度。c為發生轉換的位置參數，是機制轉換發生的臨界值，即閾值水平。g(qit;γ,c)常用如下形式的邏輯函數:

(2)

其中，在實際應用中，d通常取1或2。當d=1時，轉換函數的形式為LSTR1型，關于轉換變量qit單調遞增。當g(·)=0時，模型處于低機制；g(·)=1時，模型處于高機制，轉換函數值在0和1之間平滑轉換，實現模型在兩種機制之間平滑轉換。當d=2時，轉換函數稱為LSTR2型，在(c1+c2)/2處，g(·)達到最小值，對應的機制為中間機制。

當γ→，d=1時，，其表達式為：

(3)

此時，g(·)為示性函數I[qit>c]，PSTR模型轉化為兩機制的PTR模型；當γ→，d=2時，，其表達式為：

(4)

此時，g(·)為示性函數I[c1≤qit≤c2]，PSTR模型轉化為包含兩個相同機制和一個中間機制的PTR模型；當γ=0時，無論d如何取值，g(·)值均為0，此時PSTR模型退化為線性固定效應模型。因此，線性固定效應模型和PTR模型均為PSTR模型的特殊情形。

(二)貝葉斯分析

對于個體i，面板數據平滑轉換模型的矩陣形式為：

(5)

Y=ZΨ+ε，ε～N(0,σ2I)

(6)

給定(γ,c)，Y服從期望為ZΨ，協方差矩陣為σ2I的正態分布，即Y～N(ZΨ,σ2I)，則面板數據平滑轉換模型的似然函數為：

L(Y|X,Ψ,γ,c,σ2)∝σ-NT

(7)

由于參數的后驗概率密度函數可以通過模型參數的先驗分布與模型的聯合似然函數的乘積獲得，因此要實現對模型的貝葉斯分析，參數先驗分布的設置是前提。已知模型的似然函數，設置參數的先驗分布，從而可得參數的后驗密度函數。根據Lopes和Salazar[20]的觀點，模型參數先驗分布設置為：

Ψ～N(μΨ0,VΨ0)，σ2～IG(λ0,θ0)，

γ～G(ζ,?)，c～N(μc0,Vc0)

(8)

此處，G為Gamma分布，IG為逆Gamma分布。

根據貝葉斯定理，模型參數的聯合后驗密度正比于參數的先驗分布與模型似然函數的乘積，在不考慮參數先驗的相依性的情況下，聯合后驗分布函數的具體表達式如下：

π(Ψ,γ,c,σ2|Y,X)=π(Ψ,γ,c,σ2)×

L(Y|X,Ψ,γ,c,σ2)/π(Y)

∝L(Y|X,Ψ,γ,c,σ2)π(Ψ)π(γ)π(c)π(σ2)

(9)

由于參數的聯合后驗分布形式比較復雜，不屬于已有統計分布的范疇，無法對其進行直接抽樣，因此下文研究討論各參數的完全條件后驗分布，以方便運用MCMC抽樣算法進行抽樣。

(1)參數Ψ的完全條件后驗分布。根據條件概率定義，在給定γ，c和σ2的條件下，參數Ψ的完全條件后驗分布密度函數為：

π(Ψ|Y,X;γ,c,σ2)=π(Ψ,γ,c,σ2|Y,X)/

π(γ,c,σ2|Y,X)∝L(Y|X,Ψ,γ,c,σ2)π(Ψ)

(10)

其中

根據Ψ的完全條件后驗分布形式，可以知道，Ψ服從期望為μΨ，協方差為VΨ的正態分布。

(2)參數σ2的完全條件后驗分布。類似地，σ2的完全條件后驗分布密度函數為：

π(σ2|Y,X,Ψ,γ,c)=π(Ψ,γ,c,σ2|Y,X)/π(Ψ,γ,c|Y,X)

∝L(Y|X,Ψ,γ,c,σ2)π(σ2)

∝(σ2)-λ-1exp (-θ/σ2)

(11)

此處，λ=NT/2+λ0，θ=(Y-ZΨ)′(Y-ZΨ)/2+θ0，由σ2的完全條件后驗分布形式可知，σ2服從形狀參數為λ，尺度參數為θ的逆Gamma分布。

(3)參數γ和c的完全條件后驗分布。參數γ和c的完全條件后驗分布密度函數形式比較復雜，沒有已知的標準統計分布可以用來抽樣。因此可以采取隨機游走Metropolis-Hasting抽樣算法進行聯合抽樣。設(γ，c)的當前值為(γ(m),c(m))，點(γ*,c*)從建議分布γ*～N(γ(m),Δγ)，c*～N(c(m),Δc)中抽樣產生。那么(γ*,c*)的接受概率為：

p=min {1,η}

(12)

其中

此處，Z*=Z(qit;γ*,c*)，dN和dg分別表示密度函數為正態分布和Gamma分布。Δγ和Δc是抽樣的調整值，使得接收概率在0.3與0.4之間。

(三)MH-Gibbs混合抽樣

根據模型參數Ψ和σ2的完全條件后驗分布以及遍歷性定理，可以利用基于Gibbs抽樣的MCMC數值算法進行模擬仿真；同時Metropolis-Hasting抽樣算法對參數(γ,c)進行抽樣分析，以獲得模型參數的貝葉斯估計及其分位數。貝葉斯面板數據平滑轉換模型的MCMC抽樣過程如下：

(1)給定各參數的初始值為(Ψ0，γ0，c0,(σ2)0)，假設(Ψ(m),γ(m),c(m),σ2(m))是第m次迭代結果，M為抽樣次數。

(2)從(Ψ|Y,X,γ(m),c(m),σ2(m))～N(μΨ,VΨ)中抽取Ψ(m+1)；

(3)從(σ2|Y,X,ψ(m+1),γ(m),c(m))～IG(λ,θ)中抽取σ2(m+1)；

(4)從γ*～g((γ(m))2/Δγ,γ(m)/Δγ)，c*～N(c(m),Δc)中抽取(γ*,c*)，使得：

(5)令m=m+1，重復(2)至(4)，直至收斂。

在抽樣初期，參數初始值的設定對隨機數的生成影響較大，得到的MC鏈條非平穩，所以為了保證MH-Gibbs抽樣算法的有效性和估計模型參數的準確性，應該去掉最初產生的m個隨機數，利用剩余的M-m個數據進行分析。同時，在剩余的鏈條中，每h個生成數隨機抽取一個作為樣本集合中的元素，可以減少鏈條的自相關性，因此，實際用于分析的數據為N=[(M-m)/h]個。Markov鏈為：(Ψ(m+k+nl),γ(m+k+nl),c(m+k+nl))。那么模型的參數的MC估計為：

n=0,1,…,N-1，1≤k≤h

(13)

三 實證研究

(一)指標與數據

選取我國31個地區2002～2011年的城市化水平、城鄉收入差距與房地產價格的面板數據建立平滑轉換模型，研究城市化水平以及城鄉收入差距對房地產價格的影響。單位銷售面積的銷售額即銷售額除以銷售面積，表示房地產價格(PH)；城市化水平(UR)為城鎮人口總數除以總人口數；城鄉收入差距(YG)采取城市人均可支配收入與農村純收入的差；當經濟發展水平較高時，一個地區的商業和人口往往比較集中，房價自然也較高，因此選取人均國內生產總值(pGDP)作為轉換變量。文中所用數據來源于國家統計局和國泰安數據庫。圖1分別給出了房地產價格、城鄉收入差距以及城市化水平的核密度圖。

根據三個變量的核密度圖可以知道，房地產價格的核密度波峰持續右偏且波及范圍越來越廣，這說明房地產平均價格在逐漸上漲且各地區的差距在增大；城鄉收入差距的核密度圖波峰偏移不是很明顯，且波及范圍不大；城市化水平核密度呈現明顯地雙峰特征。這說明三個變量均存在“低狀態”和“高狀態”兩個形態，每個形態都有不同的分布特征，說明城市化水平與城鄉收入差距對房地產的價格影響，回歸系數在不同形態會呈現不同的特征，這初步驗證了面板數據平滑轉換模型的適用性。

(a)PH核密度圖 (b)YG核密度圖 (c)UR核密度圖

(二)數據分析

在經濟面板數據分析中，對非平穩的面板數據進行回歸，容易產生偽回歸問題，因此對面板數據的平穩性檢驗是必不可少的步驟之一，其中，單位根檢驗在檢驗數據平穩性占有至關重要的作用。因此，首先對各個變量序列進行單位根檢驗。

常用的單位根檢驗方法有LLC檢驗和IPS檢驗，兩種檢驗方法建立在擾動項獨立不同分布、允許異方差的基礎上，并且考慮了單個個體擾動項的自相關情形。LLC和IPS檢驗兩種單位根檢驗方法都基于傳統單一時間序列數據的DF和ADF檢驗式，正如白凡[21]的觀點，其不同之處是在個體間獨立與同質的不同假定下，采用不同的數據處理方法建立了不同的檢驗式統計量，證明其收斂于標準正態分布。兩種檢驗方法均采用ADF檢驗式，表達式為：

(14)

LLC檢驗假設所有個體在原假設和備擇假設下都存在同質性，原假設和備擇假設設置如下：

H0:δ1=δ2=…=δN=0；H1:δ1=δ2=…=δN<0

(15)

與LLC檢驗相比較，IPS檢驗放松了個體同質性的要求，IPS檢驗的假設只要求原假設下每個個體具有同質性，允許備擇假設中部分個體不同，即部分δi為0，這放松了LLC檢驗中所有δi都必須相同的約束。IPS檢驗的原假設和備擇假設設置如下：

H0:δ1=δ2=…=δN=0；H1:δ1=δ2=…=δNl<0,

δNl+1=δNl+2=…=δN=0

(16)

IPS檢驗在同質性要求上的放松，更加符合經濟數據的特點，承認整體平穩和個體數據不平穩的事實。單位根檢驗的原假設H0:存在單位根；H1:不存在單位根。根據Eviews6.0軟件進行單位根檢驗，在95%的置信水平下檢驗結果如表1。

表1 參數的單位根檢驗結果

*表示95%的置信水平下顯著

根據表1中檢驗結果，各p值均小于0.05，兩種檢驗方法均拒絕原假設，表示各個變量在個體同質和異質條件下均不存在單位根。做出以下模型：

在MH-Gibbs抽樣過程，首先對模型中的參數進行100000次抽樣，舍棄前10000次結果，每6個生成數隨機抽取一個作為樣本的元素，構成樣本量為15000的Markov鏈，得到模型參數估計結果。圖2-4分別給出了各參數的迭代軌跡圖、Geweke檢驗圖以及自相關圖。

(a)β1迭代軌跡圖 (b)β2迭代軌跡圖 迭代軌跡圖

迭代軌跡圖 (e)c迭代軌跡圖 (f)γ迭代軌跡圖

由各參數的動態迭代軌跡圖可知，參數的動態迭代軌跡都已達到平穩，穩定地分布在一條水平線附近，沒有呈現出明顯的周期性和規律性，說明貝葉斯面板數據平滑轉換模型主要參數的后驗分布都已達到穩定狀態，此時抽樣得到的數據基本可行，MH-Gibbs混合抽樣方法所得樣本平穩性較好。但仍需判斷抽到的Markov鏈是否收斂。圖3是Geweke收斂檢驗圖。

(a)β1收斂檢驗圖 (b)β2收斂檢驗圖 收斂檢驗圖

收斂檢驗圖 (e)c收斂檢驗圖 (f)γ收斂檢驗圖

由Geweke檢驗圖可知，各參數的Z統計量的值均處于-1.96和1.96之間，因此可以認為，在95%的置信水平下，迭代初的樣本均值與迭代末的樣本均值不存在顯著性差異，因此可以判斷MCMC混合抽樣方法得到的Markov鏈是收斂的。

(a)β1自相關圖 (b)β2自相關圖 自相關圖

自相關圖 (e)c自相關圖 (f)γ自相關圖

根據參數的自相關圖可以知道，初始值不同，參數的自相關系數隨著迭代次數的增加逐漸趨近于0，表明各參數不存在自相關。綜合模型參數的動態迭代軌跡圖，可知得到的抽樣數據是有效的。圖5是模型參數邊緣后驗分布核密度。

從各參數的后驗密度圖可知，除了參數c，其它各參數的邊緣后驗分布核密度估計曲線都比較平滑，且有明顯的單峰對稱特征，說明參數貝葉斯估計值誤差非常小。雖然參數c的后驗分布不服從正態分布，但后驗分布圖存在單峰特征，也說明參數貝葉斯估計值誤差非常小。圖5說明了MH-Gibbs混合抽樣方法有效地模擬了模型中各參數的邊緣后驗分布。根據MH-Gibbs抽樣結果，結合核密度估計圖，可以模擬得出參數的貝葉斯估計值。表3給出了各參數的后驗均值估計、標準差、MC誤差、2.5%分位數、97.5%分位數的貝葉斯估計值。

(a)β1后驗密度圖 (b)β2后驗密度圖 后驗密度圖

后驗密度圖 (e)c后驗密度圖 (f)γ后驗密度圖

表2 參數的MC估計結果

根據表3各參數的估計結果，可以得出以下分析：

四 結 論

本文針對面板數據平滑轉換模型估計算法難以收斂的問題，構建貝葉斯面板數據平滑轉換模型，設置先驗分布，根據參數的完全條件后驗分布信息設計相應的MH-Gibbs混合抽樣方案，據此進行模型參數的估計。在此基礎上，利用中國省域面板數據研究房價波動的閾值效應。結果發現：模型的各個參數的迭代軌跡均是收斂的，參數估計的MC誤差都比較小；并且后驗密度曲線為鐘形，說明MH-Gibbs混合抽樣算法有效地模擬了參數的完全條件后驗分布，貝葉斯面板數據平滑轉換模型能夠更好地說明變量之間的關系，同時也驗證了房價波動存在閾值效應。本文運用新的模型研究發現房價波動存在閾值效應，同時也采用貝葉斯方法解決常用參數估計方法不確定性的問題。但是文中只考慮了模型存在兩種狀態，并未考慮可能存在更多種狀態，而且各個個體閾值是相同的，未考慮個體閾值的不同，這也是進一步研究的問題。

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Bayesian inference on Price of the Real Estate ThresholdEffect Based on Panel Smooth Transition Regression Model

ZHU Hui-ming，YOU Wan-hai ，LI Xiao-yi

(College of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China)

For non-linear relationship between the prevalence of economic variables, resulting in failure of the linear model fitting problems, panel data smooth transition regression models are established .bayesian method is used to address uncertain risk of parameters estimation caused by common estimation algorithm which is difficult to converge. Based on the analysis of model statistic structure and the selection of parameters prior,the Metropolis-Hasting within Gibbs sampling method is utilized to estimate model parameters, predicting parameters in use of Monte Carlo Markov Chain.The empirical research applies Bayesian panel data smooth model to analyze the data in Chinese provinces. The research outcomes indicate that the iteration traces of parameters are convergent, and the Metropolis-Hasting within Gibbs sampling method estimates parameters accurately, resolving the problem difficult to converge, showing the effectiveness of Bayesian panel smooth transition model. Furthermore, the existence of threshold effect in the price of the Real Estate has been certificated.

Price of the Real Estate; Urbanization; Panel Data; Smooth Transition Regression Model; Bayesian Analysis

2014-02-16

國家自然科學基金創新研究群體項目(71221001)；國家自然科學基金項目(71171075，71031004)；教育部博士點基金項目(20110161110025)；湖南省自然科學基金項目(11JJ3090)

朱慧明(1966—)，男，湖南湘潭人，湖南大學工商管理學院教授、博士生導師.研究方向：貝葉斯計量經濟模型.

F293.3

A

1008—1763(2014)05—0066—08