問題驅動思考 比較感悟規律

許霜霜+陳道遠

【教學內容】人教版小學數學六年級上冊第2、3頁。

【教學目標】

1.借助生活實例，讓學生在具體的情境中探索確定位置的方法，進一步理解數對的意義，并能在方格紙上用“數對”確定位置。

2.在過程中感受規則對確定位置的影響，通過統一規則探尋數對的規律，發展學生的空間觀念，并增強其運用所學知識解決實際問題的能力。

3.體會數對的現實價值，體驗數對學習的樂趣。

【教學實錄】

一、激活生活經驗，初步感知數對

1.任務驅動

師：今天，我們繼續來學習確定位置的知識，你能用簡潔、準確的方式記錄自己現在所坐的位置嗎？（學生在1號學習紙上獨立完成任務）

2.集體反饋：展示學生的幾種不同的表示方式。

師：簡單說一說自己記錄的位置是什么意思？

生1：我在第3排第5個。（生2、3、4、5類同，略）

生6：圖中橫的線表示組，豎的線表示在這組中的第幾個，我在2組第3個。

師：這么多不同的記錄方式，有什么相同點？

通過學生動手實踐，學生已有基本感悟：需要兩個元素才能確定位置。

3.規范形式

師：他們都有一個共同的地方，就是都含有兩個數字，一個是表示豎的數字，另一個表示橫的數字。在數學上，豎排稱為“列”，橫排稱為“行”。這樣的一對數，就叫作“數對”，并用（2，3）表示，讀作“數對2，3”。

請你再次用數對的方法記錄你所在的位置，寫在旁邊，并且讀一讀。

（評析：用自己喜歡的方式表示自己所在的位置，是直觀表征“數對”的過程，這不僅讓教師了解了學生的認知基礎，也加深了學生對數對意義的直覺認知。學生依據各自的生活經驗，寫出了各種位置的表示形式，再在各種富有個性的反饋中，尋找共性，凸顯對數對意義的深入理解，并在多樣化的深層剖析的基礎上實現數學規范化。）

二、尋找“張亮”位置，感受規則對位置的影響

1.任務驅動

師：剛才同學們都找到了自己的位置，也會用數對的形式記錄自己的位置，張亮同學也有自己的位置，他的位置可用（2，3）來表示，請標出張亮的位置。（生獨立完成2號學習紙上的任務）

2.反饋交流

（1）整體感知、分類反饋。有同學在方格里面標出了張亮的位置，有同學在交叉點上標出了張亮的位置。

①先看下面的表示：

圖1 圖2 圖3

師：同一個張亮，所在的位置已經確定，怎么會表示出了這么多不同的位置？

生：大家觀察的角度不一樣，有些是從下往上看，有些是從左往右看。

師：讓我們具體來看一看第一幅，這位同學是怎么尋找張亮的位置的？

生：從左往右數第一列、第二列，從下往上數第一行、第二行、第三行……（出示圖4）

師：那第二位同學又是在怎樣的規則下找到張亮的位置的呢，能標出來讓大家一眼就看明白嗎？（標出圖5）

圖4 圖5

明確：在不同的規則下，張亮的位置就不一樣了。

師：同學們在自己的規則下，都找到了張亮的位置，在一個集體中，大家都用自己的規則來確定位置，那會怎么樣？

生：那就不能確定了，會亂糟糟的。

生：我們要統一一個標準，才能讓大家相互都看得明白。

師：多好的建議啊，也就是我們要有一個規則，在這樣的平面圖中，一般的規則都是從左往右為第一列、第二列，從下往上為第一行、第二行。在練習的時候，同學們也要看清楚規則咯。

②練習：在統一的規則中，用數對表示孫洋（5，2）、李明（4，5）的位置。

③再看下面這位學生的表示方法，請這位同學來說一說為什么要這樣表示張亮的位置？其他同學思考這種方法表示與前面介紹的方法有什么不同？

生：我是把第一條豎線看成第一列，第二條豎線看成第二列，橫著的第一條線看成第一行。（生標出規則）

師：這位同學的想法很有創意，在這樣的規則下，張亮的位置就變成了一個交叉點。

（2）溝通聯系。

師：其實不管是用方格這一區域來表示位置，還是用交叉點來表示位置，他們之間是統一而又有聯系的。（課件動畫演示區域到點的演變過程）

（3）鞏固練習。

①辨析（6，5）和（5，6）表示的意義。

師：還是在這樣的規則中，圖中A點的位置可以怎么表示？為什么？

生：A點用（6，5）表示，因為A在第6列第5行。

師：6表示什么？5表示什么？

生：6表示在第6列，5表示第5行。

師：5也表示0～5行之間的距離，那能不能用（5，6）來表示呢？

生：不能，因為（5，6）表示的是第5列第6行。

生：他們的意義完全不一樣。

師：說得真好，雖然都是5和6兩個數字，它們前后位置的不同所表示的意思是完全不一樣的。

②請獨立完成小練筆中的1、2兩題。

（評析：這一環節中許老師精心設計了一個引發學生認知沖突的問題情境，在一個開放式的情境中讓學生去尋找“張亮”的位置，結果找出了許多張亮的位置，充分運用比較的方法，借助直觀的素材—區域圖—表示出的位置之間的比較，區域圖和交叉點上表示位置的比較，讓學生從中不僅感悟到“規則”對確定位置的重要性，同時還溝通了區域來表示位置與交叉點來表示位置之間的聯系，讓學生更直觀地認識到兩者之間既是有區別的，更是有聯系的，滲透了辯證的思想。）

三、探尋數對規律、滲透數學思想

1.探尋列相同的規律endprint

師：剛才同學們都能準確用數對來表示某點的位置。現在我們來做一個小游戲活動，老師說數對，請聽到表示自己位置的數對的同學站起來。

師：（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）

游戲結束，師將上述數對在方格圖上標出，要求學生思考這樣的數對的特點。

師：這些同學的位置和相對應的這些數對有什么特點？

生：他們的列相同。

生：他們的第一個數字都是3，第二個數字從下往上看都加1。

生：這些數對所在的位置連起來是一條直線。

在坐標圖中，將這些點連成一條直線。

師引導：想一想：在這條直線上還有哪些數對表示的位置？

生大膽地說：（3，0）（3，7）（3，100）…

概括：可用（3，Y）來表示這條直線上任意的點的位置。能否用一個式子表示這條線的特點？（X=3）

2.探尋行相同的規律

師：一個點的位置是（0，3），它要進行移動，聽老師說的數對，閉眼想象它的移動過程，用手指比畫出來。點向右平移1格（1，3），再向右平移一格（2，3），繼續（3，3）（4，3）（5，3）。

生睜開眼睛，課件出示點的位置和數對。

師：點（0，3）在運動的過程中形成怎樣的一個圖形？

生：是橫著的一條線。

師：這樣的一些點的數對有什么特點？

生：都在第3行，第二個數字都是3。

生：第一個數字逐個加1。

師：在這條線上還可以說出其他的一些數對嗎？

生：（8，3）（9，3）（100，3）…

生：只要第二個數字是3就好了。

師追問：那你能用一個數對來表示這條直線上任一點的位置嗎？

概括：可用（X，3）來表示這條直線上任意的點的位置。能否用一個式子表示這條線的特點？（Y=3）

3.探尋連成斜線數對的規律

師：請（a，a）位置的同學站起來。

毫無意外，每次教學都是全班起立。

師：請站著的同學思考一下這個數對的特點。

在教師的引導下，陸續有學生開始坐下來。

師：站著的同學，為什么你們站起來？

生：因為a可以表示任何數。

師：（面對坐下去的同學）那你們為什么坐下去了？

生：a是可以表示任何數，但是列和行都是a，說明兩個數字要相同。

師：那你能舉例出幾個例子嗎？

生：（0，0）（1，1）（2，2）…

經過該位學生的解釋，大部分的人都坐了下來，僅剩下列行數字相同的一些學生。

師：想象這些數對位置連成的圖形會是怎樣的？用手比畫一下。

生：是斜著的一條線。

師：你能否也用一個式子表示這種數對的特點呢？（X=Y）

4.想象推理，鞏固練習

①閉眼想象：A（3，2），B（6，2）連成線段，向上平移兩格，平移后A、B分別在什么位置？

②想象推理：看下圖，用數對表示B、D的位置。

③小結：通過以上那個兩題的解答，你能找到什么規律？

生：上下平移時，行變列不變；左右平移時，列變行不變。

（評析：本環節的教學中通過游戲、想象、推理等多種形式加深學生對數對的理解，特別是借助想象，想象坐標中的各個點連成的線形狀，想象一條線段平移后的位置，想象圖形平移后各個點的位置，有效地發展學生的空間觀念和推理能力。同時恰到好處地結合具體內容滲透數形結合思想與函數思想。）

四、聯系生活實際，拓展數學視野

1.介紹數對的發明者：笛卡爾

2.數對在生活中的應用

①圍棋中的數對（4，三） （16，十三）

②國際象棋中的數對（g，5）（e，3）

③地圖中地理位置的確定：杭州富陽市大源鎮（東經120度 ，北緯30度）

（評析：介紹笛卡爾“數對”的發明歷史與數對在生活中的運用，讓學生了解數學的文化，拓展其視野，從而進一步感悟數學與生活的聯系，激發學好數學的情感。）

【總評】

1.遞進式的問題驅動，凸顯數學教學中的思維訓練重點

數學是思維的科學，許老師在本節課的教學中，借助任務驅動的形式，向學生拋出一個又一個的學習任務，學生在完成一個又一個任務的過程中，不斷地發生認知沖突，“同一個張亮為什么會有不同的位置？”“方格圖表示與交叉點表示的聯系區別”“請（a，a）位置的同學站起來”“怎樣用式子表示這條直線的特點？”，學生也就在化解這些沖突中，鍛煉了思維，提高了數學能力。

2.多樣化教學方法的運用，凸顯課堂教學的有效性

基于學生經驗的學習，易引起思維的共鳴。本課通過讓學生用自己喜歡的方式來表示自己所坐的位置，不僅從中了解了學生的認知基礎，也為新知的學習提供了學習材料。在教學中教師多次運用操作、游戲等活動引導學生學習，借助想象圖形的形狀、想象推理等形式發展空間觀念，在比較“不同表示形式中的共性”中感悟到要用兩個數量表示位置，在比較“張亮的位置的不同表示方法”中感悟制定規則的重要，在比較“區域表示法與交叉點表示法”中感悟它們的差異與聯系，在比較“特殊的系列數對”后探索它們的特點，在比較“平移前后長方形各頂點數對”后探尋其規律。同時，教師采用學練結合的方式，邊學邊練邊鞏固，學生在這樣的課堂中學習，學科知識在增加，思維品質在提升。

3.緊密聯系生活，適時滲透數學思想文化

數學的產生源自于生活實踐，數學的教學同樣離不開實際生活。在本節課的教學中，數學知識的引入、數學問題的探究、數學知識的拓展，都緊密聯系學生的生活實際，在現實世界中尋找數學題材，讓學生在生活中看到數學。讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，在獲得對數學知識理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。在學生經歷生活問題數學化的過程中，適時地滲透函數思想、數形結合思想、辯證統一思想，最后適當補充了相關的數學歷史文化方面的知識，既拓展了學生的視野，又提升了學生的數學素養。

（浙江省杭州市和睦小學 310011）endprint

師：剛才同學們都能準確用數對來表示某點的位置。現在我們來做一個小游戲活動，老師說數對，請聽到表示自己位置的數對的同學站起來。

師：（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）

游戲結束，師將上述數對在方格圖上標出，要求學生思考這樣的數對的特點。

師：這些同學的位置和相對應的這些數對有什么特點？

生：他們的列相同。

生：他們的第一個數字都是3，第二個數字從下往上看都加1。

生：這些數對所在的位置連起來是一條直線。

在坐標圖中，將這些點連成一條直線。

師引導：想一想：在這條直線上還有哪些數對表示的位置？

生大膽地說：（3，0）（3，7）（3，100）…

概括：可用（3，Y）來表示這條直線上任意的點的位置。能否用一個式子表示這條線的特點？（X=3）

2.探尋行相同的規律

師：一個點的位置是（0，3），它要進行移動，聽老師說的數對，閉眼想象它的移動過程，用手指比畫出來。點向右平移1格（1，3），再向右平移一格（2，3），繼續（3，3）（4，3）（5，3）。

生睜開眼睛，課件出示點的位置和數對。

師：點（0，3）在運動的過程中形成怎樣的一個圖形？

生：是橫著的一條線。

師：這樣的一些點的數對有什么特點？

生：都在第3行，第二個數字都是3。

生：第一個數字逐個加1。

師：在這條線上還可以說出其他的一些數對嗎？

生：（8，3）（9，3）（100，3）…

生：只要第二個數字是3就好了。

師追問：那你能用一個數對來表示這條直線上任一點的位置嗎？

概括：可用（X，3）來表示這條直線上任意的點的位置。能否用一個式子表示這條線的特點？（Y=3）

3.探尋連成斜線數對的規律

師：請（a，a）位置的同學站起來。

毫無意外，每次教學都是全班起立。

師：請站著的同學思考一下這個數對的特點。

在教師的引導下，陸續有學生開始坐下來。

師：站著的同學，為什么你們站起來？

生：因為a可以表示任何數。

師：（面對坐下去的同學）那你們為什么坐下去了？

生：a是可以表示任何數，但是列和行都是a，說明兩個數字要相同。

師：那你能舉例出幾個例子嗎？

生：（0，0）（1，1）（2，2）…

經過該位學生的解釋，大部分的人都坐了下來，僅剩下列行數字相同的一些學生。

師：想象這些數對位置連成的圖形會是怎樣的？用手比畫一下。

生：是斜著的一條線。

師：你能否也用一個式子表示這種數對的特點呢？（X=Y）

4.想象推理，鞏固練習

①閉眼想象：A（3，2），B（6，2）連成線段，向上平移兩格，平移后A、B分別在什么位置？

②想象推理：看下圖，用數對表示B、D的位置。

③小結：通過以上那個兩題的解答，你能找到什么規律？

生：上下平移時，行變列不變；左右平移時，列變行不變。

（評析：本環節的教學中通過游戲、想象、推理等多種形式加深學生對數對的理解，特別是借助想象，想象坐標中的各個點連成的線形狀，想象一條線段平移后的位置，想象圖形平移后各個點的位置，有效地發展學生的空間觀念和推理能力。同時恰到好處地結合具體內容滲透數形結合思想與函數思想。）

四、聯系生活實際，拓展數學視野

1.介紹數對的發明者：笛卡爾

2.數對在生活中的應用

①圍棋中的數對（4，三） （16，十三）

②國際象棋中的數對（g，5）（e，3）

③地圖中地理位置的確定：杭州富陽市大源鎮（東經120度 ，北緯30度）

（評析：介紹笛卡爾“數對”的發明歷史與數對在生活中的運用，讓學生了解數學的文化，拓展其視野，從而進一步感悟數學與生活的聯系，激發學好數學的情感。）

【總評】

1.遞進式的問題驅動，凸顯數學教學中的思維訓練重點

數學是思維的科學，許老師在本節課的教學中，借助任務驅動的形式，向學生拋出一個又一個的學習任務，學生在完成一個又一個任務的過程中，不斷地發生認知沖突，“同一個張亮為什么會有不同的位置？”“方格圖表示與交叉點表示的聯系區別”“請（a，a）位置的同學站起來”“怎樣用式子表示這條直線的特點？”，學生也就在化解這些沖突中，鍛煉了思維，提高了數學能力。

2.多樣化教學方法的運用，凸顯課堂教學的有效性

基于學生經驗的學習，易引起思維的共鳴。本課通過讓學生用自己喜歡的方式來表示自己所坐的位置，不僅從中了解了學生的認知基礎，也為新知的學習提供了學習材料。在教學中教師多次運用操作、游戲等活動引導學生學習，借助想象圖形的形狀、想象推理等形式發展空間觀念，在比較“不同表示形式中的共性”中感悟到要用兩個數量表示位置，在比較“張亮的位置的不同表示方法”中感悟制定規則的重要，在比較“區域表示法與交叉點表示法”中感悟它們的差異與聯系，在比較“特殊的系列數對”后探索它們的特點，在比較“平移前后長方形各頂點數對”后探尋其規律。同時，教師采用學練結合的方式，邊學邊練邊鞏固，學生在這樣的課堂中學習，學科知識在增加，思維品質在提升。

3.緊密聯系生活，適時滲透數學思想文化

數學的產生源自于生活實踐，數學的教學同樣離不開實際生活。在本節課的教學中，數學知識的引入、數學問題的探究、數學知識的拓展，都緊密聯系學生的生活實際，在現實世界中尋找數學題材，讓學生在生活中看到數學。讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，在獲得對數學知識理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。在學生經歷生活問題數學化的過程中，適時地滲透函數思想、數形結合思想、辯證統一思想，最后適當補充了相關的數學歷史文化方面的知識，既拓展了學生的視野，又提升了學生的數學素養。

（浙江省杭州市和睦小學 310011）endprint

師：剛才同學們都能準確用數對來表示某點的位置。現在我們來做一個小游戲活動，老師說數對，請聽到表示自己位置的數對的同學站起來。

師：（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）

游戲結束，師將上述數對在方格圖上標出，要求學生思考這樣的數對的特點。

師：這些同學的位置和相對應的這些數對有什么特點？

生：他們的列相同。

生：他們的第一個數字都是3，第二個數字從下往上看都加1。

生：這些數對所在的位置連起來是一條直線。

在坐標圖中，將這些點連成一條直線。

師引導：想一想：在這條直線上還有哪些數對表示的位置？

生大膽地說：（3，0）（3，7）（3，100）…

概括：可用（3，Y）來表示這條直線上任意的點的位置。能否用一個式子表示這條線的特點？（X=3）

2.探尋行相同的規律

師：一個點的位置是（0，3），它要進行移動，聽老師說的數對，閉眼想象它的移動過程，用手指比畫出來。點向右平移1格（1，3），再向右平移一格（2，3），繼續（3，3）（4，3）（5，3）。

生睜開眼睛，課件出示點的位置和數對。

師：點（0，3）在運動的過程中形成怎樣的一個圖形？

生：是橫著的一條線。

師：這樣的一些點的數對有什么特點？

生：都在第3行，第二個數字都是3。

生：第一個數字逐個加1。

師：在這條線上還可以說出其他的一些數對嗎？

生：（8，3）（9，3）（100，3）…

生：只要第二個數字是3就好了。

師追問：那你能用一個數對來表示這條直線上任一點的位置嗎？

概括：可用（X，3）來表示這條直線上任意的點的位置。能否用一個式子表示這條線的特點？（Y=3）

3.探尋連成斜線數對的規律

師：請（a，a）位置的同學站起來。

毫無意外，每次教學都是全班起立。

師：請站著的同學思考一下這個數對的特點。

在教師的引導下，陸續有學生開始坐下來。

師：站著的同學，為什么你們站起來？

生：因為a可以表示任何數。

師：（面對坐下去的同學）那你們為什么坐下去了？

生：a是可以表示任何數，但是列和行都是a，說明兩個數字要相同。

師：那你能舉例出幾個例子嗎？

生：（0，0）（1，1）（2，2）…

經過該位學生的解釋，大部分的人都坐了下來，僅剩下列行數字相同的一些學生。

師：想象這些數對位置連成的圖形會是怎樣的？用手比畫一下。

生：是斜著的一條線。

師：你能否也用一個式子表示這種數對的特點呢？（X=Y）

4.想象推理，鞏固練習

①閉眼想象：A（3，2），B（6，2）連成線段，向上平移兩格，平移后A、B分別在什么位置？

②想象推理：看下圖，用數對表示B、D的位置。

③小結：通過以上那個兩題的解答，你能找到什么規律？

生：上下平移時，行變列不變；左右平移時，列變行不變。

（評析：本環節的教學中通過游戲、想象、推理等多種形式加深學生對數對的理解，特別是借助想象，想象坐標中的各個點連成的線形狀，想象一條線段平移后的位置，想象圖形平移后各個點的位置，有效地發展學生的空間觀念和推理能力。同時恰到好處地結合具體內容滲透數形結合思想與函數思想。）

四、聯系生活實際，拓展數學視野

1.介紹數對的發明者：笛卡爾

2.數對在生活中的應用

①圍棋中的數對（4，三） （16，十三）

②國際象棋中的數對（g，5）（e，3）

③地圖中地理位置的確定：杭州富陽市大源鎮（東經120度 ，北緯30度）

（評析：介紹笛卡爾“數對”的發明歷史與數對在生活中的運用，讓學生了解數學的文化，拓展其視野，從而進一步感悟數學與生活的聯系，激發學好數學的情感。）

【總評】

1.遞進式的問題驅動，凸顯數學教學中的思維訓練重點

數學是思維的科學，許老師在本節課的教學中，借助任務驅動的形式，向學生拋出一個又一個的學習任務，學生在完成一個又一個任務的過程中，不斷地發生認知沖突，“同一個張亮為什么會有不同的位置？”“方格圖表示與交叉點表示的聯系區別”“請（a，a）位置的同學站起來”“怎樣用式子表示這條直線的特點？”，學生也就在化解這些沖突中，鍛煉了思維，提高了數學能力。

2.多樣化教學方法的運用，凸顯課堂教學的有效性

基于學生經驗的學習，易引起思維的共鳴。本課通過讓學生用自己喜歡的方式來表示自己所坐的位置，不僅從中了解了學生的認知基礎，也為新知的學習提供了學習材料。在教學中教師多次運用操作、游戲等活動引導學生學習，借助想象圖形的形狀、想象推理等形式發展空間觀念，在比較“不同表示形式中的共性”中感悟到要用兩個數量表示位置，在比較“張亮的位置的不同表示方法”中感悟制定規則的重要，在比較“區域表示法與交叉點表示法”中感悟它們的差異與聯系，在比較“特殊的系列數對”后探索它們的特點，在比較“平移前后長方形各頂點數對”后探尋其規律。同時，教師采用學練結合的方式，邊學邊練邊鞏固，學生在這樣的課堂中學習，學科知識在增加，思維品質在提升。

3.緊密聯系生活，適時滲透數學思想文化

數學的產生源自于生活實踐，數學的教學同樣離不開實際生活。在本節課的教學中，數學知識的引入、數學問題的探究、數學知識的拓展，都緊密聯系學生的生活實際，在現實世界中尋找數學題材，讓學生在生活中看到數學。讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，在獲得對數學知識理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。在學生經歷生活問題數學化的過程中，適時地滲透函數思想、數形結合思想、辯證統一思想，最后適當補充了相關的數學歷史文化方面的知識，既拓展了學生的視野，又提升了學生的數學素養。

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