地震總輸入能量譜峰值估計

李亞楠，王國新

(大連理工大學建設工程學部工程抗震研究所，遼寧大連116024)

隨著結構抗震理論研究的深入，目前對結構地震破壞比較一致的看法是:基于最大位移反應首次超越和塑性累積損傷的雙重破壞準則比較符合震害和試驗實際。基于能量的抗震設計理論把地震作用看成是一種能量的傳遞、轉化與耗散的過程，該方法概念清晰，形式簡單，能夠同時反映出地震動強度、頻譜和持時方面的特征，因此正日益朝著實用化設計的方向發展。

基于能量抗震設計方法的總體思路是使結構的耗能能力大于地震波輸入的能量。結構耗能能力的計算實際上是滯回耗能的計算，目前大多采用簡化方法，如推覆分析算法、模態分析算法等［1-3］。而在地震輸入能方面，一部分研究致力于建立瞬時輸入能與最大位移的關系［4-6］，試圖通過采用能量和位移雙參數對結構進行抗震設計與評估;另一部分研究則專注于地震動輸入能的估計和輸入能譜的建立上，希望以單自由度(single degree of freedom，SDOF)體系的地震輸入能來表示多自由度(multi-degree of freedom，MDOF)體系的地震輸入能［7-11］。然而，對于指定的結構，地震動的特性是影響地震輸入能量的主要因素，一些學者也試圖在地震動與輸入能之間建立直接的簡化關系。目前已有的研究表明，對于SDOF體系的地震輸入能，線性系統與非線性系統的差別不大［12-13］，對特定的地震動過程而言，輸入能是一個相對穩定的量［14-15］，這說明該地震動對不同周期結構的輸入能最大值也是個相對穩定的量。因此，在地震動過程中，有可能存在某種與能量譜峰值相關性很強的特定參數。

雖然之前研究人員從場地條件和結構特性等方面對能量譜的影響因素做了許多研究，但研究并不深入。本文在已有研究滯回模型對SDOF體系輸入能影響時發現，當選用若干條持時大致相當、且將峰值加速度(peak ground acceleration，PGA)統一調整到400 cm/s2后的地震時程來計算地震動能量時，所得到的這些地震動能量譜曲線的峰值有較大的差別。為深入研究造成此現象的原因，并進一步分析和探究能量譜與地震動輸入之間的關系，本文從傅里葉幅值譜的角度，探究了地震動輸入能量譜峰值與地震波頻譜之間的關系，用以建立簡化的計算方法。通過選取其他未參與統計的地震時程驗證了本文提出方法的有效性。

1 問題的描述

1.1 能量方法基本概念

SDOF體系在地震作用下的運動學方程為

式中:m是SDOF體系的質量;c為體系的粘滯阻尼系數;k是體系的剛度，對彈性SDOF體系，k是常數，對彈塑性SDOF體系，k由滯回模型定義;x分別是體系相對于地面的位移、速度和加速度;為地面運動的加速度。對式(1)用相對位移x積分，可得到結構的相對能量方程:

也可表示為

為了消除結構質量的影響，可令

即

式中:VI稱為總輸入能的等價速度。一般情況下均以VI表示能量值大小。在進行能量求解時，取適當的時間步長Δt，對式(2)進行微分方程逐步積分，可得到各時刻結構反應的結果。以結構初始周期作為橫坐標，各周期下時程中的最大輸入能值作為縱坐標，就得到輸入能譜。

1.2 能量譜計算

為減少由于不同地震間的差別對分析結果的影響，本文從美國西部強震數據庫中選取了一次地震中(面波震級MS=8.1，1985年9月19日)在15個臺站記錄到的29條水平方向地震時程作為分析樣本，這些地震動時程記錄均是在Ⅰ類自由場地上(詳細信息見表1)所獲取。為區分持時、PGA與其他主要因素對結果的影響，本文所選用的這29條地震動持時均在40～60 s。同時，將29條地震動的PGA統一調整為400 cm/s2。雖然基于能量的抗震設計方法不同于基于力與位移方法的重要一點是加入了持時的影響，然而持時主要影響滯回耗能而對總輸入能影響較小［16］，可近似認為排除了持時對能量譜的影響。根據上節闡述的能量方程，用MATLAB編制了計算彈塑性SDOF體系能量的程序，取結構的滯回模型為雙線型，第二剛度系數取0.1，阻尼比取 0.05，用VI譜方式來表示能量譜［15］。

圖1 12條地震動時程VI譜Fig.1 VIspectrum of 12 records

為了圖示清晰便于判別，圖1是輸入能峰值前6條和后6條共12條地震動的VI譜曲線。可以明顯看出，在相同的場地條件，且PGA相同、持時相差不大的情況下，VI譜出現了巨大差異。其他未繪出的地震動VI譜曲線與這12條VI譜的變化趨勢相同，但分布均位于圖1的中部。本文認為，該差異與地震波峰值速度(peak ground velocity，PGV)和峰值加速度比值(PGV/PGA)有較大的相關性，與震中距的關系并不突出。

表1 29條地震記錄Table 1 29 Earthquake records

2 VI譜差異的探討

2.1 地震波傅里葉加速度幅值譜

由上節可以看出，在一次地震中，在相同場地條件但不同臺站記錄的地震動在PGA相同、持時相當的情況下，VI譜曲線在一定頻段出現了數倍的差異，這種現象比較常見。為深入探究這一現象的產生原因，本研究首先采用MATLAB對各地震動時程做離散傅里葉變換，然后取變換后復數實部和虛部的平方和作為幅值，得到傅里葉加速度幅值譜(以下簡稱幅值譜)。為了更進一步清楚地對比和觀察，這里仍采用上節的12條地震動時程，并對每條時程進行線性插值，使采樣間隔為0.005 s。根據奈奎斯特采樣頻率，在200 Hz的采樣頻率下，可以記錄到的最大頻率為100 Hz。因此，計算每條地震動從0～100 Hz的幅值譜，計算結果如圖2所示。從圖2中可以看出，前6條地震動的頻率比較集中且主要在低頻處，而且幅值譜較大。后6條地震動的頻率分布則較分散，且幅值譜較小。

圖2 12條地震波的傅里葉幅值譜Fig.2 Fourier spectrum of 12 records

2.2 VI譜峰值參數與公式的建立

從圖2可以推斷VI譜極值與幅值譜的低頻集中程度和幅值大小有較強的相關性。經過多次的嘗試，本文最終選定地震加速度時程的幅值譜集中度乘以幅值譜最大值作為衡量VI譜的參數。計算公式如下

式中:α0-f表示VI譜峰值的參數;P0-f是0～1的數，代表了幅值譜的集中度;M是0～100 Hz的幅值譜最大值;S0-f表示幅值譜在0～fHz的譜值和;T表示幅值譜在0～100 Hz的譜值總和。

f取不同的值，可以得到不同的α值。為保證分析結果的穩定性和可靠性，本文在上節所用的29條地震時程的基礎上，又增加I類場地條件下自由場地的40條共計69條地震時程作為基礎數據庫。表2列出了用選取的69條地震時程計算得到的VI譜極值VImax和不同f下的α0-f的Pearson相關性系數。當取幅值譜0～10 Hz區間上的值作為計算參數時，α與VImax具有最大相關性。

圖3所示為VImax和α0-10的擬合關系圖。圖中顯示隨α0-10的增加，VImax呈現出線性增長趨勢。采用線性擬合，可以得到下式:

式中，VImax的單位為m/s。

表2 α0-f與VI max譜峰值Pearson相關系數Table 2 Pearson correlation coefficient of α0-fand VI max

圖3 VImax-α0-10曲線Fig.3 Fitting relationship of VImaxand α0－10

3 方法驗證

為了驗證本文提出的參數的有效性，從強震數據庫中另外選出9條來自不同國家和地區、具有明顯區域性特征的地震動時程，用傳統的能量計算方法以及本文建議的簡化模型(式(7))分別估計其VI譜峰值。

表3 VI譜峰值時程計算與簡化計算的比較Table 3 Comparison of peak value of VIspectrum using dynamic analysis versus simplified method

這里所有地震時程均調整為采樣間隔為0.005 s且PGA為400 cm/s2。在任意 PGA下的VI譜峰值可以根據相對能量方程進行換算得出，即能量峰值增大倍數為PGA增大倍數的平方。表3給出了9條地震動VI譜峰值時程計算結果與簡化計算結果，可以看出，本文建議的方法具有與時程計算結果相同的趨勢，并且可忽略持時影響，即使在地震動區域性特征突出的情況下，可以簡便地估計出地震動VI譜峰值。相對于方法的計算效率，該估計量的誤差較小，而且結果也偏于安全。

4 結論

通過SDOF體系建立能量譜對基于能量的抗震設計方法具有深遠的意義。本文總結了過去研究過程中的現象和疑問，從地震波頻譜分布的角度觀察了影響能量譜峰值的主要因素。該方法避免了復雜的時程計算，為進一步研究基于能量概念的抗震設計提供參考。研究結果可以得出以下結論:

1)對于指定結構，經歷相同場地條件、相同PGA和相同持時的地震波后，得到的能量譜可能有巨大差異。是抗震設計挑選地震波時，應格外注意的問題。

2)地震波傅里葉幅值譜的低頻集中度越高，峰值越大，得到的VI譜峰值越大。說明了地震波頻譜特性的重要性。

3)地震波VI譜峰值參數中，α0-10和VI譜峰值具有最大相關性。該關聯性呈線性關系，可以方便的計算出VI譜峰值，結果偏于安全。

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