區域應急物資儲備庫選址問題的模糊多目標決策方法

郭子雪, 郭亮, 曾雪梅 , 齊美然

(1.河北大學 管理學院， 河北 保定 071002； 2.河北工業大學 電氣工程學院， 天津 300401)

應急物資儲備庫選址問題是區域應急物資儲備體系建設中的重要決策之一，將應急物資儲備庫置于合理的位置，不僅可以降低成本，而且能夠保證提供應急物資的時效性，直接關系到應急物流保障的反應速度和區域應急物資儲備體系建設的有效性．目前，國內外學者在應急物資儲備庫選址方面做了大量的研究工作．文獻[1-2]研究了絕對P-Center問題，提出了應急限制期連續條件下的選址模型及其解法；文獻[3]通過分析突發事件應急救援設施選址問題的特點，建立了一個多目標決策模型，整合了傳統選址模型中常用的最大覆蓋模型、P-中心模型和P-中值模型．文獻[4]利用集合覆蓋理論，通過構建航空應急網絡的關系矩陣，研究了航空應急物資儲備點選址問題．文獻[5]建立了以應急響應時間最小和出救點數目最少為決策目標，帶時變供應約束的多出救點選擇多目標決策模型．文獻[6]針對服務設施經常處于服務狀態的情況，在傳統的確定性集合覆蓋問題模型的基礎上，提出了隨機條件下的集合覆蓋模型；文獻[7]提出了基于資源或資金限制的最大覆蓋問題(maximal covering location problem，MCLP)，該模型研究了如何使最大數量的人口被覆蓋到，并將該模型應用到西班牙Leon省的救護車基地選址中．文獻[8]在傳統的確定性選址模型的基礎上,提出了隨機需求情形下應急設施選址問題的風險最小化決策模型，并設計了模型的求解算法；文獻[9]建立了應急設施選址問題的2階段隨機混合整數規劃模型，提出了模型求解的啟發式算法．本文在現有研究基礎上，構建了約束條件中含梯形模糊參數的應急物資儲備庫選址問題的模糊多目標決策模型，給出了模型的有效解法．

1 多目標決策模型

1.1 問題描述

設S1，S2，…，Sn為區域應急物流系統中n個可供選擇的應急物資儲備庫選擇點，D1，D2，…，Dm為該應急物流系統的m個應急物資需求點．根據應急管理的特點，假設應急物資儲備庫選擇點到應急物資需求點的行車距離、運輸費用、各需求點的需求量以及每個應急物資儲備庫選擇點的容量等系統決策參數均可用梯形模糊數來表示．問在應急物資儲備庫的容量受限條件下，應如何選擇應急物資儲備庫的位置，才能使該應急物流系統運行總成本和應急物資儲備庫到達各應急需求點的總距離達到最小？

根據突發事件應急管理的特點，本問題的討論作如下假設：

1)該問題的目標函數和約束條件都是決策變量的線性關系，且其中的不確定性系統參數均為梯形模糊數形式．2)系統中的應急物資儲備庫候選點是確定的，每個應急物資儲備庫候選點的建設成本各不相同，且其應急物資儲備具有容量限制．3)突發事件發生后系統中應急需求點的需求量可以預測，各需求點的需求總量小于或等于系統中各應急物資儲備庫的儲備總量．4)考慮到突發事件發生后道路交通狀況會受到多種客觀因素的影響，從應急物資儲備庫到應急需求點的運輸距離是一模糊變量，用梯形模糊數表示．5)要求各應急需求點由一個應急物資儲備庫提供應急服務，不考慮應急物資裝卸過程中消耗的時間．6)為了兼顧應急物資儲備庫的可及性以及資金受限條件下資金的利用效率，問題的目標是使應急物資儲備庫到達應急需求點的總距離、應急系統總的運營成本最小化．

1.2 模型的建立

1)模型參數的涵義

n表示應急物資儲備庫候選點的個數；m表示應急需求點的個數；i表示應急需求點集數量m的索引號；j表示應急物資儲備庫候選點集n的索引號；di表示第i個應急需求點的需求量，是一梯形模糊數；sj表示第j個應急物資儲備庫候選點的容量，是一梯形模糊數；cij表示從第j個應急物資儲備庫候選點到達第i個應急需求點的運輸費用，是一梯形模糊數；fj表示第j個應急物資儲備庫候選點的固定成本，包括儲備庫建設費、運營管理費等，是一梯形模糊數；dij表示從第j個應急物資儲備庫候選點到達第i個應急需求點的運輸距離，是一梯形模糊數；xij是0-1決策變量，當需求點i由應急物資儲備庫候選點j提供服務時它取值為1，否則它取值為0．xj也是0-1決策變量，當應急物資儲備庫候選點被選中時它取值為1，否則它取值為0．

2)問題的數學模型

基于上述假設，可得應急物資儲備庫選址問題的模糊多目標規劃模型：

(P1): minS=∑nj=1∑mi=1dijxij，

(1)

minC=∑nj=1∑mi=1cijxij+∑nj=1fjxj，

(2)

s．t． ∑nj=1xij=1,i=1,2,…,m，

(3)

xij-xj≤0,i=1,2,…,m；j=1,2,…，n，

(4)

∑mi=1dixij-sjxj≤0,j=1,2,…,n，

(5)

xij,xj∈{0,1},i=1,2,…,m;j=1,2,…,n，

(6)

其中，目標函數(1)是使應急物資儲備庫到各應急需求點的距離總和達到最小，它表示應急物資儲備庫對每個應急需求點的有效性；目標函數(2)是使應急系統中應急物資儲備庫的固定費用與可變費用之和達到最小，它表示所利用資金的使用效率；約束條件(3)表示每個應急需求點僅由一個應急物資儲備庫提供應急物資；約束條件(4)表示僅對確定設立的應急物資儲備庫候選點指派需求點；約束條件(5)表示每個應急物資儲備庫提供應急物資的能力不超過該應急物資儲備庫的容量限制，同時隱含應急系統儲備總量大于等于應急系統總的需求：∑nj=1sj≥∑mi=1dj；約束條件(6)表示決策變量xij,xj均為0-1變量．

2 區域應急物資儲備庫選址問題的解法

對任意α∈[0,1]， 設梯形模糊數dij,cij,fj,di,sj的截集可表示為

根據區間數的排序規則[10]，約束條件(5)可轉化成2個不等約束

將上述結果代入多目標規劃問題(P1)，可得該問題最好的多目標規劃問題(P2)

(7)

(8)

s．t． ∑nj=1xij=1,i=1,2,…,m,

(9)

xij-xj≤0,i=1,2,…,m；j=1,2,…，n,

(10)

(11)

(12)

xij,xj∈{0,1},i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.

(13)

為了確定模糊多目標規劃問題(P1)中模糊目標的隸屬度函數，現構造2個單目標線性規劃問題(P3)和(P4)：

s．t．式(9)—(13).

s．t．式(9)—(13).

令S0,C0分別為規劃問題(P3)、(P4)的最優值.

xij-xj≤0,i=1,2,…，m;i=1,2,…，n.

作輔助線性規劃問題(P5) 和(P6)：

式(9)—(13).

式(9)—(13).

利用單純形法可以求出線性規劃問題(P5)和(P6)的最優解．令S1和S2分別表示線性規劃問題(P5) 和 (P6)的最優值，可得模糊多目標規劃問題(P1)中目標函數的容許區間：S0≤S≤S1;C0≤C≤C1.

定義模糊多目標規劃問題(P1)模糊目標的隸屬度函數：

μs(S)=1,S

1-S-S1S0-S1,S0≤S≤S1

0,S>S1，μc(C)=1,C

1-C-C1C0-C1,C0≤C≤C1

0,C>C1.

采用Bellman 和 Zadeh的極小算子，可以將多目標規劃問題(P3)轉化為單目標線性規劃問題(P7)：

(P7): maxβ

s.t.μs≥β

由最佳一致逼近理論可知，該函數具有三個偏差點，即區間的兩端點xri-1與xri及區間內某一點.令xzri為區間[xri-1,xri]內幅度相對誤差絕對值最大的一點，易知此點誤差函數的一階導數為0.其中，εri為每個區間上幅度相對誤差最大值.基于最佳一致逼近理論并結合平方根函數的性質，得出4個方程：

式(9)—(13).

求解模糊多目標規劃問題(P1)的具體算法過程如下：

Step 1．寫出模糊多目標規劃問題(P1)梯形模糊參數dij,cij,fi,di,sj的α-截集.

Step 2． 對于給定的α∈[0,1]，求解線性規劃問題 (P3),(P4),(P5),(P6)，得到模糊目標S和C的容許區間[S0,S1]和[C0,C1].

Step 3． 求解多目標規劃問題(P2)．采用極小算子將多目標規劃問題(P2)轉化為線性規劃問題(P7)，解之可得模糊多目標規劃問題(P1)的α水平最優解．

3 算例分析

假設某區域應急物流系統有5個應急需求點D1,D2,D3,D4,D5和3個應急物資儲備庫候選點S1,S2,S3．已知從應急物資儲備庫候選點到各需求點的距離、應急物資儲備庫候選點的容量限制以及各需求點的需求量如表1所示，應急物資儲備庫候選點到各需求點的運輸費用以及各應急物資儲備庫的固定成本如表2所示．問如何確定應急物資儲備庫的位置，才能使該應急物流系統運行總成本和應急物資儲備庫到達各應急需求點的總距離達到最小？

表1 候選儲備庫到需求點距離、候選儲備庫的容量以及需求點的需求量Tab.1 Distance from inventory site to demand point, reserves and demands of emergency material

表2 候選儲備庫到需求點的運輸費用、候選儲備庫的固定成本Tab.2 Transportation charges from inventory site to demand point and fixed cost of inventory site

取α=0.9，計算梯形模糊數dij,cij,fj,di,sj的α-截集，將計算結果代入單目標規劃問題(P3)，(P4)，(P5) 和(P6)，解之可得其最優解如表3所示．

表3 單目標規劃問題(P3) (P4) (P5) (P6)的最優解Tab.3 Optimal solutions of single objective programming problem (P3), (P4), (P5) and (P6)

μs(S)=1,S<23.44

1-S-29.295.85,23.44≤S≤29.29,

0,S>29.29μc(C)=1,C<83 781

1-C-101 91918 138,83 781≤C≤101 919

0,C>101 919.

采用極小算子，將多目標規劃問題(P3)轉化為：

maxβ

s．t． 6.95x11+2.96x21+7.9x31+11.9x41+12.9x51+12.9x12+5.95x22+9.9x32+

7.9x42+5.9x52+15.8x13+9.9x23+12.9x33+1.95x43+3.95x53+5.85β≤29.29,

695x11+296x21+790x31+1 190x41+1 290x51+1 290x12+595x22+990x32+

790x42+590x52+1 580x13+990x23+1 290x33+195x43+395x53+18 138β≤101 919,

x11+x12+x13=1,x21+x22+x23=1,x31+x32+x33=1,x41+x42+x43=1,

x51+x52+x53=1,x11-x1≤0,x21-x1≤0,x31-x1≤0,x41-x1≤0,x51-x1≤0,

x12-x2≤0,x22-x2≤0,x32-x2≤0,x42-x2≤0,x52-x2≤0,x13-x3≤0,

x23-x3≤0,x33-x3≤0,x43-x3≤0,x53-x3≤0,

49.4x11+79.5x21+69.4x31+99x41+79x51-219x1≤0,

49.4x12+79.5x22+69.4x32+99x42+79x52-199x2≤0,

49.4x13+79.5x23+69.4x33+99x43+79x53-248.5x3≤0,

60.5x11+91x21+80.8x31+111.5x41+96.5x41-251x1≤0,

60.5x12+91x22+80.8x32+111.5x42+96.5x52-251.5x2≤0,

60.5x13+91x23+80.8x33+111.5x43+96.5x53-302x3≤0,

xij,xj∈{0,1},fori=1,2,…,5，j=1,2,3.

解之可得上述問題的最優解

β=0.953 8，x11=1，x21=1，x31=1，x43=1，x53=1，x1=1，x3=1，其他為 0．

即該問題的α水平最優解為

x11=1，x21=1，x31=1，x43=1，x53=1，x1=1，x3=1，其他為 0．

計算結果顯示，應選擇在備擇點1，3處設置應急物資儲備庫，此時目標函數的滿意度為95.38%．

4 結論

應急物資儲備庫選址問題是應急物資儲備體系建設的重要內容，研究區域應急物資儲備庫選址問題對完善區域應急物資儲備體系、提高突發事件應對效果具有重要意義．本文基于梯形模糊信息環境，構建了約束條件中含有梯形模糊參數的應急物資儲備庫選址多目標規劃模型，提出了一種基于極小算子的模型優化算法，并通過算例分析驗證了該方法的可行性和有效性．

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