證明平行、垂直關(guān)系，求空間距離，求空間角

能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些與空間位置關(guān)系有關(guān)的簡單命題，能用向量方法解決空間中的一些問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.

能用向量方法和傳統(tǒng)方法解決直線與直線、點與平面、直線與平面、平面與平面的證明問題和計算問題. 若問題中有正方體、長方體、底面有一角為直角的直棱柱、底面為菱形的直四棱柱、四棱錐等凡能出現(xiàn)三條兩兩垂直直線的圖形，常?？紤]建立空間直角坐標系用向量的方法求解. 要注意向量運算與基本性質(zhì)相結(jié)合的論述，這是今后的方向，可以“形到形”，可以“數(shù)到形”，注意數(shù)形結(jié)合. 也要注意常規(guī)方法的使用.

高考定位：

它是高考考查的重要方面，以解答題的形式出現(xiàn).清楚線線平行、線面平行、面面平行，以及線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化. 清楚用向量法解立體幾何問題是主趨勢，掌握向量法解立體幾何問題的方法，可以使幾何問題化難為易，可以使立體幾何中的角、距離的求法公式化.

題型一：用定理和性質(zhì)證明平行和垂直

1. 平行證明

（1）線線平行：①線線平行的定義；②公理4；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理；⑤線面垂直的性質(zhì)定理.

（2）線面平行：①線面平行的定義；②線面平行的判定定理；③面面平行的性質(zhì)定理.

（3）面面平行：①面面平行的定義；②面面平行的判定定理，③線面垂直的性質(zhì)定理；④面面平行的傳遞.

2. 垂直證明

（1）線線垂直：①線線垂直的定義；②線面垂直的性質(zhì)定理.

（2）線面垂直：①線面垂直的定義；②線面垂直的判定定理；③面面垂直的性質(zhì)定理.

（3）面面垂直：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.

如圖1，已知在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別為CD，PC的中點. 求證：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

完美解答 （1）因為平面PAD∩平面ABCD=AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD.

（2）因為AB∥CD，CD=2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB=DE. 所以ABED為平行四邊形.所以BE∥AD. 又因為BE？埭平面PAD，AD？奐平面PAD，所以BE∥平面PAD.

（3）因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥底面ABCD，則PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD. 又E，F(xiàn)分別為CD，CP的中點，所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE=E，所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥底面PCD.

題型二：求空間距離

空間距離是指兩點距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離以及面面距離等. 以上距離都可轉(zhuǎn)化為兩點距離即線段長來計算. 這六種距離的重點和難點是求點到平面的距離，因為線線距離、線面距離和面面距離除用定義能直接計算得出結(jié)果外，還可以轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離進行計算. 另外，高考對異面直線距離的考查不會太復雜，一般都是能找到公垂線段，如果遇到未給出公垂線段的問題，可以采用函數(shù)最值法（異面直線上任意兩點距離的最小值）或轉(zhuǎn)化為點面距離、線面距離、面面距離來求解.

如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求底面中心點O到平面B1D1C的距離.endprint

能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些與空間位置關(guān)系有關(guān)的簡單命題，能用向量方法解決空間中的一些問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.

能用向量方法和傳統(tǒng)方法解決直線與直線、點與平面、直線與平面、平面與平面的證明問題和計算問題. 若問題中有正方體、長方體、底面有一角為直角的直棱柱、底面為菱形的直四棱柱、四棱錐等凡能出現(xiàn)三條兩兩垂直直線的圖形，常?？紤]建立空間直角坐標系用向量的方法求解. 要注意向量運算與基本性質(zhì)相結(jié)合的論述，這是今后的方向，可以“形到形”，可以“數(shù)到形”，注意數(shù)形結(jié)合. 也要注意常規(guī)方法的使用.

高考定位：

它是高考考查的重要方面，以解答題的形式出現(xiàn).清楚線線平行、線面平行、面面平行，以及線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化. 清楚用向量法解立體幾何問題是主趨勢，掌握向量法解立體幾何問題的方法，可以使幾何問題化難為易，可以使立體幾何中的角、距離的求法公式化.

題型一：用定理和性質(zhì)證明平行和垂直

1. 平行證明

（1）線線平行：①線線平行的定義；②公理4；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理；⑤線面垂直的性質(zhì)定理.

（2）線面平行：①線面平行的定義；②線面平行的判定定理；③面面平行的性質(zhì)定理.

（3）面面平行：①面面平行的定義；②面面平行的判定定理，③線面垂直的性質(zhì)定理；④面面平行的傳遞.

2. 垂直證明

（1）線線垂直：①線線垂直的定義；②線面垂直的性質(zhì)定理.

（2）線面垂直：①線面垂直的定義；②線面垂直的判定定理；③面面垂直的性質(zhì)定理.

（3）面面垂直：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.

如圖1，已知在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別為CD，PC的中點. 求證：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

完美解答 （1）因為平面PAD∩平面ABCD=AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD.

（2）因為AB∥CD，CD=2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB=DE. 所以ABED為平行四邊形.所以BE∥AD. 又因為BE？埭平面PAD，AD？奐平面PAD，所以BE∥平面PAD.

（3）因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥底面ABCD，則PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD. 又E，F(xiàn)分別為CD，CP的中點，所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE=E，所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥底面PCD.

題型二：求空間距離

空間距離是指兩點距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離以及面面距離等. 以上距離都可轉(zhuǎn)化為兩點距離即線段長來計算. 這六種距離的重點和難點是求點到平面的距離，因為線線距離、線面距離和面面距離除用定義能直接計算得出結(jié)果外，還可以轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離進行計算. 另外，高考對異面直線距離的考查不會太復雜，一般都是能找到公垂線段，如果遇到未給出公垂線段的問題，可以采用函數(shù)最值法（異面直線上任意兩點距離的最小值）或轉(zhuǎn)化為點面距離、線面距離、面面距離來求解.

如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求底面中心點O到平面B1D1C的距離.endprint

能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些與空間位置關(guān)系有關(guān)的簡單命題，能用向量方法解決空間中的一些問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.

能用向量方法和傳統(tǒng)方法解決直線與直線、點與平面、直線與平面、平面與平面的證明問題和計算問題. 若問題中有正方體、長方體、底面有一角為直角的直棱柱、底面為菱形的直四棱柱、四棱錐等凡能出現(xiàn)三條兩兩垂直直線的圖形，常?？紤]建立空間直角坐標系用向量的方法求解. 要注意向量運算與基本性質(zhì)相結(jié)合的論述，這是今后的方向，可以“形到形”，可以“數(shù)到形”，注意數(shù)形結(jié)合. 也要注意常規(guī)方法的使用.

高考定位：

它是高考考查的重要方面，以解答題的形式出現(xiàn).清楚線線平行、線面平行、面面平行，以及線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化. 清楚用向量法解立體幾何問題是主趨勢，掌握向量法解立體幾何問題的方法，可以使幾何問題化難為易，可以使立體幾何中的角、距離的求法公式化.

題型一：用定理和性質(zhì)證明平行和垂直

1. 平行證明

（1）線線平行：①線線平行的定義；②公理4；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理；⑤線面垂直的性質(zhì)定理.

（2）線面平行：①線面平行的定義；②線面平行的判定定理；③面面平行的性質(zhì)定理.

（3）面面平行：①面面平行的定義；②面面平行的判定定理，③線面垂直的性質(zhì)定理；④面面平行的傳遞.

2. 垂直證明

（1）線線垂直：①線線垂直的定義；②線面垂直的性質(zhì)定理.

（2）線面垂直：①線面垂直的定義；②線面垂直的判定定理；③面面垂直的性質(zhì)定理.

（3）面面垂直：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.

如圖1，已知在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別為CD，PC的中點. 求證：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

完美解答 （1）因為平面PAD∩平面ABCD=AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD.

（2）因為AB∥CD，CD=2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB=DE. 所以ABED為平行四邊形.所以BE∥AD. 又因為BE？埭平面PAD，AD？奐平面PAD，所以BE∥平面PAD.

（3）因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥底面ABCD，則PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD. 又E，F(xiàn)分別為CD，CP的中點，所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE=E，所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥底面PCD.

題型二：求空間距離

空間距離是指兩點距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離以及面面距離等. 以上距離都可轉(zhuǎn)化為兩點距離即線段長來計算. 這六種距離的重點和難點是求點到平面的距離，因為線線距離、線面距離和面面距離除用定義能直接計算得出結(jié)果外，還可以轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離進行計算. 另外，高考對異面直線距離的考查不會太復雜，一般都是能找到公垂線段，如果遇到未給出公垂線段的問題，可以采用函數(shù)最值法（異面直線上任意兩點距離的最小值）或轉(zhuǎn)化為點面距離、線面距離、面面距離來求解.

如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求底面中心點O到平面B1D1C的距離.endprint