導數在彈性與邊際中的應用

盛繼中

摘 要： 本文主要研究了經濟活動中的彈性與邊際.運用數學分析中的導數工具對彈性與邊際進行了深入分析，同時，給出了在經濟活動中的具體應用.

關鍵詞： 導數 邊際 彈性

一、函數的瞬時變化率——邊際概念

值得注意的是經濟函數大多是離散的不連續的，例如產品的銷售量總是以整數變化而不會出現幾分之幾或零點幾.所以從嚴格意義上講大多數經濟函數不可能用微積分的方法來處理.但是，如果經濟總量非常大，突然增加一個或減少一個，這時發生的變化同總量相比就是很小的，所以，我們可以近似地認為，當經濟總量很大時，這種變化是連續的，甚至是可微的.根據這個假定，我們就可以對經濟函數引入瞬時變化率的概念.

那么企業產量達到多少時，才可以使企業獲得最大利潤呢？

由以上兩段的分析可知，在獲得最大利潤的產量處，也必須要求邊際收入等于邊際成本，并且其邊際收入的導數還要小于邊際成本的導數.

二、函數的相關變化率——彈性

以上的邊際分析中，無論是函數的增量還是函數變化率都是在絕對數量范圍內的.但在現實經濟活動的分析中，僅僅知道絕對變量與絕對變化率是不夠的.例如，筆記本電腦每臺大致10000元，普通MP3每部500元左右，若兩者都漲價100元則它們價格的絕對變量都是100元，但是這一樣嗎？如果將他們與商品的原價格相比，筆記本電腦的價格漲了1%，而MP3的價格卻漲了20%，顯然，MP3價格的漲幅要比筆記本電腦的大得多，所以這次MP3價格的上漲會在大眾消費群中的引起軒然大波，其銷售量也會受到較大影響，相比較而言筆記本電腦的漲價卻顯得微不足道了.借由這個簡單的例子我們覺得有必要研究一下函數的相關改變量與相關變化率.

我們舉個例子加以說明：

例2：現在免費公共交通提倡者指出城市中交通擁擠的狀況已引起了公眾的極大的關注，若公共交通可以降價甚至免費，那么許多通勤者就會改乘公共交通工具而不使用私家車，交通堵塞可以得到緩解，城市的空氣污染也會減輕.這種建議似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且減少城市中私家車的使用量從而達到最終目的呢？這就涉及了很多問題，其中之一就是公共交通工具比如說公交車的需求價格彈性有多少，即降低公交車的車價可以增加多少公交車的乘坐率？

若假設公交車的需求彈性是0.4，且計劃將車價下調50%，讓我們看一下這個措施將帶來的怎樣影響吧.

這個結果告訴我們在公交車需求彈性是0.4的情況下，公交車價下降50%只可以使乘客增加20%，即公交車的使用率提高的并不多，并且公交車行業的總收入還會因為降價減少30%.所以從這個方面來看，這個建議不是很有效.除非公交車的需求彈性被改變.

它所表達的就是若IC卡的價格繼續上升到0.9元，則乘客會下降11.44%，收入卻提高17.16%，也就是公交車的使用率下降的并不多，而且行業的收入還會上升17.16%，所以很不幸，繼續提價還是存在很大可能的.

三、二元經濟函數的邊際與彈性

上面介紹的是一元經濟函數的邊際與彈性分析，但在實際經濟分析中一個經濟函數不可能只和一個經濟變量有關，大多數的經濟函數都和多個變量相聯系，所以有必要討論多元經濟函數，仿照一元函數的方法就可以建立起相應的多元經濟函數的邊際與彈性.以下以二元函數為例舉例進行說明.

1.二元函數的邊際分析——邊際成本

上式的意義為，在需求交叉價格彈性為0.1的假設下，當公交車的價格下降50%時會引起私家車的使用量下降5%，即這種收費的減少幾乎不會對城市中的私家車使用量產生影響.根據這個結果，降低公交車的收費很難使私家車的使用者轉變為公交車的使用者.所以結合例2中分析的結果，在給定的條件下，該措施并不能有效地緩解城市交通堵塞和環境污染的問題，還需考慮其他辦法.

另外，利用交叉價格偏彈性還可以判別兩種商品是互補品還是替代商品.若兩種商品的需求交叉價格彈性為正值，則兩種商品之間為替代關系，即兩種商品可以相互替代來滿足消費者的某種需求，比如水果中的蘋果和梨；若需求交叉彈性為負值，則兩種商品之間為互補關系，即兩種商品必須同時使用才能滿足消費者的某種需求，如照相機和膠卷；若需求交叉彈性為零，則兩種商品間無相關關系.

其余的彈性還有供給價格彈性、需求收入彈性等，被廣泛地運用于各種經濟變量之間，對經濟活動的分析起到了重要的作用.

四、邊際和彈性的聯系與區別

以上結果表示p=4時，價格上升1%，總收益將降低1.286%，價格增加一個單位，總收益將減少18個單位.

由上面的解題看出，邊際與彈性隨著p點的不同而不同，是一個局部性的概念，掌握“邊際”與“彈性”的概念，注意它們的區別與聯系，在市場管理和制定商品價格、確定生產量等方面都具有重要的經濟意義.

參考文獻：

[1]全國金融聯考研究組.金融聯考大綱[M].金程教育出版社，2005.

[2]張從軍，李輝，等.常見經濟問題的數學解析[M].東南大學出版社，2004.

[3]高鴻業.西方經濟學[M].中國人民大學出版社，2004.endprint

摘 要： 本文主要研究了經濟活動中的彈性與邊際.運用數學分析中的導數工具對彈性與邊際進行了深入分析，同時，給出了在經濟活動中的具體應用.

關鍵詞： 導數 邊際 彈性

一、函數的瞬時變化率——邊際概念

值得注意的是經濟函數大多是離散的不連續的，例如產品的銷售量總是以整數變化而不會出現幾分之幾或零點幾.所以從嚴格意義上講大多數經濟函數不可能用微積分的方法來處理.但是，如果經濟總量非常大，突然增加一個或減少一個，這時發生的變化同總量相比就是很小的，所以，我們可以近似地認為，當經濟總量很大時，這種變化是連續的，甚至是可微的.根據這個假定，我們就可以對經濟函數引入瞬時變化率的概念.

那么企業產量達到多少時，才可以使企業獲得最大利潤呢？

由以上兩段的分析可知，在獲得最大利潤的產量處，也必須要求邊際收入等于邊際成本，并且其邊際收入的導數還要小于邊際成本的導數.

二、函數的相關變化率——彈性

以上的邊際分析中，無論是函數的增量還是函數變化率都是在絕對數量范圍內的.但在現實經濟活動的分析中，僅僅知道絕對變量與絕對變化率是不夠的.例如，筆記本電腦每臺大致10000元，普通MP3每部500元左右，若兩者都漲價100元則它們價格的絕對變量都是100元，但是這一樣嗎？如果將他們與商品的原價格相比，筆記本電腦的價格漲了1%，而MP3的價格卻漲了20%，顯然，MP3價格的漲幅要比筆記本電腦的大得多，所以這次MP3價格的上漲會在大眾消費群中的引起軒然大波，其銷售量也會受到較大影響，相比較而言筆記本電腦的漲價卻顯得微不足道了.借由這個簡單的例子我們覺得有必要研究一下函數的相關改變量與相關變化率.

我們舉個例子加以說明：

例2：現在免費公共交通提倡者指出城市中交通擁擠的狀況已引起了公眾的極大的關注，若公共交通可以降價甚至免費，那么許多通勤者就會改乘公共交通工具而不使用私家車，交通堵塞可以得到緩解，城市的空氣污染也會減輕.這種建議似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且減少城市中私家車的使用量從而達到最終目的呢？這就涉及了很多問題，其中之一就是公共交通工具比如說公交車的需求價格彈性有多少，即降低公交車的車價可以增加多少公交車的乘坐率？

若假設公交車的需求彈性是0.4，且計劃將車價下調50%，讓我們看一下這個措施將帶來的怎樣影響吧.

這個結果告訴我們在公交車需求彈性是0.4的情況下，公交車價下降50%只可以使乘客增加20%，即公交車的使用率提高的并不多，并且公交車行業的總收入還會因為降價減少30%.所以從這個方面來看，這個建議不是很有效.除非公交車的需求彈性被改變.

它所表達的就是若IC卡的價格繼續上升到0.9元，則乘客會下降11.44%，收入卻提高17.16%，也就是公交車的使用率下降的并不多，而且行業的收入還會上升17.16%，所以很不幸，繼續提價還是存在很大可能的.

三、二元經濟函數的邊際與彈性

上面介紹的是一元經濟函數的邊際與彈性分析，但在實際經濟分析中一個經濟函數不可能只和一個經濟變量有關，大多數的經濟函數都和多個變量相聯系，所以有必要討論多元經濟函數，仿照一元函數的方法就可以建立起相應的多元經濟函數的邊際與彈性.以下以二元函數為例舉例進行說明.

1.二元函數的邊際分析——邊際成本

上式的意義為，在需求交叉價格彈性為0.1的假設下，當公交車的價格下降50%時會引起私家車的使用量下降5%，即這種收費的減少幾乎不會對城市中的私家車使用量產生影響.根據這個結果，降低公交車的收費很難使私家車的使用者轉變為公交車的使用者.所以結合例2中分析的結果，在給定的條件下，該措施并不能有效地緩解城市交通堵塞和環境污染的問題，還需考慮其他辦法.

另外，利用交叉價格偏彈性還可以判別兩種商品是互補品還是替代商品.若兩種商品的需求交叉價格彈性為正值，則兩種商品之間為替代關系，即兩種商品可以相互替代來滿足消費者的某種需求，比如水果中的蘋果和梨；若需求交叉彈性為負值，則兩種商品之間為互補關系，即兩種商品必須同時使用才能滿足消費者的某種需求，如照相機和膠卷；若需求交叉彈性為零，則兩種商品間無相關關系.

其余的彈性還有供給價格彈性、需求收入彈性等，被廣泛地運用于各種經濟變量之間，對經濟活動的分析起到了重要的作用.

四、邊際和彈性的聯系與區別

以上結果表示p=4時，價格上升1%，總收益將降低1.286%，價格增加一個單位，總收益將減少18個單位.

由上面的解題看出，邊際與彈性隨著p點的不同而不同，是一個局部性的概念，掌握“邊際”與“彈性”的概念，注意它們的區別與聯系，在市場管理和制定商品價格、確定生產量等方面都具有重要的經濟意義.

參考文獻：

[1]全國金融聯考研究組.金融聯考大綱[M].金程教育出版社，2005.

[2]張從軍，李輝，等.常見經濟問題的數學解析[M].東南大學出版社，2004.

[3]高鴻業.西方經濟學[M].中國人民大學出版社，2004.endprint

摘 要： 本文主要研究了經濟活動中的彈性與邊際.運用數學分析中的導數工具對彈性與邊際進行了深入分析，同時，給出了在經濟活動中的具體應用.

關鍵詞： 導數 邊際 彈性

一、函數的瞬時變化率——邊際概念

值得注意的是經濟函數大多是離散的不連續的，例如產品的銷售量總是以整數變化而不會出現幾分之幾或零點幾.所以從嚴格意義上講大多數經濟函數不可能用微積分的方法來處理.但是，如果經濟總量非常大，突然增加一個或減少一個，這時發生的變化同總量相比就是很小的，所以，我們可以近似地認為，當經濟總量很大時，這種變化是連續的，甚至是可微的.根據這個假定，我們就可以對經濟函數引入瞬時變化率的概念.

那么企業產量達到多少時，才可以使企業獲得最大利潤呢？

由以上兩段的分析可知，在獲得最大利潤的產量處，也必須要求邊際收入等于邊際成本，并且其邊際收入的導數還要小于邊際成本的導數.

二、函數的相關變化率——彈性

以上的邊際分析中，無論是函數的增量還是函數變化率都是在絕對數量范圍內的.但在現實經濟活動的分析中，僅僅知道絕對變量與絕對變化率是不夠的.例如，筆記本電腦每臺大致10000元，普通MP3每部500元左右，若兩者都漲價100元則它們價格的絕對變量都是100元，但是這一樣嗎？如果將他們與商品的原價格相比，筆記本電腦的價格漲了1%，而MP3的價格卻漲了20%，顯然，MP3價格的漲幅要比筆記本電腦的大得多，所以這次MP3價格的上漲會在大眾消費群中的引起軒然大波，其銷售量也會受到較大影響，相比較而言筆記本電腦的漲價卻顯得微不足道了.借由這個簡單的例子我們覺得有必要研究一下函數的相關改變量與相關變化率.

我們舉個例子加以說明：

例2：現在免費公共交通提倡者指出城市中交通擁擠的狀況已引起了公眾的極大的關注，若公共交通可以降價甚至免費，那么許多通勤者就會改乘公共交通工具而不使用私家車，交通堵塞可以得到緩解，城市的空氣污染也會減輕.這種建議似乎很好可是否真的有效？即它能在多大程度上提高公共交通的使用率并且減少城市中私家車的使用量從而達到最終目的呢？這就涉及了很多問題，其中之一就是公共交通工具比如說公交車的需求價格彈性有多少，即降低公交車的車價可以增加多少公交車的乘坐率？

若假設公交車的需求彈性是0.4，且計劃將車價下調50%，讓我們看一下這個措施將帶來的怎樣影響吧.

這個結果告訴我們在公交車需求彈性是0.4的情況下，公交車價下降50%只可以使乘客增加20%，即公交車的使用率提高的并不多，并且公交車行業的總收入還會因為降價減少30%.所以從這個方面來看，這個建議不是很有效.除非公交車的需求彈性被改變.

它所表達的就是若IC卡的價格繼續上升到0.9元，則乘客會下降11.44%，收入卻提高17.16%，也就是公交車的使用率下降的并不多，而且行業的收入還會上升17.16%，所以很不幸，繼續提價還是存在很大可能的.

三、二元經濟函數的邊際與彈性

上面介紹的是一元經濟函數的邊際與彈性分析，但在實際經濟分析中一個經濟函數不可能只和一個經濟變量有關，大多數的經濟函數都和多個變量相聯系，所以有必要討論多元經濟函數，仿照一元函數的方法就可以建立起相應的多元經濟函數的邊際與彈性.以下以二元函數為例舉例進行說明.

1.二元函數的邊際分析——邊際成本

上式的意義為，在需求交叉價格彈性為0.1的假設下，當公交車的價格下降50%時會引起私家車的使用量下降5%，即這種收費的減少幾乎不會對城市中的私家車使用量產生影響.根據這個結果，降低公交車的收費很難使私家車的使用者轉變為公交車的使用者.所以結合例2中分析的結果，在給定的條件下，該措施并不能有效地緩解城市交通堵塞和環境污染的問題，還需考慮其他辦法.

另外，利用交叉價格偏彈性還可以判別兩種商品是互補品還是替代商品.若兩種商品的需求交叉價格彈性為正值，則兩種商品之間為替代關系，即兩種商品可以相互替代來滿足消費者的某種需求，比如水果中的蘋果和梨；若需求交叉彈性為負值，則兩種商品之間為互補關系，即兩種商品必須同時使用才能滿足消費者的某種需求，如照相機和膠卷；若需求交叉彈性為零，則兩種商品間無相關關系.

其余的彈性還有供給價格彈性、需求收入彈性等，被廣泛地運用于各種經濟變量之間，對經濟活動的分析起到了重要的作用.

四、邊際和彈性的聯系與區別

以上結果表示p=4時，價格上升1%，總收益將降低1.286%，價格增加一個單位，總收益將減少18個單位.

由上面的解題看出，邊際與彈性隨著p點的不同而不同，是一個局部性的概念，掌握“邊際”與“彈性”的概念，注意它們的區別與聯系，在市場管理和制定商品價格、確定生產量等方面都具有重要的經濟意義.

參考文獻：

[1]全國金融聯考研究組.金融聯考大綱[M].金程教育出版社，2005.

[2]張從軍，李輝，等.常見經濟問題的數學解析[M].東南大學出版社，2004.

[3]高鴻業.西方經濟學[M].中國人民大學出版社，2004.endprint