結構可靠性優化設計的證據理論和微分演化方法＊

唐和生，蘇 瑜，薛松濤，鄧立新

（1.同濟大學 結構工程與防災研究所，上海 200092；2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092）

基于可靠性的優化設計是不確定性結構優化設計的有效途徑.傳統的可靠性優化設計常采用概率模型，但概率方法需要足夠的統計數據信息來擬合其概率特征，而實際工程中這些數據通常是無法準確獲知的，所以傳統概率方法面臨巨大的挑戰.

近年來，國內外很多學者致力于發展非概率的不確定建模手段，并在其基礎上提出非概率可靠性優化設計方法，其中由 Dempster[1]和Shafer[2]提出的證據理論具有較強的不確定處理能力，已經成為不確定信息表達和量化的有力工具，在多目標識別、信息融合、多屬性決策等領域獲得了廣泛應用[3－6].而基于證據理論的工程可靠性優化分析剛剛起步，并且主要應用于機械與航空領域.Mourelatos等[7]將證據理論應用于內壓容器可靠性優化設計中，研究了基于證據理論的失效概率或可靠度指標的計算問題.Bae等[8]運用證據理論解決機械工程中的不確定問題，實現了飛機機翼結構的可靠性優化設計.郭慧昕等[9－11]提出了證據理論和區間分析相結合的可靠度優化設計方法，將此應用于內壓容器和氣門彈簧的可靠性研究中.盡管已經取得了一些進展，但是證據理論仍然很少應用于實際工程的可靠性優化問題中，計算成本是導致該問題的主要原因.同時，基于證據理論的可靠性優化設計在土木工程中的應用還是一個新課題.

為此，本文采用證據理論處理不確定情況，引入微分演化算法降低證據理論在可靠性優化中的計算成本，提出了證據理論和微分演化算法相結合的可靠性優化設計方法，并將該方法應用于桁架結構的形狀優化問題中，來驗證本文所提方法的有效性.

1 證據理論的基本原理

證據理論是由Dempster和Shafer提出的，又稱為D－S理論.它是建立在辨識框架上的一種不確定理論，設Θ為辨識框架，它表示關于命題互不相容的所有可能答案的有限集合，類似于概率論中有限的樣本空間，冪集2Θ定義為辨識框架Θ中所有子集的集合，證據理論是對冪集元素進行基本概率賦值[12].定義函數m：2Θ→[0，1]，?A?Θ.當滿足：

稱m為框架Θ上的基本信任分配函數（BBA），m（A）為A的基本信任度，表示證據對A的信任程度，若m（A）＞0，則稱A為焦元.

若m為框架Θ上的基本信任分配函數，則稱由

所定義的函數Bel：2Θ→[0，1]為Θ上的信任函數，函數Pl：2Θ→[0，1]為Θ上的似然函數，Bel（A）表示對A為真的信任程度，Pl（A）表示對A為非假的信任程度，也稱為命題A的似然度，兩者之間的關系如圖1所示，Bel（A）和Pl（A）提供了概率P（A）的上限和下限.由此可見，以概率論為基礎的傳統可靠性問題只是證據理論的一個特例.

圖1 對命題A的不確定描述Fig.1 Uncertainty representation of proposition A

對于認識不夠透徹的不確定參數，可能會有多個專家提出不同的理論或不同的數據來組成多源證據，證據理論可以通過合成規則綜合考慮各種證據源的影響.經典的D－S合成規則為：假定m1和m2是同一辨識框架Θ上的2個基本信任分配函數，焦元分別為Ai和Bj，則新的基本信任分配函數m為：

2 證據理論和微分演化算法相結合的可靠性優化設計方法

2.1 基于證據理論的可靠性優化設計模型

一般來說，基于概率理論的可靠性優化問題可表述為：

式中：x＝[x1，x2，…，xn]T為n維不確定性量，分別服從一定的概率分布，[xL，xU]為不確定量x的名義值xN的取值區間；d＝[d1，d2，…，dm]T為m維確定性量，[dL，dU]為d的取值區間；F和g分別為目標函數和約束函數；g（x，d）＞g0表示結構發生失效，g（x，d）＜g0表示結構安全，g0為許可的響應值；k為約束條件的數目；P｛｝表示真實概率；Pf和R分別為結構設計給定的失效概率和可靠度許用值.

當問題中不確定量的認識信息較少或不完整時，上述優化模型中的約束條件不能采用概率理論來建立，此時，可以利用證據理論的不確定建模手段解決這一問題.如圖1所示，證據理論用似然函數和信任函數來進行不確定性度量，可以證明[Bel，Pl]是真實概率的區間估計，真實的失效概率或可靠度夾逼在該區間內：

由此，將Pl｛gj（x，d）＞g0｝＜pf或Bel｛gj（x，d）＜g0｝＞R作為傳統可靠性約束條件的替代模型，建立基于證據理論的廣義可靠度優化設計數學模型：

模型中Pl｛gj（x，d）＞g0｝或Bel｛gj（x，d）＜g0｝是進行非概率可靠性分析的前提，由于結構失效占整個設計空間的比例較小，故以Pl｛gj（x，d）＞g0｝＜pf作為約束條件可以提高優化效率，下面就Pl｛gj（x，d）＞g0｝的計算進行詳細闡述.

2.2 基于微分演化方法的失效似然度計算

對于結構分析中出現的不確定量，證據理論將其表述為區間數.在計算結構失效似然度時，首先根據不確定量的可能取值范圍，將其劃分為有限個互不相容的基本區間作為辨識框架.以圖2為例，不確定量x1的辨識框架X1＝｛x11，x12，x13｝，冪集2X1＝｛Ф，｛x11｝，｛x12｝，｛x13｝，｛x11，x12｝，｛x11，x13｝，｛x12，x13｝，X1｝，基于證據（專家意見或實測數據）分析，對冪集中的焦元進行基本信任度賦值，得到x1的基本信任分配函數m.

圖2 不確定參數基本區間Fig.2 Basic intervals of uncertainty parameter

然后，對每個不確定變量的焦元進行笛卡爾運算，得到聯合焦元區間，以二維不確定參數為例：

式中：x1m，x2n和ck分別為X1，X2和C的焦元區間.考慮到x1和x2的獨立性，二維聯合焦元的基本信任度m（ck）＝m（x1m）m（x2n）.

由于x1m和x2n都是區間，焦元ck在集合上為一矩形，顯然，對于n維問題，聯合辨識框架中的焦元為n維“超立方體”.令y（x，d）表示結構極限狀態函數，結構失效域F為：

在聯合BBA和失效域F的基礎上，可根據式（2）和式（3）計算結構失效測度Bel（F）和Pl（F）為：

可見，在計算失效測度時需要確定聯合焦元ck是否滿足ck?F或ck∩F≠?，圖3描述了ck對Bel（F）和Pl（F）的貢獻.從圖3可以看出：1）若ymax＞0，ymin＞0，則ck∩F＝?，ck對Pl（F）和Bel（F）沒有貢獻，即ck不參與Pl（F）和Bel（F）的計算.2）若ymax＜0，ymin＜0，則ck∩F＝ck，ck對Pl（F）和Bel（F）的計算都有貢獻.3）若ymax＞0，ymin＜0，ck僅對Pl（F）有貢獻.

圖3 焦元區間對失效似然度的貢獻Fig.3 Focal element contribution to plausibility of the failure region

因此，為準確判斷，需要求解y（x，d）在ck對應的“超立方體”域上的極值，即

求解式（11）中區間極值的主要方法有采樣法和優化方法，采樣法的精度很大程度上取決于采樣點數目，計算代價巨大.優化方法會極大降低計算量，但由于不確定量x的焦元區間數目多，而且結構響應并不是簡單的顯式而是通過有限元分析得到的，故利用傳統的優化算法求解復雜多維非凸的極限狀態函數y（x，d）在ck上的極值顯得非常困難.

近年來仿生智能優化算法被廣泛引入到結構優化中，例如模擬退火法（SA）[14]、遺傳算法（GA）[15]、微分演化法（DE）[16]等，其中DE是一種新穎的啟發式智能算法，采用變異、交叉和選擇3項基本操作，通過若干代種群演化操作不斷舍棄劣質解，保留優質解，最終獲取近似全局最優解.研究表明，微分演化算法在求解非凸、多峰、非線性優化問題中表現出較強的穩健性，同時具有收斂較快的優點[17].因此，本文采用DE提高y（x，d）區間極值的求解速度，如圖4所示，從而減少優化設計的計算成本.

圖4 區間函數極值求解Fig.4 Interval optimization for computing bounds

根據以上描述，基于證據理論的可靠性優化設計是利用微分演化算法在滿足可靠性約束Pl｛g（x，d）＞g0｝＜pf的條件下，尋求結構最優設計變量和最優目標值.同時，基于證據理論的結構約束失效似然度又是通過微分演化算法來提高其計算效率的，可靠性約束條件的計算流程如圖5所示.

圖5 可靠性約束計算流程Fig.5 Flowchart of calculation of reliability constraint

3 算例分析

為了便于比較，取文獻[18]中的25桿桁架形狀優化進行討論，結構形式見圖6，彈性模量名義值E＝68 950MPa，作用于桁架上的荷載名義值列于表1，容許拉壓應力[σ]＝±275.6MPa，各節點三向允許的最大位移為8.89mm.其他參數見文獻[18].

圖6 25桿空間桁架結構Fig.6 25bar space truss structure

表1 25桿桁架節點荷載名義值Tab.1 Normal value of joint load for 25－bar truss

文獻[18]對該桁架進行了確定性優化，本文在此基礎上考慮不確定情況，將外荷載和彈性模量視為不確定的，假定其不確定信息（焦元區間及基本信任度）如表2所示，在2種不確定因素存在的情況下，進行既滿足可靠度約束條件又使結構總質量最小的最優設計，該不確定優化問題的數學模型為：

式中：d為尺寸和形狀設計變量；x為不確定參數；Pl｛gi（x，d）＜0｝＜Pf為約束條件；g1和g2分別表示應力和位移極限狀態函數；σk為第k組桿件的應力值；ujl為特定節點j在給定方向l上的位移值.

考慮結構允許的失效概率Pf為0.05和0.1二種情況，采用本文所提方法對25桿桁架進行可靠性形狀優化.Pf＝0.05情況的評價函數收斂曲線和最終形狀分別見圖7和圖8.圖9給出最優設計時位移約束函數g2（x，d）的信任度和似然度累計分布曲線.為了與文獻[18]的確定性形狀優化結果相比較，根據圖9，表3詳細列出了應力和位移約束失效似然度.

表2 外荷載和彈性模量的不確定信息Tab.2 The uncertain information of load and elastic modulus

圖7 25桿桁架形狀優化的收斂曲線Fig.7 Shape optimization convergence history of 25－bar truss

圖8 25桿桁架的形狀優化結果Fig.8 Optimum shape of 25－bar truss

圖9 位移約束的信任度和似然度累積分布Fig.9 Cumulative belief and plausibility distribution for displacement constraint

由圖7可知，該算法具有很高的計算效率，25桿桁架形狀的優化計算在迭代大約100次后已經收斂.從圖9和表3可以看出，在Pf＝0.1和Pf＝0.05兩種情況下，位移約束失效概率[P（g2＜0）]的不確定區間[Bel，Pl]分別為[0，0.066]和[0，0.036]，失效似然度即概率上界均小于相應的失效概率許用值，滿足設計可靠度的要求.由表3可知，由于考慮不確定性的存在，基于D－S可靠性優化結果總質量要比確定性優化結果有所增加，但是從失效似然度來看，前者的可靠性（93.4%，96.4%）要明顯高于后者（5%）.由此可見，對不確定量的認識信息較少，無法采用概率理論時，證據理論以區間測度[Bel，Pl]代替傳統概率單值來描述這種認知不確定顯得更為合理.由于基于D－S的可靠性優化將使結構具有良好的魯棒性，有效避免由于錯誤估計而造成優化結果的偏差.

表3 25桿空間桁架形狀優化結果比較Tab.3 Comparison of optimal designs for the 25－bar truss

4 結 論

可靠性優化設計中，由于不確定信息較少無法構造精確概率分布時，證據理論代替傳統的概率理論進行不確定信息描述是一種理想的選擇.該方法用不確定區間測度[Bel，Pl]代替不可知的真實概率來處理不完備的數據信息，以Pl（F）＜Pf作為概率可靠性約束條件的替代模型，本文同時引入微分演化算法提高求解聯合焦元內反應區間極值的計算效率以及可靠性優化的尋優速度，降低證據理論在可靠性優化中的計算成本.

本文以25桿桁架形狀優化為例，在考慮荷載和彈性模量均為不確定的情況下，基于D－S進行可靠性優化設計得到了很好的結果.分析結果表明，本文所提方法在實際工程中具有一定的應用前景.

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