基于Von Mises分布的PPP寬巷相位偏差計算方法

趙興旺，張翠英

(安徽理工大學 測繪學院，安徽 淮南 232001)

一、引 言

精密單點定位(precise point positioning,PPP)技術能夠實現RTK的定位效果，但整周模糊度確定是數據處理的一個重要環節。由于觀測值中初始相位和儀器設備硬件延遲的存在，被模糊度吸收使得非差或單差觀測值的模糊度不再具有整數的特性。在這種情況下，若以模糊度解算方法本身的適用性作為一種工具加速精密單點定位收斂，必須對它進行嚴格的建模改正，以便恢復非差或單差模糊度的整周特性。針對這一問題，國內外專家作了深入研究，目前主要存在兩類實現方法：一類為估計分解衛星鐘差法，如加拿大NRCan的Collins等人[1]從鐘差估計的角度吸收相位偏差的小數部分，但需要對衛星鐘差進行參數估計，計算復雜；另一類為非整相位偏差法，如美國德克薩斯州大學的Gabor[2]、德國GFZ的Ge[3]，以及我國的張小紅[4-6]、張寶成[7-8]等對PPP模糊度固定進行了研究，這些研究均是基于模糊度與相位偏差分離的基礎實現PPP模糊度固定的，并且德國斯圖加特大學的Cai[9]，荷蘭代爾夫特理工大學的Keshin[10]的研究表明，GPS相位值具有方向數據的性質。

為了建立合適的估計模型、有效分離相位偏差實現PPP固定解，必須對這些相位偏差做出清晰的認識。因此，本文從整數與小數分離的角度，對相位偏差小數的特性進一步研究，尋求科學合理的相位偏差小數計算方法，最后對算例進行分析。

二、相位偏差

GPS載波相位觀測量中除了鐘差影響、大氣誤差等傳統誤差外，還包含了初始相位偏差和硬件延遲。文獻[11]給出了偽距和載波相位兩種觀測量，其觀測方程如下

(1)

(2)

式(2)中，δr、δs分別為接收機端和衛星端的載波相位硬件延遲；φr(t0)和φs(t0)分別為接收機端和衛星端初始相位；其余參數含義參見文獻[11]。

由式(2)知，數據處理時初始相位和載波相位硬件延遲與模糊度參數合并為一個參數，而消除其影響、維持模糊度為整數常用的方法是在星間與站間建立雙差觀測值。但這對于PPP技術并不適用，因為站間差分無法消除與衛星相關的這部分偏差影響，因此必需對其進行嚴格的標定、檢測或建模修正，才能實現PPP單差模糊度的固定解。

1. 相位偏差處理原則

由于初始相位和載波相位硬件延遲均對載波相位模糊度產生直接影響，為了研究的方便，本文將它們統稱為相位偏差。于是，將載波相位觀測方程式(2)中的模糊度項進一步表示為

(3)

在PPP星間差分模型中，相位偏差整數部分對模糊度的整周性質不產生影響，可以與模糊度合并為一項處理，而剩余小數部分嚴重破壞了模糊度的整數性質[12]。對它們的處理通常是建立在整數與小數有效分離的基礎上。根據相位偏差的形成機理可知，對于不同測站，星間差分模糊度應該具有近似相等的相位偏差小數部分。因此，可以按照常規PPP模式和M-W組合模型對觀測網數據進行聯合解算，利用較大范圍覆蓋的少量觀測站數據估計相位偏差。

寬巷觀測值的模糊度具有長波長的特點，受誤差的影響相對較小，且方便求取，所以本文以寬巷模糊度為例對其進行相位偏差分離和分布特性分析。由觀測方程式(1)和式(2)分別形成載波相位寬巷組合和偽距窄巷組合，表達式如下

(4)

(5)

將式(4)和式(5)相減消除公共誤差后便得到寬巷模糊度表達式

(6)

對上式進一步變換得到

(7)

由于碼延遲與寬巷模糊度相位偏差不可分離，但相關研究表明當模糊度解算時可以忽略這部分偏差[3]。為了消除接收機相位偏差δφwr的影響，在衛星i和衛星j之間組成單差載波相位寬巷模糊度，表達式為

(8)

2. 相位偏差小數單位圓表示

相位偏差一般由整數和小數兩部分組成，在單位圓上表示如圖1所示。圖1(a)中相位偏差為δφ=0.5=0.5-1=-0.5，這意味著一個由整周數為0、小數部分為0.5組成的相位偏差等同于一個由整周數為1、小數部分為-0.5組成的相位偏差，這種數據在圓上表現出周期性。如前后兩個歷元i和i+1的相位偏差為δφi=112.2和δφi+1=111.9，在單位圓上表示如圖1(b)、(c)所示。對于這樣的偏差如何取得正確的小數部分呢？正確的取法為δφfrac,i=0.2，δφfrac,i+1=0.9-1=-0.1。這是因為在一個連續弧段內，載波相位模糊度通常由唯一的整數部分和緩慢變化的相位偏差小數部分組成。

圖1 相位偏差小數方向特性示意圖

為了獲得這樣的相位偏差小數部分，可采用函數GPHASE將其整數部分移除[2]，表達式為

δφfrac=GPHASE(N+δφ)=

(9)

式中，δφfrac為相位偏差小數；arctan()為反正切函數；N為整周模糊度參數；δφ為相位偏差項。

采用式(9)得到的相位偏差小數部分，既保證了相位偏差小數的大小，又保證了正確的象限位置，其變化區間為[-0.5,0.5]周內。

三、偏差小數的分布檢驗

直線上的分布一般不存在周期性的問題，而從相位偏差小數在圓上表示的方式可以看出具有方向數據的某些性質。Von Mises分布是方向數據統計中最重要的分布，它在圓上分布族中的地位與高斯正態分布在直線上分布族的地位相當。在方向數據統計理論中，參數估計、假設檢驗等方面多以Von Mises分布為前提。為了對相位偏差進行科學、合理的分析，首先需要對相位偏差序列是否服從Von Mises分布進行驗證。本文將從寬巷相位偏差序列的均勻性、擬合度，以及直方圖與分布擬合曲線多方面對其進行分布假設檢驗分析。

1. Von Mises分布

Von Mises分布一般表示為VM(μ,k)，其密度函數為

(10)

2. 均勻性檢驗

均勻性檢驗是檢驗數據樣本是否來自均勻分布，由于均勻性分布是Von Mises分布的退化情形(k=0)，因此，首先判斷相位偏差序列并非來自均勻分布。對于給定的偏差序列，它的位置參數μ為未知值，所以原假設H0和備擇假設H1可寫為

(11)

表1 BJFS站均勻性檢驗統計信息表

3. Pearson χ2擬合度檢驗

Pearsonχ2擬合度檢驗是常用的擬合度檢驗，其原理是尋求一個反映實際觀測數據θ1,θ2，…,θn與理論分布F0(θ)之間偏差的統計量Δ，如果Δ超過某個界限，則拒絕理論分布F0(θ)。于是可將相位偏差數據的擬合度檢驗表示為

H0:F=F0(θ);H1:F≠F0(θ)

(12)

建立檢驗統計量為

(13)

式中，fi為θ1,θ2,…,θn在給定區間的實際頻數；pi為由理論分布F0(θ)計算θi在給定區間的概率；m為樣本空間劃分的區間個數。

對于給定的置信水平α，式(12)的拒絕域為

(14)

式中，s是未知參數的個數。

對于Von Mises分布擬合度檢驗，只需將F0(θ)變為VM(μ,k)，其中平均方向μ和尺度參數k采用最大似然估計值代替。為了檢驗相位偏差序列是否服從Von Mises分布，對2010年04月11日BJFS站數據的相位偏差進行Von Mises分布和正態分布的擬合度檢驗。因此，本文根據偏差情況合理的分為36個區間，計算結果見表2。由表2可知，當置信水平α=0.000 1時，具有偏差個數較多的衛星對服從Von Mises分布，而不是直線域上的正態分布。對于偏差個數較少時，如表2中衛星對PRN14-PRN18由于相位偏差樣本中個數較少、不能反映出分布的具體特性，難以區分Von Mises分布與正態分布。可見，基于Von Mises分布對相位偏差分析更為合理，但在相位偏差計算時應采用較多歷元的觀測數據，根據試驗分析本文建議至少采用200個歷元的觀測數據。

表2 BJFS站相位偏差擬合度檢驗

4. 直方圖與分布擬合曲線

通常用繪制直方圖來確定隨機變量所近似滿足的分布。盡管直方圖不能給出較為精確的樣本密度估計，但能簡單、直觀地反映出總體分布的特征。同樣采用BJFS站2010年04月11日觀測數據確定的相位偏差小數序列繪制出直方圖，并且分別按照Von Mises分布、正態分布的密度函數對偏差序列進行曲線擬合。圖2分別為PRN21、PRN22、PRN26、PRN27 4顆衛星(參考于PRN18衛星)的單差相位偏差小數分布的直方圖與擬合曲線圖。從圖中曲線的整體形狀可以直觀地看出，Von Mises分布能夠與直方圖保持很好的一致性，特別是能較好地覆蓋邊緣區域，這部分主要是相位偏差估計時由于誤差噪聲等原因產生的相位偏差反向突變，即當相位偏差真值為0.45周、噪聲為0.08時，相位偏差變為0.45+0.08=0.53，經式(9)后偏差小數變為-0.47。這種現象表明，采用線性方法計算將出現錯誤的均值，這也是本文尋求新的計算方法的原因。

圖2 偏差小數直方圖

5. 偏差小數計算方法

通過對相位偏差數據序列進行檢驗分析可知，相位偏差小數更好地服從Von Mises分布。因此，為了得到更精確的相位偏差小數估值和標準差，將所求得的包含相位偏差的整周模糊度項作相應變換，于是有

(15)

式中，n為參與計算的模糊度個數。

經過式(15)中三角函數作用后，整周模糊度與相位偏差整數部分均被移去，僅剩下相位偏差小數部分，式(16)為相位偏差小數計算表達式

(16)

相應的標準差為

(17)

四、算例分析

為了驗證相位偏差計算方法的可行性，本節將對寬巷相位偏差估計精度和空間分布進行分析。試驗數據選取中國及周邊區域的BJFS、CHAN、WUHN、TNML、TWTF、PETS、TEHN、ARTU、IISC等18個IGS跟蹤站，2010年第101天的觀測數據進行分析，采樣率為30 s，其中測站點PETS和TEHN具有最大站間距，約7500 km左右，測站點TNML和TWTF的站間距最小，約25 km左右。

根據觀測值的起止時間定義所有可能出現的單差寬巷模糊度，采用式(16)和式(17)計算寬巷相位偏差估值及標準差。

圖3為BJFS站2010年第101天所有衛星參考于PRN31衛星的單差寬巷相位偏差估值。點代表衛星的相位偏差估值，很明顯相位偏差并不為零。在沒有經過相位偏差改正的情況下，單差模糊度往往不具備整數性質，不能直接被固定。誤差條表示該相位偏差值的標準差，變化范圍為0.001～0.060周，表征了相位偏差估計的穩定性。圖3中虛線表示相位偏差估計時參與計算的單差模糊度個數，可以明確地看出參與個數越多，相位偏差估值的標準差越小。

圖3 SDW-FPB估值(參考于PRN18衛星)

相位偏差估計是基于Von Mises分布對多個測站的相位偏差求平均方向來確定最終估值。因此，相位偏差在各個測站間表現出的空間一致性將關系到相位偏差估計的準確性，并進一步影響相位偏差改正在廣域范圍內應用的有效性。為了分析相位偏差估值在空間上的穩定性，采用2010年第101天的觀測數據對相位偏差進行試驗分析。圖4為PRN26衛星(參考于PRN18衛星)15個測站偏差估值與總體平均方向(作為相位偏差最終估值)的差異統計圖，虛線部分表示測站點與BJFS站的站間距離，實線表示與偏差最終估值之差。

圖4 PRN26單差寬巷偏差各站比較圖

由圖4可知，距離BJFS站最遠點為ZECK，站間距約6000 km，與BJFS站相位偏差之差為-0.015 7周；距離BJFS最近點為CHAN，站間距約920 km，與BJFS站相位偏差之差為-0.0161周。并且在所有站點中與最終偏差估值相差最大值為0.050 4周，該組數據的均方根誤差(RMS)為0.026周。可見，測站間距從920～6000 km不等的各測站相位偏差與平均方向相差很小，在空間上保持很好的一致性。

五、結束語

本文以統計假設檢驗理論為基礎，從相位偏差序列的均勻性、擬合度及直方圖與分布擬合曲線多方面驗證了相位偏差小數更好地服從Von Mises分布，并給出了基于Von Mises分布的相位偏差小數計算方式。該方法可有效避免因誤差噪聲導致相位偏差小數反向突變的現象，保證相位偏差小數估值的客觀性。本文算例表明寬巷相位偏差受區域影響很小，對于超過幾千千米的參考網，利用本文給出的方法求取相位偏差具有較高的精度和空間穩定性，能夠用于精密單點定位中相位偏差改正，以實現PPP固定解。

參考文獻：

[1] COLLINS P. Isolating and Estimating Undifferenced GPS Integer Ambiguities[C]∥Proceedings of ION NTM 2008.San Diego, CA:[s.n.]， 2008: 720-732.

[2] GABOR M, NEREM R. GPS Carrier Phase Ambiguity Resolution Using Satellite-Satellite Single Differences[C]∥ Proceedings of ION GPS 1999.Nashville TN:[s.n.]，1999: 1569-1578.

[3] GE M, GENDT G, ROTHACHER M, et al. Resolution of GPS Carrier-phase Ambiguities in Precise Point Positioning (PPP) with Daily Observations [J]. Journal of Geodesy, 2008, 82(7): 389-399.

[4] 蔡昌盛,李征航,張小紅.GPS系統硬件延遲修正方法的探討[J].測繪通報,2002(4):15-16.

[5] 張小紅, 李星星. 非差模糊度整數固定解PPP新方法及實驗[J]. 武漢大學學報：信息科學版, 2010, 35(6): 657-660.

[6] LI X, ZHANG X, GE M. Regional Reference Network Augmented Precise Point Positioning for Instantaneous Ambiguity Resolution [J]. Journal of Geodesy, 2011, 85(3): 151-158.

[7] 張寶成, TEUNISSEN J G P, ODIJK D，等.精密單點定位整周模糊度快速固定[J].地球物理學報,2012,55(7):2203-2211.

[8] 張寶成,歐吉坤.論精密單點定位整周模糊度解算的不同策略[J].測繪學報,2011,40(6):710-716.

[9] KESHIN M. Directional Statistics of Satellite Satellite Single Difference Widelane Phase Biases[J]. Article Satellites,2004, 39(4): 305-324.

[10] CAI J, GRAFAREND E, HU C. The Statistical Property of the GNSS Carrier Phase Observations and Its Effects on the Hypothesis Testing of the Related Estimators[C]∥Proceedings of ION GNSS 2007.Fort Worth, TX, USA：[s.n.]，2007: 331-338.

[11] TEUNISSEN P J G, KLEUSBERG A. GPS Observation Equations and Positioning Concepts [J].Lecture Notes in Earth Sciences: GPS for Geodesy, 1996, 60(5): 175-217.

[12] 潘樹國,趙興旺,王慶.單差PPP相位偏差估計方法及有效性分析[J].宇航學報,2012,33(4): 436-442.

[13] JAMMALAMADAKA S R, SENGUPTA A. Topics in Circular Statistics [M]. Malaysia: World Scientific Publishing, 2001: 33-56.