函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題

深化導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí).

本考點(diǎn)試題的命制往往融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)于一體，通過(guò)演繹證明、運(yùn)算推理等理性思維，解決單調(diào)性、極值、最值、切線、方程的根、參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，這類(lèi)題難度很大，綜合性強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏. 解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想.

（1）若a=1，求f（x）在點(diǎn)（1， f（1））處的切線方程；

（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；

（3）若f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

破解思路 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

求曲線的切線方程的方法是：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0， f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）. 求過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程時(shí)，應(yīng)先判斷P（x0，y0）是否是切點(diǎn)，即是否在曲線y=f（x）上. 若P（x0，y0）是曲線y=f（x）上的點(diǎn)，則切線斜率即為f ′（x0），代入點(diǎn)斜式方程y-y0=f ′（x0）（x-x0），就是過(guò)P（x0，y0）的曲線的切線方程；若P（x0，y0）不是切點(diǎn)，即不是曲線上的點(diǎn)，則應(yīng)設(shè)切點(diǎn)為（x1，y1），求出（x1，y1），再求方程.

求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；③解方程f ′（x）=0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f（x）在x 處取極小值. 第（2）問(wèn)中含有參數(shù)，故需要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想. 第（3）問(wèn)是典型的含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，求解策略是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，此時(shí)我們有兩種選擇：一是利用分類(lèi)討論思想直接求函數(shù)的最值，二是利用分離變量法求函數(shù)的最值.endprint

深化導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí).

本考點(diǎn)試題的命制往往融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)于一體，通過(guò)演繹證明、運(yùn)算推理等理性思維，解決單調(diào)性、極值、最值、切線、方程的根、參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，這類(lèi)題難度很大，綜合性強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏. 解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想.

（1）若a=1，求f（x）在點(diǎn)（1， f（1））處的切線方程；

（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；

（3）若f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

破解思路 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

求曲線的切線方程的方法是：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0， f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）. 求過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程時(shí)，應(yīng)先判斷P（x0，y0）是否是切點(diǎn)，即是否在曲線y=f（x）上. 若P（x0，y0）是曲線y=f（x）上的點(diǎn)，則切線斜率即為f ′（x0），代入點(diǎn)斜式方程y-y0=f ′（x0）（x-x0），就是過(guò)P（x0，y0）的曲線的切線方程；若P（x0，y0）不是切點(diǎn)，即不是曲線上的點(diǎn)，則應(yīng)設(shè)切點(diǎn)為（x1，y1），求出（x1，y1），再求方程.

求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；③解方程f ′（x）=0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f（x）在x 處取極小值. 第（2）問(wèn)中含有參數(shù)，故需要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想. 第（3）問(wèn)是典型的含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，求解策略是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，此時(shí)我們有兩種選擇：一是利用分類(lèi)討論思想直接求函數(shù)的最值，二是利用分離變量法求函數(shù)的最值.endprint

深化導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí).

本考點(diǎn)試題的命制往往融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)于一體，通過(guò)演繹證明、運(yùn)算推理等理性思維，解決單調(diào)性、極值、最值、切線、方程的根、參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，這類(lèi)題難度很大，綜合性強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏. 解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想.

（1）若a=1，求f（x）在點(diǎn)（1， f（1））處的切線方程；

（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；

（3）若f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

破解思路 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

求曲線的切線方程的方法是：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0， f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）. 求過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程時(shí)，應(yīng)先判斷P（x0，y0）是否是切點(diǎn)，即是否在曲線y=f（x）上. 若P（x0，y0）是曲線y=f（x）上的點(diǎn)，則切線斜率即為f ′（x0），代入點(diǎn)斜式方程y-y0=f ′（x0）（x-x0），就是過(guò)P（x0，y0）的曲線的切線方程；若P（x0，y0）不是切點(diǎn)，即不是曲線上的點(diǎn)，則應(yīng)設(shè)切點(diǎn)為（x1，y1），求出（x1，y1），再求方程.

求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；③解方程f ′（x）=0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f（x）在x 處取極小值. 第（2）問(wèn)中含有參數(shù)，故需要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想. 第（3）問(wèn)是典型的含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，求解策略是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，此時(shí)我們有兩種選擇：一是利用分類(lèi)討論思想直接求函數(shù)的最值，二是利用分離變量法求函數(shù)的最值.endprint