介觀電子諧振腔的量子化

劉志成，閻占元 ，馬金英

(1.華北電力大學 科技學院，河北 保定 071003；2. 華北電力大學 數理學院，河北 保定 071003)

隨著微電子學和納米技術的飛速發展，集成電路的基本設備尺度已經到達介觀層次，其量子效應不可忽視，介觀電路的量子理論應運而生[1].Louisell在20世紀70年代，最早進行了介觀LC電路的量子化，借用簡諧振子的量子化方法，得到了真空態下體系的量子漲落[2].之后的近20年的時間里，對介觀電路的研究幾乎沒有進展，到了20世紀90年代中期，隨著電路越來越小型化，介觀電路量子理論的越來越急需.人們從不同的角度先后研究了介觀LC電路、介觀RLC電路以及介觀耦合電路分別處于不同的某些特定狀態下的量子力學效應，得到了一些具有一定意義的結果[3-9].在量子化介觀電路時，關鍵的是把電路合適量子化，然后求解系統的薛定諤方程.方法大致分為3類：1)借用簡諧振子的量子化方法，或引入產生和湮滅算符實現介觀電路量子化[2,10]，這是目前研究最為廣泛和深入的一種方法.2)在電荷分立取值的基礎上，重新定義廣義坐標動量算符和哈密頓算符，建立一種有限差分形式的薛定諤方程，實現介觀電路的量子化[5,11]，對有限差分形式薛定諤方程的求解困難，限制了這類方法的應用范圍.3)在路徑積分的基礎，求解出系統的傳播子，從而得到系統的性質[12-13].

介觀電子諧振腔是一種介觀器件[14]，近年來，因其電阻振蕩性引起了人們的廣泛關注[15].本文采用Feynman路徑積分的方法對介觀電子諧振腔進行了量子化.應用高斯型傳播子，求出系統的能級，得到波函數隨時間的演化公式，進而討論系統的量子漲落和不確定關系.

1 介觀電子諧振腔的量子化

圖1 介觀電子諧振腔示意 Fig.1 Sketch drawing of the mesoscopic electron resonator

按照Utreras Diaz等人[16]的模型，介觀諧振腔結構如圖1所示，是由1個量子點接觸和1個圓弧形反射壁組成，反射壁上電壓為Vg.電子通過量子點接觸注入系統，在空腔內多次反射，從反射壁的兩側流出.系統等效為LC電路.

系統的經典哈密頓為

(1)

(2)

2 系統傳播子

在路徑積分形式中，只要確定系統的傳播子，任意時刻的波函數可通過初態演化而得.傳播子的泛函積分形式為

(3)

(4)

(5)

(6)

其中Scl為經典作用量，與δq無關.過程用到δq在端點為零和運動方程.路徑積分的測度變成D[q(t)]=D[δq(t)]，傳播子化為

(7)

其中A(t)是對δq積分后的結果.所以二次型的作用量，對應的傳播子是高斯型.為計算簡便，寫出以下一般形式的高斯型傳播子，再定出各項系數.

(8)

傳播子滿足薛定諤方程

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

解以上微分方程，并利用初始條件K(q,t;q0,0)

t→0=δ(q-q0)，可得6個系數分別為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

其中

(23)

3 系統波函數

(24)

令t=0，可得系統的初態波函數和能級：

(25)

(26)

應用傳播子式(22),容易得到體系任意時刻的波函數，

(27)

即

(28)

其中，

(29)

(30)

利用恒等式

(31)

(32)

(33)

化簡得到體系任意時刻波函數為

(34)

其中γ=cosωtC2αVg+q-u.

4 量子漲落和不確定關系

作為以上得到的波函數的應用，利用上節結論和厄密多項式的性質，可求解體系的量子漲落和不確定關系.

(35)

(36)

(37)

(38)

因此，漲落為

(39)

(40)

.

(41)

5 結論

本文在介觀電子諧振腔等效電路的哈密頓基礎上，采用Feynman路徑積分的方法對介觀電子諧振腔進行了量子化求解.應用高斯型傳播子，求出了系統的能級以及波函數隨時間的演化公式，并討論了系統的量子漲落和不確定關系.結果表明，無耗散的介觀電子諧振腔系統的電荷和電流的量子漲落，與介觀LC電路的量子漲落相同，并且不隨時間變化.

參 考 文 獻:

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