《有余數的除法》的教學實踐與思考

徐一雙

教學“有余數的除法”，學生學習的起點應該定在哪里呢？學生對有余數的除法了解多少？學生接觸過除法豎式嗎？……一系列的問題縈繞在我的腦海里。因此我決定在上這節課前，先對學生摸摸底。一方面，了解學生對“有余數除法”原有的基礎和經驗是什么；另一方面，也便于我做好教學前的準備工作以及教學時該采取怎樣的措施。于是我隨機對15位學生進行了調查。

根據調查，我們發現在學習有余數除法前，學生已經認識了除法，能比較熟練地口算表內除法，并積累了比較多的把一些物體進行平均分的活動經驗，知道要把一些物體等分，可以用除法計算。至于這些物體能不能正好分完，對學生來說，在沒有計算或進行分的實踐之前，是不知道的。而關于有余數的除法算式，調查中有60%的學生沒有見過這樣的算式，有27%的學生曾經見過，但對算式中余數的意義理解的很含糊，有13%的學生能正確地理解有余數除法算式的意義。從調查的結果可以看出，關于有余數除法的知識，孩子自身已有的認知水平和生活經驗幾乎是空白的。因此通過調查分析學生的學情，深入研究教材后，我確定了第一課時的教學目標和教學思路。下面是我的教學片段。

案例描述

環節一：動手操作，感知余數

1.用畫圖的方式，畫一畫8根小棒可以擺幾個正方形？

2.畫一畫，11根小棒可以擺幾個正方形？為什么還剩下3根？

3.畫一畫，13根小棒可以擺幾個正方形？為什么還剩下1根？

4.觀察比較3次擺小棒的結果，有什么相同點和不同點？

環節二：探索交流，認識余數

1.用一道算式來表示用8根小棒可以擺幾個正方形。

2.用你喜歡的算式表示出11根小棒可以擺幾個正方形，還剩下幾根。

（1）學生嘗試列式。

（2）展示分析學生的算式。

①學生1：2×4+3=11（根）

師：說說這道算式的意思。

生：4根小棒可以擺一個正方形，2個正方形要8根小棒，再加上剩下的3根，一共是11根小棒。

師：你真棒，用這道算式算出了一共有11根小棒。

②生2：11-8=3（根）

師：說說這道算式的意思。

生：一共有11根小棒，擺2個正方形用去了8根，還剩下3根小棒。

師：你真厲害！你用這道算式算出還剩3根小棒。

③生3：（11-3）÷4=2（個）

師：說說這道算式的意思。

生：一共有11根小棒，去掉多出的3根小棒，還剩下8根。8根小棒，每4根擺一個正方形，可以擺2個。

師：你真了不起！你用這道算式算出了可以擺2個正方形。

④生4：11÷4=2……3

師：說說這道算式的意思。

生：一共有11根小棒，每4根擺一個正方形，可以擺2個正方形，還剩下3根。

師：2表示什么？是圖上的哪部分？3表示什么？是圖上的哪部分？

生：2表示可以擺2個正方形；3表示還剩下3根小棒。

師：為什么要點上6個小圓點？

生：表示11根小棒擺了2個正方形后還剩下3根。

師：你真是數學天才，用一道算式就解決了兩個問題，讓我們一看就知道11根小棒，每4根擺一個正方形，可以擺2個，還剩下3根。

（3）比較溝通：哪道算式最容易讓人看出11根小棒擺的結果？為什么？

（4）介紹有余數除法算式中各部分的名稱。

（5）嘗試練習：你能用有余數的除法算式表示出13根小棒擺的結果嗎？

3.比較溝通3道除法算式。

4.小結并揭示課題。

5.嘗試練習。用一道算式表示出19根小棒它可以擺幾個正方形，還剩幾根。

環節三：猜想辨析，發現規律

1.猜想一

（1）有一些小棒，不知道有多少根，現在想擺成一個一個的正方形。想一想，擺完后可能會出現什么情況？

（2）如果擺完后還有剩下，那么剩下的可能會是幾根？為什么？

（板書：（ ）÷4=（ ）個……（ ）根）

（3）你認為對這個余數有什么要求？

2.猜想二

（1）如果擺的是三角形，那么余數可能是幾根？

（板書：（ ）÷3=（ ）個……（ ）根）

（2）對這個余數你有什么要求？

3.猜想三

（1）如果擺的是六邊形，那么對這個余數有什么要求？為什么？

（板書：（ ）÷6=（ ）個……（ ）根）

4.觀察比較，發現規律。

觀察三道算式，你認為余數和什么有關系？

案例反思

這節課，學生親身經歷了“問題驅動下的動手操作——算式與意義結合的自主探究——經驗支持下的規律發現”數學活動過程，使學生數學的知識技能、思想方法、情感態度得以整體地落實。

一、在動手操作中感悟余數的意義

“余數”的概念對學生來說并不難，但難就難在如何圍繞主題展開，讓學生充分感知余數，領悟余數的含義。教學中我讓學生用畫正方形的方式來代替擺小棒，讓學生在畫圖的活動中先形成有“剩余”的表象，并在此基礎上逐步建立余數的概念。首先我讓學生分別畫出8根、11根、13根小棒可以擺幾個正方形？畫完后，再讓學生觀察比較有什么不同，學生很自然的就得出結論：把小棒平均分后有兩種不同的結果，一種正好分完，一種是有剩余的。這樣教學，一方面從數學知識內在的邏輯關系出發，讓學生根據原有的除法意義動手操作，促進除法意義的遷移，建構完整地認知結構；另一方面從學生認知心理出發，不能正好分完和以前的認知經驗產生了沖突，激發了學生的求知欲望。這一過程中學生的動手操作，是在為告訴確實有不能正好分完的事實而進行的實踐驗證。這種在問題驅動下的動手操作，學生積極主動，思維集中，體驗真實，有助于有余數除法含義的建構。

二、在交流比較中明確算式的含義

現代教學思想的一個重要內容，即是認為學生的錯誤不可能單純依靠正面的示范和反復的練習得到糾正，而必須是經歷一個“自我否定”的過程。同樣的，關于算式是否正確、是否優化，也必須讓學生經歷嘗試、比較、自我完善的過程。所以教學中在解決“用一道自己喜歡的算式表示出11根小棒可以擺幾個正方形”這個問題時，我先讓學生嘗試計算，一能了解學生的起點，二能呈現不同的計算方法，因為學生不同的方法是課堂寶貴的教學資源。然后通過學生的介紹、老師的評價、算理的補充，動態地理解各種算式的含義。有了學生之間的交流、個體的自我反思，當學生選擇最能體現用11根小棒擺正方形的結果的算式時，學生便不約而同的選擇了有余數的除法算式。這種選擇是學生自發的，是他們對有余數除法算式的肯定，表現了他們對有余數除法算式各部分意義的深刻理解，也是他們在交流比較反思過程中的體現。

三、在活動經驗中尋找余數的規律

教材中安排了一組有余數的除法算式，讓學生通過觀察，得出余數一定要比除數小的結論。然而這樣做，學生的發現卻只是停留在表面，他們不一定能真正理解為什么余數一定要比除數小的道理。要讓學生發現余數比除數小的道理，重要的是激活學生相關的經驗。出于這樣的考慮，教學時我出示了“一捆不知根數的小棒及算式（ ）÷4=（ ）個……（ ）根”，讓學生判斷余數可能是幾根。判斷喚起了學生的經驗，借助前面操作活動的直接經驗，學生敏銳地得出“余數一定要比4小”，并清楚地說明了理由。同樣，憑借活動經驗，學生輕而易舉的說出了擺三角形后的余數一定要比3小，擺六邊形后的余數一定要比6小，從而使學生領悟到余數和除數有著一定的關系。緊接著，我再引導學生觀察比較這幾道算式：余數和除數之間有什么關系？學生很快就發現余數不僅不能比除數大，而且也不能與除數相等。正因為有了經驗的支持，這個規律的發現已是水到渠成，并且學生對這一規律的理解是全面而深刻的。可見，對學生的知識基礎、生活經驗多一分了解，多一分研究，我們的教學也就會多一分有效。

（作者單位：浙江省永嘉縣實驗小學）endprint