行程應用題課堂也靈動

駱樂

列方程解應用題是初中代數的一個重要內容，也是學生思維方式的重要轉折階段。由于算術方法在小學數學中已經成為學生的思維定勢，對于剛進入初中的學生來說，感到較難理解和掌握。在利用一元一次方程解應用題時，學生利用代數方法解應用題存在以下三種困難：一是找不到等量關系；二是找到等量關系卻不會列方程；三是習慣于算術解法。因此，在應用題教學中，解決這三個困難便成了當務之急。此時在課堂教學中采用多種教學手段及分析方法，如列表法、圖示法等幫助學生進行分析，同時結合電腦模擬應用題所描述場景，形象直觀地幫助學生理解題目中的數量關系，從而準確而迅速地找出等量關系，進而列出方程正確解答出應用題。

行程問題在應用題中是一個重點問題，由于其具有靈活、多變、復雜等特點，往往令學生感到束手無策。針對以上存在問題，我在行程類應用題的教學中，運用電腦特有的模擬現實的動畫技術，嘗試以此突破難點，優化組合課堂教學內容，致力于視思結合，謀求學生從形象直觀的思維向抽象邏輯思維的轉變。

一、有序再現儲備知識，為有效鋪墊課堂做好準備

在應用題教學中，要復習的知識點很多，如列方程解應用題的一般步驟、行程問題的三個基本數量關系、兩個行程問題最基本的類型（相遇和追及）、兩種類型的相等關系等。要在有效的時間內將這些知識點讓學生回憶起來，可將相關的儲備知識有機整合，展示給學生，為下一節內容做好準備，同時也做好新知例題的鋪墊工作。

1.（1）甲、乙相向而行的相遇問題中，相等關系是（ ）。

（2）甲、乙同向而行的追擊問題中（甲追乙），相等關系是（ ）。

（3）甲、乙繞環形跑道跑步（甲快乙慢），

若同時同地背向而行，第一次相遇時，相等關系是（ ）。

若同時同地同向而行，第一次相遇時，相等關系是（ ）。

2.甲乙兩站相距1080km，一列快車從甲站開出，每小時行駛72km，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48km，兩車同時出發相向而行，問經過幾小時兩車相遇？

3.甲乙兩列火車從相距80km的兩站同時同向而行，甲車在后，速度為70千米/時，乙車在前面，速度為50千米/時，問經過幾小時后，甲車追到乙車？

在出示題目后，學生經過短時回憶，迅速作出解答后，點擊出示正確答案。既有利于學生復習鞏固，開拓思路，又能夠有效地利用復習時間，為下一步的教學奠定基礎。

二、拓題演變，有利于學生求異思維及創造能力的培養

一節課的時間僅僅四十分鐘，不宜出現過多的題目，可采用變式訓練，進行拓題演變，即在原題的基礎之上進行條件的添加與修改，既能避免學生頻繁地理解題目，又能很好地誘發學生繼續探索新知的興趣。在復習題2的基礎上，將問題中的“相遇”二字閃爍，引起學生的好奇心，然后將其變成“相距30千米”，變式成為以下例題：

例1：甲乙兩站相距1080km，一列快車從甲站開出，每小時行駛72km，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48km，兩車同時出發相向而行，問經過幾小時兩車相距30千米？

這道例題蘊含分類思想，有兩種情況：相遇前相距30千米和相遇后繼續行駛相距30千米。而大多數同學由于思維的局限性，只能想到第一種。這時，采用電腦的動畫技術，可將題目中的行進過程模擬現實演示一遍，并且在兩次相距30千米的機會有意停頓片刻。我在實際操作時，課堂上鴉雀無聲。在演示第二遍時，課堂氣氛頓時活躍起來。在讓學生討論幾分鐘后，基本上兩種情況學生已經認可并且分析出來，且印象深刻。再將現實用數學的方式展示出來，即出示兩種情況的示意圖及其分析表格。

三種分析方法互相結合，動畫模擬現實有助于學生體會分類情況；圖示法有助于學生找到相等關系；列表格則清晰地展示了解題過程，解答應用題的三個難點也就迎刃而解了。此時再追加演變，將復習題3的問題改成“經過幾小時兩車相距20千米？”學生便能依據已學知識獨立地解答出來，將新課所學鞏固，再次加深印象，內化成已掌握的知識。整個教學環節靈活緊湊而又符合學生的認知特點，使教授的知識靈活有機結合在一起。

三、直觀演示，找到解題突破點，提高分析問題的能力

行程問題類的環形道路問題有其獨有的特點。由于行進路線是一個圓形，學生始終弄不清楚到底是誰在追誰，因此會對此類問題產生畏懼心理。如果此時能夠利用圖示法，并借助于電腦形象直觀地展示整個運動過程，抓住環形行程類問題的實質，就會發現與在直的路線上的行進問題類似，轉化成已經解決的類型，從而輕松解決問題。

例2：甲、乙兩人繞湖競走，繞湖一周為400米，乙的速度為80米/分，甲的速度為乙的1.25倍。

（1）如果乙先走100米，然后甲在后面同向而行，甲經過幾分鐘追上乙？

（2）如果甲先走100米，然后乙與甲同向而行，乙經過幾分鐘被甲追上？

這道環形問題，第一小題較簡單。速度慢的乙先走100米，然后甲在后面追乙，其實是一道簡單的追及問題，相等關系容易找到：

甲的行程-乙的行程=100

而第二小題，由于甲的速度快而且甲又先走100米，在甲乙同時走的過程中，表面上是乙在甲的后面，而實際上是甲在追乙，這是一個最關鍵的地方，也是學生最容易卡殼的地方。這個時候借助于多媒體，清晰地展示了整個行進過程。在整個演示過程中，速度快的甲追到乙時，比乙多走了300米。通過直觀演示讓學生理解誰在追誰的難點后，該道題也就轉化成了一道追及問題。

四、觀察思考，有利于學生綜合運用知識，提高形象思維能力

行程問題中有一種類型的題目，即兩者之間的路程隱藏在條件之中，例如與火車常見的相遇時間等，這一類問題關鍵在于能夠分析出相遇或追及的初始路程是多少，再將之歸納為兩個最基本的類型：追及問題和相遇問題。

例3：有一隊長為500米的隊伍，正以2米/秒的速度前進著，現有一個緊急任務，需通訊員立即從排尾趕到排頭，并立即返回排尾。又知道通訊員的速度為3米/秒，問通訊員往返一次需要多少時間？

這道題目實際上由追及問題和相遇問題復合而來，其難點之一在于需要分兩個過程分析，即追的過程和返回的過程，其難點之二在于在兩個過程中，通訊員到底在追誰及與誰相遇。在分析清楚“往返”的意思后，首先直觀演示通訊員及隊伍的行進過程，使學生清楚，要求往返一次所需時間，必須分兩個階段考慮。然后分別按照步驟，模擬現實分步演示兩個過程：

（2）返回過程

用同樣方法考慮返回過程實際上是什么過程，與哪個對象有關，要考慮什么，其行進路線怎樣？并以同樣的列表及圖示的分析方法，學生已經能夠借助于線段圖及表格（2）進行獨立分析，并完成解答。

行程問題是應用題中的精髓，在處理行程類應用題的教學中，應結合應用題本身的特點及學生本身的認知特點，應用電腦的動感技術及交互能力，直觀地展示行進過程，學生依據觀察，并轉化成用數學的方式分析出解題要點。整個過程動畫與現實結合，以學生觀察為主、教師講解為輔，鍛煉了學生的分析能力和形象思維能力，讓學生在輕松、新奇、嚴謹的氛圍中接受知識，整個課堂充滿靈動之感。endprint

列方程解應用題是初中代數的一個重要內容，也是學生思維方式的重要轉折階段。由于算術方法在小學數學中已經成為學生的思維定勢，對于剛進入初中的學生來說，感到較難理解和掌握。在利用一元一次方程解應用題時，學生利用代數方法解應用題存在以下三種困難：一是找不到等量關系；二是找到等量關系卻不會列方程；三是習慣于算術解法。因此，在應用題教學中，解決這三個困難便成了當務之急。此時在課堂教學中采用多種教學手段及分析方法，如列表法、圖示法等幫助學生進行分析，同時結合電腦模擬應用題所描述場景，形象直觀地幫助學生理解題目中的數量關系，從而準確而迅速地找出等量關系，進而列出方程正確解答出應用題。

行程問題在應用題中是一個重點問題，由于其具有靈活、多變、復雜等特點，往往令學生感到束手無策。針對以上存在問題，我在行程類應用題的教學中，運用電腦特有的模擬現實的動畫技術，嘗試以此突破難點，優化組合課堂教學內容，致力于視思結合，謀求學生從形象直觀的思維向抽象邏輯思維的轉變。

一、有序再現儲備知識，為有效鋪墊課堂做好準備

在應用題教學中，要復習的知識點很多，如列方程解應用題的一般步驟、行程問題的三個基本數量關系、兩個行程問題最基本的類型（相遇和追及）、兩種類型的相等關系等。要在有效的時間內將這些知識點讓學生回憶起來，可將相關的儲備知識有機整合，展示給學生，為下一節內容做好準備，同時也做好新知例題的鋪墊工作。

1.（1）甲、乙相向而行的相遇問題中，相等關系是（ ）。

（2）甲、乙同向而行的追擊問題中（甲追乙），相等關系是（ ）。

（3）甲、乙繞環形跑道跑步（甲快乙慢），

若同時同地背向而行，第一次相遇時，相等關系是（ ）。

若同時同地同向而行，第一次相遇時，相等關系是（ ）。

2.甲乙兩站相距1080km，一列快車從甲站開出，每小時行駛72km，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48km，兩車同時出發相向而行，問經過幾小時兩車相遇？

3.甲乙兩列火車從相距80km的兩站同時同向而行，甲車在后，速度為70千米/時，乙車在前面，速度為50千米/時，問經過幾小時后，甲車追到乙車？

在出示題目后，學生經過短時回憶，迅速作出解答后，點擊出示正確答案。既有利于學生復習鞏固，開拓思路，又能夠有效地利用復習時間，為下一步的教學奠定基礎。

二、拓題演變，有利于學生求異思維及創造能力的培養

一節課的時間僅僅四十分鐘，不宜出現過多的題目，可采用變式訓練，進行拓題演變，即在原題的基礎之上進行條件的添加與修改，既能避免學生頻繁地理解題目，又能很好地誘發學生繼續探索新知的興趣。在復習題2的基礎上，將問題中的“相遇”二字閃爍，引起學生的好奇心，然后將其變成“相距30千米”，變式成為以下例題：

例1：甲乙兩站相距1080km，一列快車從甲站開出，每小時行駛72km，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48km，兩車同時出發相向而行，問經過幾小時兩車相距30千米？

這道例題蘊含分類思想，有兩種情況：相遇前相距30千米和相遇后繼續行駛相距30千米。而大多數同學由于思維的局限性，只能想到第一種。這時，采用電腦的動畫技術，可將題目中的行進過程模擬現實演示一遍，并且在兩次相距30千米的機會有意停頓片刻。我在實際操作時，課堂上鴉雀無聲。在演示第二遍時，課堂氣氛頓時活躍起來。在讓學生討論幾分鐘后，基本上兩種情況學生已經認可并且分析出來，且印象深刻。再將現實用數學的方式展示出來，即出示兩種情況的示意圖及其分析表格。

三種分析方法互相結合，動畫模擬現實有助于學生體會分類情況；圖示法有助于學生找到相等關系；列表格則清晰地展示了解題過程，解答應用題的三個難點也就迎刃而解了。此時再追加演變，將復習題3的問題改成“經過幾小時兩車相距20千米？”學生便能依據已學知識獨立地解答出來，將新課所學鞏固，再次加深印象，內化成已掌握的知識。整個教學環節靈活緊湊而又符合學生的認知特點，使教授的知識靈活有機結合在一起。

三、直觀演示，找到解題突破點，提高分析問題的能力

行程問題類的環形道路問題有其獨有的特點。由于行進路線是一個圓形，學生始終弄不清楚到底是誰在追誰，因此會對此類問題產生畏懼心理。如果此時能夠利用圖示法，并借助于電腦形象直觀地展示整個運動過程，抓住環形行程類問題的實質，就會發現與在直的路線上的行進問題類似，轉化成已經解決的類型，從而輕松解決問題。

例2：甲、乙兩人繞湖競走，繞湖一周為400米，乙的速度為80米/分，甲的速度為乙的1.25倍。

（1）如果乙先走100米，然后甲在后面同向而行，甲經過幾分鐘追上乙？

（2）如果甲先走100米，然后乙與甲同向而行，乙經過幾分鐘被甲追上？

這道環形問題，第一小題較簡單。速度慢的乙先走100米，然后甲在后面追乙，其實是一道簡單的追及問題，相等關系容易找到：

甲的行程-乙的行程=100

而第二小題，由于甲的速度快而且甲又先走100米，在甲乙同時走的過程中，表面上是乙在甲的后面，而實際上是甲在追乙，這是一個最關鍵的地方，也是學生最容易卡殼的地方。這個時候借助于多媒體，清晰地展示了整個行進過程。在整個演示過程中，速度快的甲追到乙時，比乙多走了300米。通過直觀演示讓學生理解誰在追誰的難點后，該道題也就轉化成了一道追及問題。

四、觀察思考，有利于學生綜合運用知識，提高形象思維能力

行程問題中有一種類型的題目，即兩者之間的路程隱藏在條件之中，例如與火車常見的相遇時間等，這一類問題關鍵在于能夠分析出相遇或追及的初始路程是多少，再將之歸納為兩個最基本的類型：追及問題和相遇問題。

例3：有一隊長為500米的隊伍，正以2米/秒的速度前進著，現有一個緊急任務，需通訊員立即從排尾趕到排頭，并立即返回排尾。又知道通訊員的速度為3米/秒，問通訊員往返一次需要多少時間？

這道題目實際上由追及問題和相遇問題復合而來，其難點之一在于需要分兩個過程分析，即追的過程和返回的過程，其難點之二在于在兩個過程中，通訊員到底在追誰及與誰相遇。在分析清楚“往返”的意思后，首先直觀演示通訊員及隊伍的行進過程，使學生清楚，要求往返一次所需時間，必須分兩個階段考慮。然后分別按照步驟，模擬現實分步演示兩個過程：

（2）返回過程

用同樣方法考慮返回過程實際上是什么過程，與哪個對象有關，要考慮什么，其行進路線怎樣？并以同樣的列表及圖示的分析方法，學生已經能夠借助于線段圖及表格（2）進行獨立分析，并完成解答。

行程問題是應用題中的精髓，在處理行程類應用題的教學中，應結合應用題本身的特點及學生本身的認知特點，應用電腦的動感技術及交互能力，直觀地展示行進過程，學生依據觀察，并轉化成用數學的方式分析出解題要點。整個過程動畫與現實結合，以學生觀察為主、教師講解為輔，鍛煉了學生的分析能力和形象思維能力，讓學生在輕松、新奇、嚴謹的氛圍中接受知識，整個課堂充滿靈動之感。endprint

列方程解應用題是初中代數的一個重要內容，也是學生思維方式的重要轉折階段。由于算術方法在小學數學中已經成為學生的思維定勢，對于剛進入初中的學生來說，感到較難理解和掌握。在利用一元一次方程解應用題時，學生利用代數方法解應用題存在以下三種困難：一是找不到等量關系；二是找到等量關系卻不會列方程；三是習慣于算術解法。因此，在應用題教學中，解決這三個困難便成了當務之急。此時在課堂教學中采用多種教學手段及分析方法，如列表法、圖示法等幫助學生進行分析，同時結合電腦模擬應用題所描述場景，形象直觀地幫助學生理解題目中的數量關系，從而準確而迅速地找出等量關系，進而列出方程正確解答出應用題。

行程問題在應用題中是一個重點問題，由于其具有靈活、多變、復雜等特點，往往令學生感到束手無策。針對以上存在問題，我在行程類應用題的教學中，運用電腦特有的模擬現實的動畫技術，嘗試以此突破難點，優化組合課堂教學內容，致力于視思結合，謀求學生從形象直觀的思維向抽象邏輯思維的轉變。

一、有序再現儲備知識，為有效鋪墊課堂做好準備

在應用題教學中，要復習的知識點很多，如列方程解應用題的一般步驟、行程問題的三個基本數量關系、兩個行程問題最基本的類型（相遇和追及）、兩種類型的相等關系等。要在有效的時間內將這些知識點讓學生回憶起來，可將相關的儲備知識有機整合，展示給學生，為下一節內容做好準備，同時也做好新知例題的鋪墊工作。

1.（1）甲、乙相向而行的相遇問題中，相等關系是（ ）。

（2）甲、乙同向而行的追擊問題中（甲追乙），相等關系是（ ）。

（3）甲、乙繞環形跑道跑步（甲快乙慢），

若同時同地背向而行，第一次相遇時，相等關系是（ ）。

若同時同地同向而行，第一次相遇時，相等關系是（ ）。

2.甲乙兩站相距1080km，一列快車從甲站開出，每小時行駛72km，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48km，兩車同時出發相向而行，問經過幾小時兩車相遇？

3.甲乙兩列火車從相距80km的兩站同時同向而行，甲車在后，速度為70千米/時，乙車在前面，速度為50千米/時，問經過幾小時后，甲車追到乙車？

在出示題目后，學生經過短時回憶，迅速作出解答后，點擊出示正確答案。既有利于學生復習鞏固，開拓思路，又能夠有效地利用復習時間，為下一步的教學奠定基礎。

二、拓題演變，有利于學生求異思維及創造能力的培養

一節課的時間僅僅四十分鐘，不宜出現過多的題目，可采用變式訓練，進行拓題演變，即在原題的基礎之上進行條件的添加與修改，既能避免學生頻繁地理解題目，又能很好地誘發學生繼續探索新知的興趣。在復習題2的基礎上，將問題中的“相遇”二字閃爍，引起學生的好奇心，然后將其變成“相距30千米”，變式成為以下例題：

例1：甲乙兩站相距1080km，一列快車從甲站開出，每小時行駛72km，一列慢車從乙站開出，每小時行駛48km，兩車同時出發相向而行，問經過幾小時兩車相距30千米？

這道例題蘊含分類思想，有兩種情況：相遇前相距30千米和相遇后繼續行駛相距30千米。而大多數同學由于思維的局限性，只能想到第一種。這時，采用電腦的動畫技術，可將題目中的行進過程模擬現實演示一遍，并且在兩次相距30千米的機會有意停頓片刻。我在實際操作時，課堂上鴉雀無聲。在演示第二遍時，課堂氣氛頓時活躍起來。在讓學生討論幾分鐘后，基本上兩種情況學生已經認可并且分析出來，且印象深刻。再將現實用數學的方式展示出來，即出示兩種情況的示意圖及其分析表格。

三種分析方法互相結合，動畫模擬現實有助于學生體會分類情況；圖示法有助于學生找到相等關系；列表格則清晰地展示了解題過程，解答應用題的三個難點也就迎刃而解了。此時再追加演變，將復習題3的問題改成“經過幾小時兩車相距20千米？”學生便能依據已學知識獨立地解答出來，將新課所學鞏固，再次加深印象，內化成已掌握的知識。整個教學環節靈活緊湊而又符合學生的認知特點，使教授的知識靈活有機結合在一起。

三、直觀演示，找到解題突破點，提高分析問題的能力

行程問題類的環形道路問題有其獨有的特點。由于行進路線是一個圓形，學生始終弄不清楚到底是誰在追誰，因此會對此類問題產生畏懼心理。如果此時能夠利用圖示法，并借助于電腦形象直觀地展示整個運動過程，抓住環形行程類問題的實質，就會發現與在直的路線上的行進問題類似，轉化成已經解決的類型，從而輕松解決問題。

例2：甲、乙兩人繞湖競走，繞湖一周為400米，乙的速度為80米/分，甲的速度為乙的1.25倍。

（1）如果乙先走100米，然后甲在后面同向而行，甲經過幾分鐘追上乙？

（2）如果甲先走100米，然后乙與甲同向而行，乙經過幾分鐘被甲追上？

這道環形問題，第一小題較簡單。速度慢的乙先走100米，然后甲在后面追乙，其實是一道簡單的追及問題，相等關系容易找到：

甲的行程-乙的行程=100

而第二小題，由于甲的速度快而且甲又先走100米，在甲乙同時走的過程中，表面上是乙在甲的后面，而實際上是甲在追乙，這是一個最關鍵的地方，也是學生最容易卡殼的地方。這個時候借助于多媒體，清晰地展示了整個行進過程。在整個演示過程中，速度快的甲追到乙時，比乙多走了300米。通過直觀演示讓學生理解誰在追誰的難點后，該道題也就轉化成了一道追及問題。

四、觀察思考，有利于學生綜合運用知識，提高形象思維能力

行程問題中有一種類型的題目，即兩者之間的路程隱藏在條件之中，例如與火車常見的相遇時間等，這一類問題關鍵在于能夠分析出相遇或追及的初始路程是多少，再將之歸納為兩個最基本的類型：追及問題和相遇問題。

例3：有一隊長為500米的隊伍，正以2米/秒的速度前進著，現有一個緊急任務，需通訊員立即從排尾趕到排頭，并立即返回排尾。又知道通訊員的速度為3米/秒，問通訊員往返一次需要多少時間？

這道題目實際上由追及問題和相遇問題復合而來，其難點之一在于需要分兩個過程分析，即追的過程和返回的過程，其難點之二在于在兩個過程中，通訊員到底在追誰及與誰相遇。在分析清楚“往返”的意思后，首先直觀演示通訊員及隊伍的行進過程，使學生清楚，要求往返一次所需時間，必須分兩個階段考慮。然后分別按照步驟，模擬現實分步演示兩個過程：

（2）返回過程

用同樣方法考慮返回過程實際上是什么過程，與哪個對象有關，要考慮什么，其行進路線怎樣？并以同樣的列表及圖示的分析方法，學生已經能夠借助于線段圖及表格（2）進行獨立分析，并完成解答。

行程問題是應用題中的精髓，在處理行程類應用題的教學中，應結合應用題本身的特點及學生本身的認知特點，應用電腦的動感技術及交互能力，直觀地展示行進過程，學生依據觀察，并轉化成用數學的方式分析出解題要點。整個過程動畫與現實結合，以學生觀察為主、教師講解為輔，鍛煉了學生的分析能力和形象思維能力，讓學生在輕松、新奇、嚴謹的氛圍中接受知識，整個課堂充滿靈動之感。endprint