基于四元數矩陣奇異值分解的木材缺陷檢測分析

戴天虹，李 琳，解 朦

(東北林業大學 機電工程學院，哈爾濱 150040)

目前，我國木材產業的基礎薄弱，且對原材料的使用率很低，這成為了我國木材產業發展的障礙[1]。充分利用科學知識和技術，深入研究對木材缺陷的檢測和識別，合理有效地提高木材原材料的利用率，是我們所要思考的話題。木材表面的缺陷在大小、形狀和顏色上都有很大的差異。彩色圖像與灰度圖像相比，其優勢不僅在于包含的信息量豐富，且更符合人們日常的視覺效果。目前彩色圖像處理在木材缺陷識別中已經得到了廣泛應用，但通常都是對彩色圖像空間分離三個圖像分量，然后對各個分量單獨進行灰度圖像的處理，再進行合成，這樣可能會對圖像本身的信息結構造成影響。而本文是建立彩色圖像的四元數模型[2]，將木材缺陷圖像的RGB三分量作為一個有機的整體，進行缺陷檢測，主要針對三種常見的木材缺陷：蟲眼、活結和死結進行分析和處理。

矩陣奇異值的分解(SVD)可以解決復雜信號處理、計算機圖學、特征值、最優化的問題、控制論和統計學的各種問題[3]。灰度二值圖像中實數矩陣的奇異值分解已經有很大的成就，但是對于彩色圖像的處理，只是針對各個分量進行分解再合成。所以四元數矩陣奇異值分解(QSVD)的提出與發展，很好地解決了彩色圖像處理的問題，而且還有很大的發展潛能。

1 四元數

1.1 四元數的發展現狀

1843年，英國數學家哈爾爾頓發現了四元數，它是繼復數之后的又一個新的數系。他傾心投入到四元數的推廣和應用上，并使得四元數在物理學和幾何學中有了廣泛的應用。于是，伴隨著四元數的誕生和發展，代數學出現了新的變革。四元數具有不可交換的性質，這意味著數學中并不只有一種代數，而是由多種代數。數學家們通過削弱、替換普通代數中的不同定律和定理來構建新的數系，并致力于四元數矩陣的研究，使之在剛體動力學和航天方面都有了新的突破和發展[4]。

1.2 四元數的基本描述及其基本性質

一個實四元數，也可以簡稱為四元數，表現形式為：

p=p0+p1i+p2j+p3k。

(1)

其中：p0,p1,p2,p3∈R，實四元數的全體稱為實四元體，即為H[5]。且i,j,k都滿足i2=k2=j2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j。

對于兩個四元數p=p0+p1i+p2j+p3k和q=q0+q1i+q2j+q3k，規定其基本代數法則如下：

p=q?p0=q0,p1=q1,p2=q2,p3=q3。

(2)

p+q?(p0+q0)+(p1+q1)i+(p2+q2)j+(p3+q3)k。

(3)

pq=(p0q0-p1q1-p2q2-p3q3)+(p0q1+q0p1+p2q3-q2p3)i+(p0q2+q0p2+p3q1-q3p1)j+(p0q3+q0p3+p1q2-q1p2)k。

(4)

1.3 四元數矩陣的性質和推理

(1)p=p0+p1i+p2j+p3k=(p0+p1i)+(p2+p3i)j,則四元數的復表示為p=c1+c2j，其中c1=p0+p1i；c2=p2+p3i，則稱

(5)

為四元數矩陣A的復表示矩陣，σ稱為四元數矩陣的復表示運算[6]。

(2)友向量。

推論：若Aσ為四元數矩陣A的復表示矩陣，α∈C2n×1，則(Aσα)v=Aσαv。

設A∈Hm×n，若存在A*A=AA*=In，則稱A為四元數酉矩陣。.

2 用四元數矩陣奇異值的分解(QSVD)實現木材缺陷檢測

2.1 木材彩色圖像的四元數模型

1996年，Pei第一次提出了彩色圖像的四元數模型。利用計算機進行處理的時候需要將衣服圖像轉化為數字形式。在RGB彩色模型空間，每個像素的顏色都是由三種基本顏(色紅、綠和藍)組成，即彩色圖像的每個像素用紅(R)、綠(G)和藍(B)三個分量表示。令彩色圖像的四元數實部為0，則彩色圖像的任意點(x,y)處的像素q(x,y)都可以作為一個純四元數：q(x,y)=r(x,y)i+g(x,y)j+b(x,y)k，其中i,j,k是虛數單位，r(x,y),g(x,y),b(x,y)表示在(x,y)處R，G，B三基色的灰度值。一幅m×n的彩色圖像即可視為一個m×n的四元數矩陣[7]。

2.2 四元數矩陣的奇異值分解與彩色圖像的特征

由于四元數不滿足乘法交換律，所以四元數的特征向量存在左右之分。通過分析得到四元數的復表示矩陣進行奇異值分解，通過對分解式量表示矩陣的分析得到四元數矩陣奇異值分解的奇異值和左右奇異值向量，并將四元數矩陣奇異值分解應用到信號處理和圖像的特征提取上[7]。用四元數矩陣奇異值分解的方法對彩色圖像進行去噪，缺陷識別。

(6)

其中，ui∈Hm,vi∈Hn分別是U和V的列向量。當A為彩色圖像的四元數矩陣時，Ii被稱為A的第i級特征圖像。其中，圖像大部分能量集中在前面較大特征值所對的特征圖像中[8]。

2.3 基于雙對角化的四元數矩陣奇異值分解

通過Householder變換將四元復矩陣轉化為雙對角矩陣，再對Householder變換轉化出的雙對角矩陣進行奇異值分解，計算出四元數矩陣的奇異值分解的特征值和左右特征向量[9]。

具體的實驗流程如圖1所示。

圖1 實驗流程圖

2.4 奇異值分析

四元數奇異值的分解與灰度圖像相類似，彩色圖像X(q)∈Qm×n的特征值分解可以表示為一系列乘積的和。

(7)

ui(q)和vi(q)分別是U(q)和V(q)的第i列的列向量，λi是Λ的對角線上的元素。r是X(q)的秩。

通過主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)可以用于木材缺陷的邊緣檢測[10]。木材彩色圖像的邊緣部分像素值變化較大，因此邊緣部分對應著高頻成分，可以通過加強表征圖像邊緣部分的高頻成分，得到木材缺陷的邊緣檢測。

根據SVD的圖像加強法[11]，也可以對QSVD進行非線性加權的分析。

(3)

若a>1，加強低頻，抑制高頻，則屬于低通濾波器；

若a<1，加強高頻，抑制低頻，則屬于高通濾波器。

修改a的值，可以去除圖像概貌的低頻成分，保留圖像邊緣的高頻成分，從而可得到圖像的邊緣檢測圖像。

3 實驗結果分析

實驗中采用的木材缺陷圖像是的蟲眼，活結和死結，如圖2所示。

圖2 原始木材彩色圖像

對QSVD的特征圖像進行主成分分析，通過對QSVD的特征圖像進行線性加權和非線性加權，可以增強圖像的缺陷檢測。以下是其不同權值的不同加權的檢測結果。

以下的圖分別為三種木材缺陷檢測在權值相同時缺前幾幅特征圖像的非線性缺陷檢測圖像。

(1)木材的蟲眼圖像在進行非線性加權后的缺陷檢測，其權值為a=0.8時，缺前2幅、缺前16幅缺、前128幅的缺陷檢測結果，如圖3所示：

(2)木材的活結圖像在進行非線性加權后的缺陷檢測，其權值為a=0.8時，缺前2幅、缺前16幅、缺前128幅的缺陷檢測結果如圖4所示：

(3)木材的死結圖像在進行非線性加權后的缺陷檢測，其權值為a=0.8時，缺前2幅、缺前16幅缺、前128幅的缺陷檢測圖。

圖3 權值a=0.8時，缺前幾幅的非線性加權的蟲眼缺陷檢測

圖4 權值a=0.8時，缺前幾幅的非線性加權的活結缺陷檢測

圖5 權值a=0.8時，缺前幾幅的非線性加權的死結缺陷檢測

當四元數的特征值是依次從大到小排列的時候，特征值越大，特征值圖像的幅值越大，所占整個圖像的能量值越高，所以，特征值圖像的能量隨著特征值的減小也逐漸減小，從而得知，前面特征圖像缺的越多，其缺陷圖像能量值越來越小。

圖3、圖4、圖5為木材缺陷的非線性加權檢測圖像。由圖可知，運用此方法檢測時，可適當地選取不同特征值圖像讓木材彩色圖像的邊緣更加清晰地展現出來。此方法完整地保留了邊緣的高頻成分，且沒有噪聲加入。檢測效果明顯更清晰更完整的呈現出了木材的缺陷圖像。

4 結 論

本文用四元數矩陣的奇異值分解來進行木材圖像的缺陷檢測。它主要是從木材缺陷圖像的RGB

空間用四元數表示，四元數的實部視為0，三個虛部分別為紅綠藍的三個通道，用四元數的矩陣表示出來。彩色特征圖像的奇異值由大到小排列，所以特征圖像的能量值依次減小。利用四元數奇異值分解的方法使得RGB圖像作為一個有機的整體進行處理，有效地避免了彩色圖像分別在三個通道分別進行編碼的缺點，從而能更完整地顯示圖像的結構。文中用非線性加權的方法對四元數矩陣奇異值進行分析，把木材的缺陷圖像更清晰、更快捷的方法完整的表現出來，相信通過不斷的研究，能更好的的把此木材圖像的缺陷檢測法應用于生產實踐。

【參 考 文 獻】

[1]方 超.木材缺陷的圖像檢測技術[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學，2010.

[2]蘇本躍，盛 敏.彩色圖像縮放的四元數插值算法[J].中國圖像圖形學報.2009，14(12)：2608-2610

[3]廖文彬.基于奇異值分解的圖像壓縮方法研究[D].成都：成都理工大學.2007.

[4]邢 燕.四元數及其在圖形圖像處理中的應用研究[D].合肥：合肥工業大學.2009.

[5]班 濤.四元數矩陣特征值計算[D].長沙：長沙理工大學.2007.

[6]李文亮.四元數矩陣[M].國防科技大學出版社，2002.6

[7]陳明剛，燕列雅.四元數矩陣奇異值分解的算法[J].中國科教創新導刊.2009(23)：25

[8]張財務，張財政.四元數分形奇異值分解方法與彩色圖像重建[J].軟件導刊.2010，9(1)：162-163

[9]陳明剛.四元矩陣的奇異值分解以及應用[M].西安建筑科技大學，2009(4)：10-13

[10]邢 燕，檀結慶.基于四元數矩陣奇異值分解的彩色圖像分解[M].計算機輔助圖形學報.2011(2)：15-16.

[11]Andrews H C，Patterson C L.Singular value decomposition and digital image processing [J].IEEE Trans.Acoustics，Speech and Signal Processing，1976，24(1)：26-53.