基于Matlab藍莓樹枝徑向受迫振動仿真研究

李志鵬，趙德金，郭艷玲

(1.東北林業大學 交通學院，哈爾濱 150040；2.東北林業大學 機電工程學院，哈爾濱 150040)

藍莓在食品、藥品、化工等方面具有巨大的市場潛力，由于藍莓成熟期短[1-4]，在我國完全依靠人工采摘，采摘耗資大、效率低，常因無法及時，收獲造成很大的損失[5-9]。為實現藍莓采摘的機械化，需要研究一種使藍莓樹枝產生振動的機械設備，實現高效、安全地采摘。需要現場實測藍莓采摘振動力大小和方向，建立藍莓果樹的振動模型，為采摘機的設計奠定基礎[7-10]。

1 藍莓果實采摘力分析

當采摘機末端執行機構——指排反復拍打藍莓樹枝時，對藍莓樹枝形成一定頻率和幅值的振動，假定經過振動傳遞，最后作用在與藍莓果實相連樹枝上的振動響應為：

f(t)=Asin(ωt+φ)·e-ξωt。

(1)

式中：A為振動幅值；ω為振動角頻率；φ為初始相位角；ξ為阻尼比。

對公式(1)求解二階導數，得：

f″(t)=A[ω2-(ξω)2]sin(ωt+φ)·e-ξωt。

(2)

由牛頓第二定律得到作用于藍莓果實上的最大慣性力為：

F慣=m0Aω2。

(3)

式中：m0藍莓果實質量。當F慣≥F采摘力時，便可使藍莓果實脫落，實現藍莓果實的采摘。

實際上，由于藍莓植株是質量連續分布的，屬于多自由度振動系統，最后作用于藍莓果實上所形成的振動響應為：

(4)

由公式(4)得到作用于藍莓果實上的最大慣性力為：

F慣=m0y″(t)=

(5)

當F慣≥F采摘力時，即可實現藍莓果實的采摘。

2 藍莓樹枝受力分析

由于藍莓屬于灌木，當藍莓樹枝受到外力時，受力分布比較復雜，可以將藍莓側枝上的采摘力分解得到軸向力和徑向力。如圖1所示，以藍莓側枝軸向為x方向，建立空間直角坐標系，同時對力進行正交分解，可得作用在藍莓側枝上的力Fx、Fy、Fz。其中，垂直于藍莓側枝上的力Fy、Fz將產生藍莓側枝的徑向振動。根據藍莓側枝上是否作用有采摘力，以及采摘力的分解分類情況，見表1。

圖1 藍莓側枝受力分析圖

表1 藍莓樹枝振動分類

表2 藍莓樹枝具體參數值

表3 藍莓側枝激振力——位移表

為了定量求解藍莓樹枝振動響應，需要實測一組藍莓樹枝的具體參數，并施加載荷測定變形量，藍莓側枝實測的具體數據見表2。藍莓側枝施加不同方向的作用力后產生的位移見表3。

根據圖1所建立的力學模型，再依據表2和表3的數據，可求解藍莓側枝在表1所歸納出振動響應函數。

3 藍莓樹枝的徑向振動公式的推導

作用在藍莓樹枝的力除了軸向分力外，還有徑向分力，在徑向分力的作用下，藍莓樹枝將產生徑向自由振動和徑向受迫振動。

圖2 藍莓樹枝徑向自由振動模型圖

通過推導分別得到藍莓側枝徑向無阻尼自由振動響應公式(6)、藍莓側枝徑向有阻尼自由振動響應公式(7)和藍莓側枝徑向有阻尼自由振動慣性力公式(8)。

(6)

(7)

(8)

式中：b0為藍莓側枝徑向無阻尼振動響應輸出的振型參數；ωn為藍莓側枝徑向無阻尼自由振動固有頻率；φn為藍莓側枝徑向無阻尼自由振動的初始相位角；ρ0為藍莓側枝密度；E為藍莓側枝彈性模量；ξ為藍莓側枝阻尼比；ωnd為藍莓側枝徑向有阻尼自由振動角頻率；φnd為藍莓側枝徑向有阻尼自由振動初始相位角；fd(z,t)為藍莓側枝徑向有阻尼自由振動輸出響應；m0為藍莓果實質量。

4 藍莓樹枝徑向有阻尼自由振動實驗仿真

采用MALTAB軟件對實測藍莓側枝軸向有阻尼自由振動公式(7)進行動態仿真，得到藍莓側枝軸向有阻尼自由振動仿真曲線如圖3所示。從圖3中可以看出，隨著振動時間的延長，藍莓樹枝徑向振幅逐漸減小；與藍莓樹枝軸向振動不同的是：藍莓樹枝徑向自由振動的振幅與藍莓側枝的位置有關，大約在藍莓側枝中間位置振動幅度比較大，而在藍莓側枝根部附近，振幅很小。

圖3 藍莓樹枝徑向自由振動動態仿真曲線

對式(8)采用MATLAB軟件進行動態仿真，得到藍莓側枝徑向有阻尼自由振動慣性力動態變化曲線，如圖4所示。可以看出與藍莓側枝軸向有阻尼自由振動慣性力動態變化曲線相比較，藍莓側枝徑向有阻尼自由振動慣性力動態變化曲線的慣性力衰減速度要慢一些，這有利于藍莓果實的采摘。隨著振動時間的延長，慣性力逐漸減小，在藍莓側枝的中部慣性力大于藍莓果實結合力，能夠實現對藍莓的采摘，但在其他位置，慣性力均小于藍莓果實結合力，不能實現對藍莓果實的采摘，綜合比較藍莓側枝徑向自由振動在一定條件下能夠實現對藍莓果實的采摘，但采摘效果并不理想。

圖4 藍莓樹枝徑向有阻尼自由振動慣性力動態曲線

5 藍莓樹枝徑向受迫振動慣性力及受迫振動實驗仿真

由于阻尼系數的存在，隨著振動時間的延長，藍莓樹枝的徑向自由振動會逐步消失，但藍莓樹枝的徑向受迫振動不會衰減，不隨振動時間而改變，下面分析藍莓樹枝徑向受迫振動。

如前所述，根據振動學理論，藍莓側枝徑向受迫振動的解由兩部分組成，藍莓側枝的徑向自由振動和藍莓側枝徑向受迫振動穩態解。由于藍莓側枝的徑向自由振動解已經求出，下面求解藍莓側枝徑向受迫振動穩態解。

當樹枝承受垂直分力F0sinωt時，根據藍莓樹枝徑向振動建立力學模型和力學平衡方程，推倒藍莓樹枝徑向受迫振動微分方程：

(9)

結合藍莓側枝徑向有阻尼自由振動公式(8)和藍莓側枝徑向受迫振動穩態解，可得出藍莓側枝徑向受迫振動輸出解公式(10)。為推導得出藍莓樹枝徑向受迫振動慣性力公式，首先對藍莓側枝徑向受迫振動公式(10)對時間t求2階導數得公式(11)。根據慣性力公式(5)得，藍莓樹枝徑向自由振動有阻尼振動響應慣性力公式(12)。

(10)

(11)

(12)

采用MATLAB軟件，仿真藍莓側枝徑向受迫振動動態變化曲線，如圖5所示。從圖5中可以看出，藍莓側枝各點的振幅呈不同拋物線分布，并且隨著振動時間的延續，藍莓側枝各點的振幅逐漸減小趨于零。瞬態解居于主導地位，穩態解的振動幅度很小。

采用MATLAB軟件，對藍莓側枝徑向受迫振動慣性力進行動態仿真得到動態變化曲線圖，如圖6所示。從圖6中可以看出，藍莓側枝各點所產生的慣性力是不同的，隨著振動時間的推移，各點的慣性力呈周期性變化；而且隨著振動時間的延長，藍莓側枝所產生的慣性力是不斷衰減的，最后趨于穩態振動。

圖5 藍莓樹枝徑向受迫振動仿真曲線

圖6 藍莓樹枝徑向受迫振動慣性力動態曲線

6 結 論

對比分析藍莓側枝徑向受迫振動慣性力曲線與藍莓側枝徑向自由振動慣性力曲線，兩者變化趨勢相同，但力的大小不同。藍莓側枝徑向受迫振動的慣性力在達到穩定振動狀態后，慣性力大于藍莓果實結合力，能夠實現藍莓采摘，而藍莓側枝徑向自由振動慣性力小于藍莓果實結合力，很難實現藍莓采摘。

根據藍莓植株實際生長情況，分析藍莓果實采摘機理，得出在藍莓果實采摘過程中，主枝和側枝的實際振動狀態是直接影響藍莓果實采摘的主要因素。通過對藍莓側枝的各個參數進行測量分析，建立藍莓側枝振動物理模型。依據實際受力振動分類，分別進行受力分析，得出每一類振動所對應的數學模型。

根據測量數據，得出實測藍莓樹枝振動物理模

型的振動響應輸出解，采用MATLAB軟件，進行受力仿真分析，得到如下結論：徑向振動的采摘效果優于軸向振動的采摘效果，所以在設計采摘機時，應使采摘機產生徑向采摘力；受迫振動的采摘效果優于自由振動，在設計采摘機時應盡可能的降低采摘機行走速度，延長采摘時間；激振力頻率是影響采摘機采摘效果的主要因素，在確定采摘策略時，應優先考慮提高采摘機工作頻率，而不是振動幅值。

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