讓經(jīng)驗在“破”與“立”中修正

王焱烽

教學中如何讓學生積累基本活動經(jīng)驗？這一直是一線教師十分關注的話題。筆者認為，結合具體的教學案例來探討是研究和解決這一問題的有效途徑。不久前，筆者就碰到了這樣一道極富啟發(fā)意義的圖形面積計算綜合題。在對這道綜合題的思錯、悟錯過程中，學生主動修正自己的數(shù)學活動經(jīng)驗，取得了較好的教學效果。

一、問題

此題是人教版五年級上《多邊形的面積》單元“整理和復習”后的一道練習題。此題中的小樹由1個三角形、2個梯形和1個長方形組成，數(shù)據(jù)繁多，靈活性強。對學生解題思路的嚴密性和計算的準確性是一大考驗。

學生在完成了這道題的嘗試作業(yè)之后，筆者經(jīng)過批改、整理，發(fā)現(xiàn)該題的解答出現(xiàn)諸多錯誤，其中最大的問題出現(xiàn)在第（2）小題的解答中。根據(jù)樣本統(tǒng)計，全班無一人做對。大部分學生都是用“手工紙的面積÷小樹的面積”的方法進行計算。通過教師提示，學生進行了動手操作，結果最終能夠剪出9棵樹的也只有一位同學（而且耗費了很長時間）。

面對這樣的情況，筆者結合學生的計算過程和平時作業(yè)進行了思考與分析。

二、思考與分析

1.為什么大部分學生都是用“手工紙的面積÷小樹的面積”的方法？

事實上，從學生學習除法開始，這類“大面積÷小面積=包含的個數(shù)”的思考方法，已成為學生頭腦中十分穩(wěn)固、強勢的問題解決經(jīng)驗。從整數(shù)除法開始，直至學生前一階段所學的小數(shù)除法，到多邊形面積的計算習題（如例1，摘自五上年級配套的課堂作業(yè)本P.40，該題為三角形面積計算的練習課的課堂練習），無不在暗示學生，“大面積÷小面積=包含的個數(shù)”這一方法的普遍適用性。

例1：某班要做一些如圖1所示的直角三角形小紅旗，一張長1.2米、寬0.8米的長方形紅紙，能做這樣的小紅旗多少面？

（1.2×0.8）÷（0.3×0.2÷2）=32（面）

答：能做這樣的小紅旗32面

于是在碰到類似問題情境時，學生提取這樣的方法進行計算成為自然、唯一的方法（如例2）。

例2：人民醫(yī)院用一塊長7.2米、寬1.8米的長方 形白布制作包扎用的三角巾（如圖2），能做這樣的三角巾多少塊？

7.2×1.8=12.96（米2）

S=ah÷2=0.9×0.9÷2=0.81÷2=0.405（米2）

12.96÷0.405=32（塊）

答：最多能做32塊這樣的三角巾

從這兩道習題來看，學生經(jīng)過這樣的練習，頭腦中已然形成了一定的思維脈絡，一旦相似的問題情境出現(xiàn)，頭腦中的原有經(jīng)驗便被瞬時激活：

我們知道，思維定勢是思維的一種“慣性”，指由于先前的活動而形成的一種心理準備狀態(tài)，它使人以比較固定的方式去進行認知并作出行為反應。思維定勢對問題的解決既具有積極作用，也具有消極影響。一方面，思維定勢可以加快學生的解題速度，使學生采用最簡捷的途徑解決問題；但另一方面，當問題情境改變時，思維定勢卻容易導致學生在問題解決方法的選擇上出現(xiàn)不當乃至錯誤。這其實就是學生缺乏“具體問題具體分析”意識的體現(xiàn)。

所以，從學生用大面積除以小面積的方法使用來看，正是積極思維定勢的體現(xiàn)。這種借助原有的思維活動經(jīng)驗去解決問題的意識是有積極意義的。但本文所述習題，求這樣的小樹可以剪多少棵，也是學生消極思維定勢的體現(xiàn)。

2. 為什么要讓學生完成這樣一道習題，它的練習價值在何處？

這個問題并不指向于錯誤產(chǎn)生的原因。對分析錯誤原因毫不相干。但是，對這個問題的思考，有助于我們在撥開錯誤迷霧過程中，跳出習題看問題。題中的數(shù)據(jù)可謂繁雜，也不像先前的求圖形面積、求陰影部分面積等習題那樣標識得很清晰。但是深入思考不難發(fā)現(xiàn)繁雜的計算并不是該題的目的，那么該題的練習目的、練習意圖究竟是什么？通過這樣的練習，學生從中能獲得哪些有益的數(shù)學活動經(jīng)驗和數(shù)學思考方法？先前的學習經(jīng)驗、問題解決經(jīng)驗，在此處能派上用場嗎？與這道習題“一脈相承”的其他習題，能否為這道習題提供教學思路？

三、解決

“九層之臺起于累土”，如何幫助學生從思維定勢中“破繭而出”，建立新的思維活動經(jīng)驗呢？思維的“破”與“立”，并不是一蹴而就的。對于這道題，筆者運用緩坡度、分階段的教學實施過程，讓學生體會思想方法的運用之妙，更重要的是促進學生對新活動經(jīng)驗的獲得，幫助學生完善問題解決經(jīng)驗。

第一階段：

1.出示例1（見上文，題略）：你是怎么想的？學生得出：大面積÷小面積=個數(shù)

2.出示例2（見上文，題略）：你能解答嗎？

學生在原有經(jīng)驗的提取、運用下，很快就解決了。不出教師所料，方法依然是：大面積÷小面積=個數(shù)。

需要說明的是，例1是學生在課堂作業(yè)中完成過的，例2則是筆者在進行作業(yè)講評時補充的。這樣的設計，意在經(jīng)過練習，總結形成經(jīng)驗，即經(jīng)過一定數(shù)量的“感性經(jīng)驗”的積累，獲得“理性經(jīng)驗”——對規(guī)律的概括與提升。這是學生從結合三角形面積計算的直觀形式，到抽象的數(shù)學活動經(jīng)驗的初步生成和積累的過程。這一步，對于學生經(jīng)驗的獲得而言，同樣十分重要。

第二階段：

出示例3：農(nóng)具廠要切割底和高都是2分米的直角三角形鐵板，現(xiàn)在有一塊長1.3米、寬0.4米的長方形鐵板，最多可以切割這樣的三角形鐵板多少塊？

絕大部分學生的解法仍然如法炮制（圖3），沒有意識到雖然問題情境是相似的，但方法已然不再適用了。

這時筆者進行了適當?shù)囊龑?，學生很快意識到原有經(jīng)驗的局限性。通過課堂交流、實踐操作，學生在肯定了原先方法的同時，找到了問題所在，并給出了正確的思考方法（圖4）。

學生自行總結：原來“大面積÷小面積”方法有些時候可以用，有些時候卻不能用。像上面圖中，旁邊的小長方形就不能再切割出符合要求的三角形了。endprint

學生在完成了這道習題后，對解題方法進行了反思得出：

生1：我們可以把兩個這樣一模一樣的三角形拼起來。

生2：先算出一行能剪多少個，再算出一共能剪多少行。也就是每行個數(shù)×行數(shù)=總個數(shù)

生3：還可以用畫圖法。先畫一畫圖畫。每行畫幾個，一共可以畫幾行。這樣圖畫里的個數(shù)就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習題：用一張長45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹？

很多學生受前面兩個經(jīng)驗的影響，兩種方法都出現(xiàn)了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對嗎？在討論過程中，學生認識到，第一種做法是大面積除以小面積，因為小樹是組合圖形，也可以說是“不規(guī)則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費，因為旁邊還留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導：既然這樣“橫”著剪比較費紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹長多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹？

經(jīng)過教師的引導，學生把注意力放在了兩棵小樹中間的空隙上。

生1：兩棵樹之間有1個空隙，把小樹倒過來剛好是1個空隙的大小。這樣，5棵樹之間共有4個空隙，那么就可以放下4棵小樹。

生2：這就是我們學過的植樹問題嘛！

生3：間隔數(shù)=棵數(shù)-1。

生4：我知道了，就像是兩個手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運用、總結過程，實際上體現(xiàn)了學生對自身原有的數(shù)學活動經(jīng)驗的修正過程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來的“畫圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學生分析、總結方法，有助于個體經(jīng)驗的主動改造、豐富和提煉，有助于自身數(shù)學活動經(jīng)驗的充實、完善。

或者有人會問：這個方法后續(xù)學習中有沒有用呢？其實這樣的學習，不僅僅只是開闊了經(jīng)驗積累、經(jīng)驗修正。更重要的是，在學生思維方法的庫存得以豐實的同時，策略意識得以培養(yǎng)，解決問題的能力得以提升。在后續(xù)學習中，學生需要提取“雙手交叉法”的經(jīng)驗，只是，那時的“雙手交叉法”，已經(jīng)成為學生的已有經(jīng)驗了（見例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現(xiàn)實原型見圖10、學生作業(yè)見圖11）。

例4：在長12.4cm、寬7.2cm的長方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個？（人教版六年級下冊總復習P.100）

四、說明

本次干預過程，實際上并不是一次就能完成的。新方法的學習，是需要建立在學生已有方法、知識運用與思維水平之上的。分階段——結合當時學生的作業(yè)情況，對原有經(jīng)驗進行肯定、否定、再認可新經(jīng)驗的分次教學。緩坡度——讓學生對頭腦中的已有數(shù)學活動經(jīng)驗進行分析、比較，直至形成自己較為完善的問題解決結構。每一階段的教學，不應排斥原有方法和經(jīng)驗，但必須給予學生認識到已有方法的局限性的機會。不斷尋求新方法，從而形成新經(jīng)驗。繼而，在后續(xù)學習中，能綜合運用所獲得的知識、方法、思想、經(jīng)驗，根據(jù)新情境完成新任務。

還需指出的是，剪小樹這道題確實比較難。部分學生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學生給出“手指交叉”的手勢后，仍然對此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認為，后續(xù)教學中，教師仍需要通過具體的問題情境，幫助學生在運用中加深對方法的體驗。

經(jīng)歷過不代表就一定能獲得經(jīng)驗。經(jīng)驗的建立和運用是一個動態(tài)的、不斷積累、豐富反思的過程。在新的問題、新的情境、新的猜想產(chǎn)生中，學生思考、驗證、嘗試的數(shù)學活動，都是學生基于原有經(jīng)驗進一步主動修正、建構的過程。這個過程，為學生經(jīng)驗的螺旋式上升與發(fā)展提供了機會。經(jīng)驗，可以促進成長，卻也可能阻礙成長。不同方法在不同問題情境中的反復運用，有助于學生走出思維定勢，減少消極的思維定勢帶來的不利影響。通過不斷地體驗與感悟，溝通方法之間的內(nèi)在結構聯(lián)系，有助于學生認識各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產(chǎn)生自我修正方法的積極態(tài)度。從這個意義上來說，作為教師，要積極給予學生“破”“立”交替，主動獲取數(shù)學活動經(jīng)驗的機會。

（浙江省紹興市越城區(qū)馬山鎮(zhèn)車恂如小學 312000）endprint

學生在完成了這道習題后，對解題方法進行了反思得出：

生1：我們可以把兩個這樣一模一樣的三角形拼起來。

生2：先算出一行能剪多少個，再算出一共能剪多少行。也就是每行個數(shù)×行數(shù)=總個數(shù)

生3：還可以用畫圖法。先畫一畫圖畫。每行畫幾個，一共可以畫幾行。這樣圖畫里的個數(shù)就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習題：用一張長45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹？

很多學生受前面兩個經(jīng)驗的影響，兩種方法都出現(xiàn)了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對嗎？在討論過程中，學生認識到，第一種做法是大面積除以小面積，因為小樹是組合圖形，也可以說是“不規(guī)則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費，因為旁邊還留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導：既然這樣“橫”著剪比較費紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹長多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹？

經(jīng)過教師的引導，學生把注意力放在了兩棵小樹中間的空隙上。

生1：兩棵樹之間有1個空隙，把小樹倒過來剛好是1個空隙的大小。這樣，5棵樹之間共有4個空隙，那么就可以放下4棵小樹。

生2：這就是我們學過的植樹問題嘛！

生3：間隔數(shù)=棵數(shù)-1。

生4：我知道了，就像是兩個手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運用、總結過程，實際上體現(xiàn)了學生對自身原有的數(shù)學活動經(jīng)驗的修正過程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來的“畫圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學生分析、總結方法，有助于個體經(jīng)驗的主動改造、豐富和提煉，有助于自身數(shù)學活動經(jīng)驗的充實、完善。

或者有人會問：這個方法后續(xù)學習中有沒有用呢？其實這樣的學習，不僅僅只是開闊了經(jīng)驗積累、經(jīng)驗修正。更重要的是，在學生思維方法的庫存得以豐實的同時，策略意識得以培養(yǎng)，解決問題的能力得以提升。在后續(xù)學習中，學生需要提取“雙手交叉法”的經(jīng)驗，只是，那時的“雙手交叉法”，已經(jīng)成為學生的已有經(jīng)驗了（見例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現(xiàn)實原型見圖10、學生作業(yè)見圖11）。

例4：在長12.4cm、寬7.2cm的長方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個？（人教版六年級下冊總復習P.100）

四、說明

本次干預過程，實際上并不是一次就能完成的。新方法的學習，是需要建立在學生已有方法、知識運用與思維水平之上的。分階段——結合當時學生的作業(yè)情況，對原有經(jīng)驗進行肯定、否定、再認可新經(jīng)驗的分次教學。緩坡度——讓學生對頭腦中的已有數(shù)學活動經(jīng)驗進行分析、比較，直至形成自己較為完善的問題解決結構。每一階段的教學，不應排斥原有方法和經(jīng)驗，但必須給予學生認識到已有方法的局限性的機會。不斷尋求新方法，從而形成新經(jīng)驗。繼而，在后續(xù)學習中，能綜合運用所獲得的知識、方法、思想、經(jīng)驗，根據(jù)新情境完成新任務。

還需指出的是，剪小樹這道題確實比較難。部分學生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學生給出“手指交叉”的手勢后，仍然對此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認為，后續(xù)教學中，教師仍需要通過具體的問題情境，幫助學生在運用中加深對方法的體驗。

經(jīng)歷過不代表就一定能獲得經(jīng)驗。經(jīng)驗的建立和運用是一個動態(tài)的、不斷積累、豐富反思的過程。在新的問題、新的情境、新的猜想產(chǎn)生中，學生思考、驗證、嘗試的數(shù)學活動，都是學生基于原有經(jīng)驗進一步主動修正、建構的過程。這個過程，為學生經(jīng)驗的螺旋式上升與發(fā)展提供了機會。經(jīng)驗，可以促進成長，卻也可能阻礙成長。不同方法在不同問題情境中的反復運用，有助于學生走出思維定勢，減少消極的思維定勢帶來的不利影響。通過不斷地體驗與感悟，溝通方法之間的內(nèi)在結構聯(lián)系，有助于學生認識各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產(chǎn)生自我修正方法的積極態(tài)度。從這個意義上來說，作為教師，要積極給予學生“破”“立”交替，主動獲取數(shù)學活動經(jīng)驗的機會。

（浙江省紹興市越城區(qū)馬山鎮(zhèn)車恂如小學 312000）endprint

學生在完成了這道習題后，對解題方法進行了反思得出：

生1：我們可以把兩個這樣一模一樣的三角形拼起來。

生2：先算出一行能剪多少個，再算出一共能剪多少行。也就是每行個數(shù)×行數(shù)=總個數(shù)

生3：還可以用畫圖法。先畫一畫圖畫。每行畫幾個，一共可以畫幾行。這樣圖畫里的個數(shù)就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習題：用一張長45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹？

很多學生受前面兩個經(jīng)驗的影響，兩種方法都出現(xiàn)了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對嗎？在討論過程中，學生認識到，第一種做法是大面積除以小面積，因為小樹是組合圖形，也可以說是“不規(guī)則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費，因為旁邊還留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導：既然這樣“橫”著剪比較費紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹長多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹？

經(jīng)過教師的引導，學生把注意力放在了兩棵小樹中間的空隙上。

生1：兩棵樹之間有1個空隙，把小樹倒過來剛好是1個空隙的大小。這樣，5棵樹之間共有4個空隙，那么就可以放下4棵小樹。

生2：這就是我們學過的植樹問題嘛！

生3：間隔數(shù)=棵數(shù)-1。

生4：我知道了，就像是兩個手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運用、總結過程，實際上體現(xiàn)了學生對自身原有的數(shù)學活動經(jīng)驗的修正過程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來的“畫圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學生分析、總結方法，有助于個體經(jīng)驗的主動改造、豐富和提煉，有助于自身數(shù)學活動經(jīng)驗的充實、完善。

或者有人會問：這個方法后續(xù)學習中有沒有用呢？其實這樣的學習，不僅僅只是開闊了經(jīng)驗積累、經(jīng)驗修正。更重要的是，在學生思維方法的庫存得以豐實的同時，策略意識得以培養(yǎng)，解決問題的能力得以提升。在后續(xù)學習中，學生需要提取“雙手交叉法”的經(jīng)驗，只是，那時的“雙手交叉法”，已經(jīng)成為學生的已有經(jīng)驗了（見例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現(xiàn)實原型見圖10、學生作業(yè)見圖11）。

例4：在長12.4cm、寬7.2cm的長方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個？（人教版六年級下冊總復習P.100）

四、說明

本次干預過程，實際上并不是一次就能完成的。新方法的學習，是需要建立在學生已有方法、知識運用與思維水平之上的。分階段——結合當時學生的作業(yè)情況，對原有經(jīng)驗進行肯定、否定、再認可新經(jīng)驗的分次教學。緩坡度——讓學生對頭腦中的已有數(shù)學活動經(jīng)驗進行分析、比較，直至形成自己較為完善的問題解決結構。每一階段的教學，不應排斥原有方法和經(jīng)驗，但必須給予學生認識到已有方法的局限性的機會。不斷尋求新方法，從而形成新經(jīng)驗。繼而，在后續(xù)學習中，能綜合運用所獲得的知識、方法、思想、經(jīng)驗，根據(jù)新情境完成新任務。

還需指出的是，剪小樹這道題確實比較難。部分學生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學生給出“手指交叉”的手勢后，仍然對此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認為，后續(xù)教學中，教師仍需要通過具體的問題情境，幫助學生在運用中加深對方法的體驗。

經(jīng)歷過不代表就一定能獲得經(jīng)驗。經(jīng)驗的建立和運用是一個動態(tài)的、不斷積累、豐富反思的過程。在新的問題、新的情境、新的猜想產(chǎn)生中，學生思考、驗證、嘗試的數(shù)學活動，都是學生基于原有經(jīng)驗進一步主動修正、建構的過程。這個過程，為學生經(jīng)驗的螺旋式上升與發(fā)展提供了機會。經(jīng)驗，可以促進成長，卻也可能阻礙成長。不同方法在不同問題情境中的反復運用，有助于學生走出思維定勢，減少消極的思維定勢帶來的不利影響。通過不斷地體驗與感悟，溝通方法之間的內(nèi)在結構聯(lián)系，有助于學生認識各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產(chǎn)生自我修正方法的積極態(tài)度。從這個意義上來說，作為教師，要積極給予學生“破”“立”交替，主動獲取數(shù)學活動經(jīng)驗的機會。

（浙江省紹興市越城區(qū)馬山鎮(zhèn)車恂如小學 312000）endprint