帶交易費用和負債的均值-方差投資策略選擇

楊 鵬，劉 琦，王獻鋒

帶交易費用和負債的均值-方差投資策略選擇

楊 鵬，劉 琦，王獻鋒*

(西京學院應用理學系, 中國 西安 710123)

研究了均值-方差準則下，帶交易費用和負債的投資組合選擇問題．研究目標是，在終值財富的均值等于d的限制下，使終值財富的方差最小，即均值-方差組合選擇問題．通過使用線性二次控制的理論解決了該問題，獲得了最優的投資策略和有效邊界的顯式解．并通過對所得結果進行進一步分析及實例，在經濟上給出了合理的解釋．通過本文的研究，可以指導投資者在具有負債時選擇恰當的投資策略，使自身獲得一定的財富而面臨的風險最小．

均值-方差準則; 線性二次控制;交易費用;最優策略;有效邊界

自從文獻[1]對于單時期均值-方差的有效投資組合開展研究以來，許多學者都研究了該問題．均值-方差問題的目標是，在終值財富的均值給定時使其方差最小．近年來，由于人們對經濟問題的持續關注，均值-方差投資組合選擇問題已成為數理金融研究的熱點問題．文獻[2]研究了動態多個時代的均值-方差組合問題, 文獻[3]在隨機LQ的框架下研究了連續時間均值-方差組合問題，通過隨機LQ得到了最優策略和有效邊界．文獻[4]研究了馬爾可夫調制市場上具有資產負債的均值-方差組合問題，獲得了最優策略和有效邊界．文獻[5]研究了基于養老金的最優投資的均值-方差問題，應用隨機控制理論求得了最優策略和值函數的顯式解.類似的文獻[6]也應用隨機控制論研究了養老金投資問題.另外，隨機控制理論也被廣泛用來研究最優投資問題[7-11].

我們知道交易是需要費用的，尤其是頻繁交易時，交易費用更大．因此在風險投資時，應考慮交易費用，考慮交易費用才更符合實際情況．文獻[12]在保險市場上進行投資時，假設交易時帶有交易費用．他們通過使用文獻[13]中的結論，使用HJB方程的方法把問題適當轉化，得到了最優策略和值函數的顯式解．

基于上述文獻的工作，本文致力于研究具有交易費用的均值-方差投資組合選擇問題．本文考慮交易費用的形式和文獻[12]一樣，但是得到最優投資策略的方法不再使用HJB方程的方法，而是使用了線性二次控制，這一解決均值-方差組合選擇問題的通用方法．另外，在研究中本文還考慮了投資者具有負債，最終得到了最優的投資策略和有效邊界的顯式解，并通過對所得結果進行進一步分析及實例，在經濟上給出了合理的解釋．同時分析了負債對最優投資策略和有效邊界的影響．通過本文的研究，可以指導投資者在具有負債時選擇恰當的投資策略，使自身獲得一定的財富而面臨的風險最小．

1 模型和均值-方差組合選擇問題

1.1 模型

為了使數學上更為嚴格，假設所有的隨機過程和隨機變量都定義在完備的概率空間(Ω,F,P)上，并且有一滿足通常條件的σ-流{Ft,t≥0}，即Ft右連續且P完備．考慮一個金融市場，由n+1個金融資產組成，其中一個是無風險資產(債券)，時刻t的價格{Bt,t≥0}滿足下面的方程

dBt=rBtdt，

其中r>0為無風險利率．n個風險資產(股票)，在時刻t時的價格Si(t)滿足下面的隨機微分方程

假設投資者在時刻t=0有初始財富x>0與初始負債l(l∈R), 那么投資者在時刻t=0有凈初始財富x0=x-l.記Lt為時刻t投資者的累積負債, 假設Lt滿足如下的隨機微分方程

dLt=Lt[udt+vρdW(t)]，L0=l0>0.

dXt=[rXt+πb(t)B1+πs(t)B2-u]dt+[(πb(t)+πs(t))DT-vρ]dW(t)，

(1)

其中

B1=(r1-r-θb1,…,rn-r-θbn)T,B2=(r1+r-θs1,…,rn+r-θsn)T，D=(σij)n×n．

定義1一個策略π(·)=(πb(·),πs(·))稱為可行的，如果π(·)關于流{Ft}是可料的，且對于每個t≥0過程π(·)滿足下面的條件

(3) 隨機微分方程(1)對于{π(t),t≥0}有唯一的強解，

所有可行的策略記為∏.

1.2 均值-方差組合選擇問題

記XT為終值時刻T時投資者的財富，保投資者的目的是，在所有可行策略中找到一個策略π(·)，使得EXT=k，同時使

VarXT=E[XT-EXT]2=E[XT-k]2

最小．該問題稱為均值-方差組合選擇問題，即如下的描述

定義2均值-方差組合選擇問題是以參數k∈R為限制的隨機最優化問題，也即

(2)

引理1(2)式定義的均值-方差組合選擇問題，對每一個k∈R都是可行的當且僅當ri-r-θbi>0和ri+r-θsi>0，i=1,2,…,n．

證引理的證明和文獻[3]相似，因此忽略證明．

有了上述可行性的保證，下面把(2)式定義的均值-方差組合選擇問題進行適當的轉化．通過應用拉格朗日乘子技巧，上述問題可轉化為下面的二次控制問題

J(x0,π(·),λ)=E{[XT-k]2+2λ[XT-k]}=E[XT+λ-k].

因此，目標是求下面無限制的最優化問題

minJ(x0,π(·),λ).

(3)

在下一節里，我們將求解問題(3)．

2 無限制性問題的解

記

(4)

(5)

引理2f(t)滿足下面的常微分方程

f′(t)+l1f(t)=0,f(T)=1.

(6)

h(t)滿足下面的常微分方程

h′(t)-rh+l2=0,h(T)=0,

(7)

則：

f(t)=el1(T-t),

(8)

(9)

證解常微分方程(6)，(7)即可得到 (8)、(9)．求解過程略．

定理1問題(3)的最優反饋策略為

(10)

(11)

相應的最優值函數為

(12)

證令π(·)是任意一個可行的控制策略，并且X(·,π)是(1)的狀態軌道．對f(t)[x+(λ-k)e-r(T-t)+h(t)]2應用Ito公式，并應用(6)和(7)，得到

d{f(t)[Xt+(λ-k)e-r(T-t)+h(t)]2}={f′(t)[Xt+(λ-k)e-r(T-t)+h(t)]2+

2f(t)[Xt+(λ-k)e-r(T-t)+h(t)]h′(t)+2f(t)[Xt+(λ-k)e-r(T-t)+h(t)]r(λ-k)e-r(T-t)+

h(t)][(πb(t)+πs(t))DT-vρ]dW(t).

由(8)知f(t)>0．因此，最優反饋策略、最優值函數分別滿足(10),(11),(12)．

3 最優策略有和效邊界

在這一節中，通過上一節無限制問題的求解，給出(2)定義的均值-方差問題的最優策略和有效邊界．

(13)

(14)

有效邊界為

(15)

其中λ*滿足下式

(16)

證根據對偶原理，我們得到

證由式(15)可得到上式．

推論3最小最終方差為

(17)

相應的期望終值財富為

(18)

(19)

(20)

證(15)對k求導數即可得出結論．證明略．

4 數值計算及經濟分析

為了解釋本文所得結論，本節給出一個數值計算的實例計算上一節得到的最優投資策略和有效邊界，并分析負債對最優投資策略和有效邊界影響．

1) 負債的參數v=1，u=0,0.01,0.05,

表1 v=1時最優投資策略和有效邊界的取值

表2 u=0.05時最優投資策略和有效邊界的取值

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(編輯 胡文杰)

Mean-Variance Portfolio Selection with Transaction Costs and Liability

YANGPeng,LIUQi,WANGXian-feng*

(Department of Applied Science, Xijing University, Xi’an 710123, China)

Investment portfolio selection problem with transaction costs and liability is considered under mean-variance criterion. The main goal is to minimize the variance of the terminal wealth under the constraint that terminal wealth is equivalent tod, namely, the mean-variance portfolio selection problem. Applying linear-quadratic theory, optimal investment strategies as well as the mean-variance valid frontier are then analytically derived. Meanwhile, according to the further analysis and practical example, an explanation in economy is given. This research could be adopted by investors with liability to select the appropriate investment strategy for more wealth while minimizing the risk.

mean-variance criterion; linear-quadratic control; transaction costs; optimal strategies; efficient frontier

2013-03-31

國家自然科學基金資助項目 (11271375)；西京學院校級科研資助項目(XJ130246)

*

,E-mail：yangpeng511@163.com

F830,O211.3

A

1000-2537(2014)06-0073-06