對數(shù)學(xué)思想方法的歸納與概括

高飛

數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。記得一位教育家這樣說：“學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那些銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用，使他們受益終生。”作為一線數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)在教學(xué)中有意識地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與運(yùn)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面就數(shù)學(xué)思想方法做小結(jié)。

一、函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法處理變化或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。

函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想。應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；（2）根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題。

方程思想：從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）使問題獲解。

函數(shù)與方程是兩個有密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)問題也需要用方程的方法支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要思想方法之一，對于所研究的代數(shù)問題，有時可研究其對應(yīng)幾何的性質(zhì)使問題得以解決（以形助數(shù)）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應(yīng)圖形的數(shù)量關(guān)系使問題得以解決（以數(shù)助形），這種解決問題的方法稱之為數(shù)形結(jié)合。

數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面。在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系；在二維空間，實數(shù)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系。

我們要抓住以下幾點(diǎn)數(shù)形結(jié)合的解題要領(lǐng)：

（1）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可。

（2）對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖像求解（函數(shù)的零點(diǎn)，頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），做好知識的遷移與綜合運(yùn)用。

（3）對于以下類型的問題需要注意：可分別通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓上的點(diǎn)及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，達(dá)到解題目的。

華羅庚先生指出：“數(shù)缺性時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。”數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性闡明形的某些屬性，或借助于形的幾何直觀性闡明數(shù)之間的某種關(guān)系。

三、分類討論思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。

有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運(yùn)用分類討論思想解決，引起分類討論的原因大致可歸納如下幾種：

（1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；

（2）運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；

（3）求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性的；

（4）數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；

（5）較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。

分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。分類討論題覆蓋知識點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較強(qiáng)的邏輯性和綜合性。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏，包含各種情況，同時要有利于問題研究。

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉(zhuǎn)化的思想。化歸與轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是提示聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知問題實現(xiàn)的。從這個意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題過程實際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如：未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。

五、或然與必然的思想

概率所研究的隨機(jī)現(xiàn)象，研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”規(guī)律解決“偶然”的問題，這其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想就是或然與必然的思想。

隨著新教材的實施，高考中對概率內(nèi)容的考查已經(jīng)被放在了重要位置，通過對等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望等重點(diǎn)內(nèi)容的考查，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解決實際問題中能否運(yùn)用或然與必然的辯證關(guān)系，從而體現(xiàn)或然與必然的思想。

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