不等式“恒成立”問題的解法

朱月祥

在不等式問題的求解中，“恒成立”問題有其特殊性，它的求解，需要一定的技巧，也是學生學習不等式的一個難點。本文試舉例加以說明。

1.借助不等式的有關知識

數(shù)學中很多不等式或不等關系，本身就有“恒成立”的含義，如a2+b2≥2ab，|sinx|≤1等，解題中應當充分利用這些知識，尋求解題策略。

例1已知f（x）=2loga（x+2）+log■（x2+4x）（a>0，且a≠1），當x∈（0，+∞）時，f（x）<0恒成立，試判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性。

解：∵f（x）=2loga（x+2）+log■（x2+4x）

=loga■=loga（1+■）

又∵1+■>1，∴只有0

令u=1+■，∴y=logau

∵x>0時，u=1+■為減函數(shù)，y=logau為減函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性知：

y=loga（1+■）在x>0時為增函數(shù)。

2.轉化為函數(shù)的圖像關系

將不等式所涉及的有關不等式轉化為函數(shù)，把不等式問題轉化為函數(shù)圖像性質(zhì)的關系問題是解決此類問題的常用方法。

例2如果不等式|x-1|-|x-2|>a（a為常數(shù)），對于任意實數(shù)x總成立，則a的取值范圍是（ ）

（A）a<-3 （B）a<3 （C）a<-1 （D）a<1

解：如圖，在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y1=|x-1|-|x-2|和y2=a的圖象，不難發(fā)現(xiàn)要使|x-1|-|x-2|>a恒成立，只需直線y2=a恒在折線y1=|x-1|-|x-2|圖象的下方，即a<-3，故選（A）。

例3如果不等式x2-logax<0（a為常數(shù)）在（0，■]上恒成立，求a的取值范圍。

解：設y1=x2，y2=logax由圖像不難知道，當a>1時，x2-logax<0不可能恒成立。

∴0

由圖形可知，要使（0，■]時x2■。

∴■

例4若不等式kx2-2x>k-2對滿足|k|<1的所有k都成立，求x的取值范圍。

解： 由kx2-2x>k-2得

（x2-1）k-2（x-1）>0，設f（k）=（x2-1）k-2（x-1）

依題意，要使當|k|<1時，f（k）>0恒成立，由一次函數(shù)性質(zhì)知必須f（1）>0f（-1）>0，即（x-1）2>0-x2-2x+3>0

解得-3

上述三個例子如果仍按照一般的方法去求解，顯然將很難解決，甚至無法求解。但將不等關系轉化為函數(shù)圖像的性質(zhì)關系，借助于圖形的直觀性求解，無疑大大簡化了解題的難度，可為獨辟蹊徑，化難為易。

3.利用f（x）≥g（x）？圳f（x）不小于g（x）的最大值

例5 定義在（-∞，3]上的減函數(shù)f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）對于一切x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解： 要使f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）恒成立，

只要a+1+cos2x≤a2-sinx≤2恒成立

即a2-a-■≥-（sinx-■）2

由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx

所以a2-a-■≥0a2-3≤-1得-■≤a≤■

∴a的范圍為[-■，■]。

4.利用恒等式的特殊性

例6已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b、c為實常數(shù)）對于任意α∈R，恒有f（sinα）≥0，且f（2+cosα）≤0，求函數(shù)b=g（c）及其定義域。

解： ∵f（sinα）≥0①，f（2+cosα）≤0②，對于α∈R恒成立，

將α=90o，α=180o分別代入①②得：

f（1）≥0f（1）≤0？圳f（1）=0

∴1+b+c=0，∴b=-c-1

又∵-1≤sinx≤1，1≤2+cosx≤3

由圖形知，f（3）≤0f（-1）≤0即1-b+c≥09+3b+c≤0

∴b≤-4，c≥3

∴g（c）=-c-1（c≥3）。

例7已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象過（-1，0），問是否存在常數(shù)a、b、c使得不等式x≤f（x）≤■（1+x2）對一切實數(shù)x都成立？證明你的結論。

解：f（x）的圖象過（-1，0），∴a-b+c=0①

又x≤f（x）≤■（1+x2）對一切實數(shù)x都成立

令x=1，得1≤a+b+c≤1，∴a+b+c=1 ②

由①②知，b=■，c=■-a，f（x）=ax2+■x+■-a ∴2x≤2ax2+x+1-2a≤1+x2

∴2ax2-x+1-2a≥0 ③（2a-1）x2+x-2a≤0 ④ 對一切x∈R恒成立

由③知2a>0△=1+4·2a（a-1）≤0解得a=■

代入④得■x2+x-■=-■（x-1）2≤0也恒成立。

∴存在a=c=■，b=■對于x∈R成立。

（作者單位：江蘇省濱海縣獐溝中學）

在不等式問題的求解中，“恒成立”問題有其特殊性，它的求解，需要一定的技巧，也是學生學習不等式的一個難點。本文試舉例加以說明。

1.借助不等式的有關知識

數(shù)學中很多不等式或不等關系，本身就有“恒成立”的含義，如a2+b2≥2ab，|sinx|≤1等，解題中應當充分利用這些知識，尋求解題策略。

例1已知f（x）=2loga（x+2）+log■（x2+4x）（a>0，且a≠1），當x∈（0，+∞）時，f（x）<0恒成立，試判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性。

解：∵f（x）=2loga（x+2）+log■（x2+4x）

=loga■=loga（1+■）

又∵1+■>1，∴只有0

令u=1+■，∴y=logau

∵x>0時，u=1+■為減函數(shù)，y=logau為減函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性知：

y=loga（1+■）在x>0時為增函數(shù)。

2.轉化為函數(shù)的圖像關系

將不等式所涉及的有關不等式轉化為函數(shù)，把不等式問題轉化為函數(shù)圖像性質(zhì)的關系問題是解決此類問題的常用方法。

例2如果不等式|x-1|-|x-2|>a（a為常數(shù)），對于任意實數(shù)x總成立，則a的取值范圍是（ ）

（A）a<-3 （B）a<3 （C）a<-1 （D）a<1

解：如圖，在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y1=|x-1|-|x-2|和y2=a的圖象，不難發(fā)現(xiàn)要使|x-1|-|x-2|>a恒成立，只需直線y2=a恒在折線y1=|x-1|-|x-2|圖象的下方，即a<-3，故選（A）。

例3如果不等式x2-logax<0（a為常數(shù)）在（0，■]上恒成立，求a的取值范圍。

解：設y1=x2，y2=logax由圖像不難知道，當a>1時，x2-logax<0不可能恒成立。

∴0

由圖形可知，要使（0，■]時x2■。

∴■

例4若不等式kx2-2x>k-2對滿足|k|<1的所有k都成立，求x的取值范圍。

解： 由kx2-2x>k-2得

（x2-1）k-2（x-1）>0，設f（k）=（x2-1）k-2（x-1）

依題意，要使當|k|<1時，f（k）>0恒成立，由一次函數(shù)性質(zhì)知必須f（1）>0f（-1）>0，即（x-1）2>0-x2-2x+3>0

解得-3

上述三個例子如果仍按照一般的方法去求解，顯然將很難解決，甚至無法求解。但將不等關系轉化為函數(shù)圖像的性質(zhì)關系，借助于圖形的直觀性求解，無疑大大簡化了解題的難度，可為獨辟蹊徑，化難為易。

3.利用f（x）≥g（x）？圳f（x）不小于g（x）的最大值

例5 定義在（-∞，3]上的減函數(shù)f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）對于一切x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解： 要使f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）恒成立，

只要a+1+cos2x≤a2-sinx≤2恒成立

即a2-a-■≥-（sinx-■）2

由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx

所以a2-a-■≥0a2-3≤-1得-■≤a≤■

∴a的范圍為[-■，■]。

4.利用恒等式的特殊性

例6已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b、c為實常數(shù)）對于任意α∈R，恒有f（sinα）≥0，且f（2+cosα）≤0，求函數(shù)b=g（c）及其定義域。

解： ∵f（sinα）≥0①，f（2+cosα）≤0②，對于α∈R恒成立，

將α=90o，α=180o分別代入①②得：

f（1）≥0f（1）≤0？圳f（1）=0

∴1+b+c=0，∴b=-c-1

又∵-1≤sinx≤1，1≤2+cosx≤3

由圖形知，f（3）≤0f（-1）≤0即1-b+c≥09+3b+c≤0

∴b≤-4，c≥3

∴g（c）=-c-1（c≥3）。

例7已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象過（-1，0），問是否存在常數(shù)a、b、c使得不等式x≤f（x）≤■（1+x2）對一切實數(shù)x都成立？證明你的結論。

解：f（x）的圖象過（-1，0），∴a-b+c=0①

又x≤f（x）≤■（1+x2）對一切實數(shù)x都成立

令x=1，得1≤a+b+c≤1，∴a+b+c=1 ②

由①②知，b=■，c=■-a，f（x）=ax2+■x+■-a ∴2x≤2ax2+x+1-2a≤1+x2

∴2ax2-x+1-2a≥0 ③（2a-1）x2+x-2a≤0 ④ 對一切x∈R恒成立

由③知2a>0△=1+4·2a（a-1）≤0解得a=■

代入④得■x2+x-■=-■（x-1）2≤0也恒成立。

∴存在a=c=■，b=■對于x∈R成立。

（作者單位：江蘇省濱海縣獐溝中學）

在不等式問題的求解中，“恒成立”問題有其特殊性，它的求解，需要一定的技巧，也是學生學習不等式的一個難點。本文試舉例加以說明。

1.借助不等式的有關知識

數(shù)學中很多不等式或不等關系，本身就有“恒成立”的含義，如a2+b2≥2ab，|sinx|≤1等，解題中應當充分利用這些知識，尋求解題策略。

例1已知f（x）=2loga（x+2）+log■（x2+4x）（a>0，且a≠1），當x∈（0，+∞）時，f（x）<0恒成立，試判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性。

解：∵f（x）=2loga（x+2）+log■（x2+4x）

=loga■=loga（1+■）

又∵1+■>1，∴只有0

令u=1+■，∴y=logau

∵x>0時，u=1+■為減函數(shù)，y=logau為減函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性知：

y=loga（1+■）在x>0時為增函數(shù)。

2.轉化為函數(shù)的圖像關系

將不等式所涉及的有關不等式轉化為函數(shù)，把不等式問題轉化為函數(shù)圖像性質(zhì)的關系問題是解決此類問題的常用方法。

例2如果不等式|x-1|-|x-2|>a（a為常數(shù)），對于任意實數(shù)x總成立，則a的取值范圍是（ ）

（A）a<-3 （B）a<3 （C）a<-1 （D）a<1

解：如圖，在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y1=|x-1|-|x-2|和y2=a的圖象，不難發(fā)現(xiàn)要使|x-1|-|x-2|>a恒成立，只需直線y2=a恒在折線y1=|x-1|-|x-2|圖象的下方，即a<-3，故選（A）。

例3如果不等式x2-logax<0（a為常數(shù)）在（0，■]上恒成立，求a的取值范圍。

解：設y1=x2，y2=logax由圖像不難知道，當a>1時，x2-logax<0不可能恒成立。

∴0

由圖形可知，要使（0，■]時x2■。

∴■

例4若不等式kx2-2x>k-2對滿足|k|<1的所有k都成立，求x的取值范圍。

解： 由kx2-2x>k-2得

（x2-1）k-2（x-1）>0，設f（k）=（x2-1）k-2（x-1）

依題意，要使當|k|<1時，f（k）>0恒成立，由一次函數(shù)性質(zhì)知必須f（1）>0f（-1）>0，即（x-1）2>0-x2-2x+3>0

解得-3

上述三個例子如果仍按照一般的方法去求解，顯然將很難解決，甚至無法求解。但將不等關系轉化為函數(shù)圖像的性質(zhì)關系，借助于圖形的直觀性求解，無疑大大簡化了解題的難度，可為獨辟蹊徑，化難為易。

3.利用f（x）≥g（x）？圳f（x）不小于g（x）的最大值

例5 定義在（-∞，3]上的減函數(shù)f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）對于一切x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解： 要使f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）恒成立，

只要a+1+cos2x≤a2-sinx≤2恒成立

即a2-a-■≥-（sinx-■）2

由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx

所以a2-a-■≥0a2-3≤-1得-■≤a≤■

∴a的范圍為[-■，■]。

4.利用恒等式的特殊性

例6已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b、c為實常數(shù)）對于任意α∈R，恒有f（sinα）≥0，且f（2+cosα）≤0，求函數(shù)b=g（c）及其定義域。

解： ∵f（sinα）≥0①，f（2+cosα）≤0②，對于α∈R恒成立，

將α=90o，α=180o分別代入①②得：

f（1）≥0f（1）≤0？圳f（1）=0

∴1+b+c=0，∴b=-c-1

又∵-1≤sinx≤1，1≤2+cosx≤3

由圖形知，f（3）≤0f（-1）≤0即1-b+c≥09+3b+c≤0

∴b≤-4，c≥3

∴g（c）=-c-1（c≥3）。

例7已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象過（-1，0），問是否存在常數(shù)a、b、c使得不等式x≤f（x）≤■（1+x2）對一切實數(shù)x都成立？證明你的結論。

解：f（x）的圖象過（-1，0），∴a-b+c=0①

又x≤f（x）≤■（1+x2）對一切實數(shù)x都成立

令x=1，得1≤a+b+c≤1，∴a+b+c=1 ②

由①②知，b=■，c=■-a，f（x）=ax2+■x+■-a ∴2x≤2ax2+x+1-2a≤1+x2

∴2ax2-x+1-2a≥0 ③（2a-1）x2+x-2a≤0 ④ 對一切x∈R恒成立

由③知2a>0△=1+4·2a（a-1）≤0解得a=■

代入④得■x2+x-■=-■（x-1）2≤0也恒成立。

∴存在a=c=■，b=■對于x∈R成立。

（作者單位：江蘇省濱海縣獐溝中學）