讓概念教學中的提問更有效

馮丹丹

【設計說明】

本節課內容是《反比例函數》起始課，屬于一節概念新授課，教材為蘇教版《數學》八年級下冊第11章反比例函數第一課時。本課教材從已有的小學知識“兩個量的乘積一定，那么這兩個量成反比例”出發，設問：成反比例的兩個量之間的關系，怎么用函數表達式來描述？于是引出操作題：南京與上海相距約300km，一輛汽車從南京出發，以速度v（km/h）開往上海，全程所用時間t（h）。寫出t、v的關系式，并填寫下表：

隨著速度的變化，全程所用時間發生怎樣的變化？時間t是速度v的函數嗎？

教材給出了一組對應關系，從對應關系的表達式找共同特征得出反比例函數的定義。

我在設計時考慮，既不能脫離教材，又要結合實際，因此對操作題進行改編作為課題情境導入。本節課是學生在學習了一次函數以及特例正比例函數后，又一次進入函數領域對函數再認識的過程，學生的學習既區別于一次函數，又建立在一次函數的學習基礎之上，因此起始課對函數概念的回顧就很有必要，在教學方法上可以采取回憶得出一次函數的過程的方法。但是用什么樣的方式讓學生能回憶起函數的抽象概念并能總結出反比例函數的概念，是筆者在教學設計時遇到的最大困難。很顯然教師直接給出定義并不合適，這樣不能讓學生真正體會反比例函數的意義。我認為，本節課的重點是進行抽象反比例函數的概念的教學，進而理解反比例函數的概念，難點同樣是理解反比例函數的概念。

【初稿設計】

介于上述考慮，筆者首先給出教學設計初稿。

情境導入1：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，據了解走滬寧高速平均速度為100km/h，行駛的路程s（km）隨時間t（h）的變化而變化。

問題1：此題中常量是什么？變量是什么？

問題2：變量s與時間t的關系式是什么？s是t的函數。（s=100t）

問題3：回憶什么是函數？

情境導入2：在出發前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量y（升）隨行駛里程x（公里）的變化而變化，y與x的函數關系式是什么？

情境導入3：從蘇州到南京，汽車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化，t與v的函數關系式是什么？

結合教材實例列出4個函數關系式。

思考：上述函數表達式中哪些是已學的函數，分別是什么函數？一般式是什么？

討論：剩下的幾個函數有什么共同特征？（此處安排學生討論，教師總結學生討論結果）

至此，得出課題反比例函數。在得出課題后與學生一起總結反比例函數的一般式以及完整定義。（中間略）在一些概念習題后講解了待定系數法，并做相應練習，最后總結。

針對初稿設計，我試上了一節課，通過學生表現發現這樣的設計存在很大的問題。

（1）由于沒有任何鋪墊，在給出“情境導入1”中的一個正比例函數s=100t就讓學生回答什么是函數，學生基本一無所知，一來因為函數知識的學習已經過了一個學期，間隔較長。二來函數概念本來就過于抽象，與學生學情不符，此處耗時較長。

（2）討論問題問學生剩下幾個函數有什么共同特征？問題太大，沒有針對性，學生不知道從哪個方面來回答，給出的答案與教師預設相去較遠，遠離了本課教學目標。教師解釋也很困難。

（3）習題部分過多討論了待定系數法，題目偏難，學生做起來很困難。導致最后重點偏離，難點沒有突破。

【改進后的設計】

經過了并不成功的試上課后，聽取了聽課教師的意見，我又仔細閱讀了教材，中間聽了一節本校小學部六年級的《認識反比例關系》的隨堂課，深受啟發。小學教師更注重對學生提問的引導，將問題分得很細，很有針對性，一節課解決的問題不多，但是基本上學生在上完一節課后能對本課的重點有一個深刻的印象。同時也發現了中小學教材在銜接上存在一些不同步，導致學生進入初中在學習函數關系的時候已經對比例關系有所淡忘。因此我在重新設計的時候有了新的想法，將小學的比例關系融合到本課的概念的抽象部分，試圖通過正反比例關系來認識正反比例函數，在改進后的備課中也更好地使用了教材上的表格操作題，對教學設計作了如下的修改。

情境導入：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化。

問題1：這里有幾個量？常量是什么？變量是什么？

問題2：你能用含有v的代數式表示t嗎？（t=）

問題3：利用問題2中的關系式補全下表中的t（表格中給出兩個t的數值是為了不讓學生在計算上浪費時間）。

問題4：隨著平均速度v的增加，全程所用時間t 發生了怎樣的變化？

問題5：給定變量v的值，t都有唯一確定的值與它對應嗎？

問題6：時間t是速度v的函數嗎?為什么？

問題7：時間t是速度v的一次函數嗎？

通過一個情境和一組問題，復習函數概念，區別于設計初稿中由一個關系式直接問函數概念，此處把問題細化，每個問題學生都很容易回答，設置問題串的目的主要為問題6做鋪墊，在問題中感受函數定義中的三個要素：兩個變量；一種變化關系；對一個變量，另一個變量有唯一確定的值與之對應。

情境引入后，緊接著再給出4個生活實例要求學生列出函數關系式，其中兩題承接情境引入形成一個完整的情境設計，分別列出一個一次函數和一個一次函數特例正比例函數。另兩題均為反比例函數，一題是以圖表形式呈現，避免函數表現形式過于單一，一題是利用書本例子，使得函數表達式中的k出現負值，而更完整。

通過5個函數表達式的展示，請學生找出已學過的函數，并寫出一般式。然后觀察剩下的三個表達式，請學生先從形式上找它們的共同點并結合已學過的函數的一般式總結這些新的函數的一般式。通過展示的一次函數和正比例函數的一般式學生更容易通過對比寫出新的一般式。

接著留下正比例函數和新寫的函數一般式，讓學生回憶小學學過的兩個量之間的比例關系，說出正比例函數中兩個變量成什么比例關系，并且成這樣的比例關系的兩個量之間什么是一定的。通過填空的形式學生更易回答。緊接著問新的函數關系的兩個變量什么是一定的，成什么比例。學生很容易回答上來。這樣的設計既回顧了小學比例關系，又與本課密切相關，抽象解釋出概念的過程，自然又有效。

在得出概念及符號表達式后，總結注意點，并結合式子變形，得出反比例函數的另外兩個表現形式。然后給出例1：下列函數中，哪些是y關于x的反比例函數？如果是，比例系數k是多少？

（1）y= （2）y=- （3）y=1-x（4）y=-（5）y=（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

此題設計中預計學生會在判斷（2）的比例系數k上出現問題，另外可能會在（8）的判斷中忘記k≠0的要求而判斷錯誤。因此在講解此題的時候可以考慮由學生獨立完成，學生逐一回答，并建議學生在判斷是否反比例函數的時候盡量往三個表達式的不同形式上靠，在學生出現錯誤的時候及時糾正。

訓練可以讓學生對反比例函數概念的判斷、對函數表達式的幾種不同形式有更深刻的印象。

在（8）出現錯誤時可引出：

如果函數y=為反比例函數，求函數的解析式。隨后增加學生練習：當m取什么值時，函數y=（m+1）xm-2是反比例函數？

例2以教師講解為主，板書規范書寫格式。鞏固練習讓學生上黑板板書。之后設計4個簡單的課堂反饋練習，目的是實時檢測課堂效果。

在練習了較多數學題目后，重新回到生活中的數學，給出一個實例：要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數么？（此題的判斷需要學生對列出的式子進行簡單的變形變為反比例函數的一般形式來判斷，從中希望能讓學生再一次深化理解：當兩個變量的乘積是一定不為零的常數時是反比例函數。）

實例后增加兩個變形：1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數么？2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a（m）的反比例函數么？通過反例進一步讓學生學會判斷一個函數是否是反比例函數。

然后可以讓學生根據生活實例去編題，讓同伴判斷是否是反比例函數，既可以加深學生對反比例函數概念的理解，又可以在學生學到疲倦的時候再次活躍課堂氣氛。

最后引導學生總結本節課所學內容，并留下課后思考題，做到將本節課的知識遷移到別的學科，注重學科之間的結合。我改進后的設計去掉了待定系數法，使得本課的目標更明確，放棄了難題的訓練，更注重對于抽象概念的教學過程，舍得在抽象概念教學過程中花時間，讓更多學生參與其中，避免了教師教的痕跡，設計問題更具針對性，注重啟發學生思考。情境設計雖貼近生活實際，但密切聯系數學問題，避免了學生回答脫離預設想法。

【課例呈現】

一、教學目標

1.理解反比例函數的概念。

2.能根據實際問題的條件確定反比例函數的表達式。

3.會判斷一個給定的函數是否為反比例函數。

4.通過探索現實生活中數量間的反比例關系，體會認識反比例函數是刻畫現實世界特定數量關系的一種數學模型，進一步深化理解函數的概念。

二、教學重點難點

重點是經過抽象反比例函數概念的教學過程，理解反比例函數的概念。

難點是領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念。

三、教學過程

（一）創設情境，激發熱情

【問題1】師：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，路上遇到一些問題，正好與本課所學內容相關，同學們愿意幫助老師一起來解決這些問題么？

生（眾）：愿意。

師：那就讓我們一起開始一段短暫的旅行吧。

PPT顯示引例：接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表上顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化。

師：這里有幾個量？常量是什么？變量是什么？

生1：3個，常量是200，變量是時間t和速度v。

師：你能用含有v的代數式表示t嗎？

生2：t=。

師：非常好，那么請同學順著這位同學的回答來幫老師填寫完整下表。

學生完成，生3回答。

師：隨著平均速度v的增加，全程所用時間t發生了怎樣的變化？

生4：速度v變大，時間t變小（小學里對反比例關系的變量間的關系表述，這里沒有刻意去研究k的符號問題，僅僅讓學生有一種反比的感受）。

師：給定變量v的值，變量t都有唯一確定的值與它對應嗎？

生（眾）：是的。

師：時間t是速度v的函數嗎？為什么？（特意在上個問題的引導下去問函數的抽象定義，為了使得學生體會一一對應的關系）

生5：是的，因為t是隨著v的變化而變化的，并且它們之間是一一對應的關系。（學生雖然不能完整敘述定義，但是基本能說出幾個要點。）

教師展示完整答案：因為在這個變化中，有兩個變量v和t，給定變量v的值，變量t都有唯一確定的值與它對應，所以t是v的函數。

（因為有一組問題的引導，生5回答的時候答出了兩個變量之間滿足函數關系必須要有一一對應的關系。這也是函數概念中比較抽象、學生易忘記的地方。教師在學生回答完后展示完整答案并強調注意點是有必要的，視覺的感受會比聽覺更直接更深刻。）

師：時間t是速度v的一次函數嗎?

生6：不是，因為不符合一次函數的表達式。

師：很好，我們的現實生活中存在許許多多的變量，而函數是刻畫變量之間關系的一種有效數學模型，下面請同學幫老師再來寫寫生活中不同的函數關系式。（此時并沒有著急提問這是什么函數？而是另外給出一系列的生活場景，讓學生進一步感受函數在生活中的意義。）

【問題2】用函數關系式表示下列問題中變量之間的關系。

（1）在出發之前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，寫出油箱中剩余的油量Q（升）與行駛路程x（千米）的函數關系式。

（2）油每升7.6元，實際加油費用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化，寫出y與x的函數關系式。

（3）把一張百元人民幣兌換成零錢，如果手邊有10元、5元、20元等不同面值的零錢，兌換的張數y隨面額x的變化而變化，寫出y與x的函數關系式。

（4）實數m與n的積為-150，寫出m與n的函數關系式。

（二）合作交流，探求新知

師：t=、y=7.6x、Q=50-0.1x、y=、m=中哪些是我們學過的函數？它們是什么函數？

生7：y=7.6x、Q=50-0.1x是我們學過的一次函數。

師追問：一次函數的表達式是什么？

生7：y=kx+b（k為常數，k≠0）。

師：y=7.6x還被稱作什么函數？

生7：正比例函數。

師：正比例函數的一般式是什么呢？

生7：y=kx+b（k為常數，k≠0）。

師：很好，正比例函數是一次函數y=kx+b當b=0時的特殊形式。那么請同學們觀察剩下的幾個函數表達式，從形式上看有什么共同特征？可以與你的同伴討論一下。

眾生討論，教師參與。（在給出了一次函數及特殊情況正比例函數的表達式后，讓學生類比一次函數先從形式上來認識反比例函數）

生8：我認為剩下的幾個函數從形式上看左邊都是一個變量，右邊都是一個分式。并且分式的分母是一個變量，分子是常數。

師：非常好，還有同學補充么？

生9：我認為等式左邊是因變量，等式右邊的字母是自變量，并且自變量在分母上，所以不能取0。

師：很好，那你能模仿一次函數還有正比例函數的表達式，給具有共同特征的函數寫個一般式么？

生9：我認為一般式可以寫成y=。

師：非常好，那么我們看看一次函數的k有什么要求，再看看這個函數里的k有什么要求？

生9：k是常數且k≠0。

師（PPT展示，板書修改完整表達式）：很好，在大家的幫助下，我們得到了新的函數的表達式，我們再一起仔細來看一下正比例函數和這個新函數的表達式，（此時PPT擦去y=kx+b，僅留下y=kx和y=的表達式以及相關的4個函數表達式），請同學們回憶小學學過的比例關系，想想看在這兩個表達式中，兩個變量都成什么比例關系？

學案呈現回憶小學學過的比例關系（學生一邊接受教師的提問，一邊對照學案的填空，回答更有針對性）

兩個量的一定，這兩個量成比例。

兩個量的一定，這兩個量成 比例。

生10：在正比例函數中，兩個變量是成正比例的。

師追問：那么成正比例關系的兩個量什么是一定的？

生10：這兩個量的比值是一定的。

師：太棒了，這位同學對小學知識掌握得很好。那么再請一位同學說說看，符合y=函數特征的兩個變量成什么比例關系？

生11：成反比例關系。

師追問：滿足什么一定關系的兩個變量成反比例關系？

生11：這兩個變量的乘積是一定的。

師：很好，那么如果要你們給這些函數取個名稱的話可以叫什么呢？

生（眾）：反比例函數（到這里本課的概念部分全部引出，基本上是學生思考、討論、探索自主得出。）

師板書課題《11.1反比例函數》，與學生一起填寫完整反比例函數概念。

新授概念：形如的函數叫做函數，其中x是量，y是x的，k是。

【階段小結】反比例函數的定義中，有兩點要注意：

①k≠0，②x≠0（兩個不為零）

利用所學知識，對于y=（k≠0）可變形為下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【階段小結】y是x的反比例函數的幾種等價形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例題講解，理解概念

師：我們知道了什么是反比例函數，那么同學們能從下面這些函數中找出反比例函數么？

例1：下列函數中，哪些是y關于x的反比例函數？如果是，比例系數k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

學生練習，教師巡視。請學生逐一回答。

生12：我認為（1）中y是x的反比例函數。

師：好的，請說出比例系數k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不確定k是多少。

師：（2）中的k不太好找，不如我們從反比例函數的一般式來看，我們可以把（2）寫成y=-×（板書）請你接著寫寫一般形式。

生12：y=

師：那此時你能看出k是多少么？

生12：k=-。

師：很好，當我們不能很容易看出k時，不如把函數寫成反比例函數的一般形式再來找k。

生13：（4）（7）也是，k分別是-2和3。

師：好的，請問（4）（7）分別是反比例函數的哪種表達形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

師：非常好，還有反比例函數么？

生13：我認為（8）也是，比例系數是a。（此時出現預設的錯誤，并且下面學生在竊竊私語。）

師：老師好像聽到有不同意見，請有不同意見的同學來說說看。

生14：我認為（8）不是，因為沒有強調k≠0。

師：非常好，這位同學考慮得很細致，的確，在判斷的時候一定要注意比例系數k必須不為0。

（另外對學生不太理解的（7）也作適當的講解。）

【階段小結】我們在判斷一個函數關系式是否是反比例函數的時候，可以盡可能地往三種不同表達形式上去靠，或者通過公式變形去靠近反比例函數的一般形式，這樣更容易找出k的值。

例2：如果函數y=為反比例函數，求函數的解析式。

教師板書解題過程：

解：由題意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函數的解析式是y=。

【小結】做此類題目，把所有滿足的條件都用式子表示出來，解出答案代入原式，不要誤將這里的k當成比例系數k。

【鞏固練習】當m取什么值時，函數y=（m+1）xm-2是反比例函數？（學生板書，答案正確，格式規范。）

（四）課堂反饋，實時檢測

1.下列函數：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函數的有（填序號）。

2.y是x的反比例函數，比例系數k是-，則y與x的反比例函數關系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函數，則m=_______，若是反比例函數，則m=_______。

4.若函數y=（m-3）x是反比例函數，則m=。

（五）合作交流，數學應用

師：我們做了一些題目，鞏固了反比例函數的概念，再來看看所學反比例函數在我們生活中的應用。

【問題】要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數么？（此處圖略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因為符合反比例函數的一般形式，所以h是a的反比例函數。

師：很好，所以我們在判斷兩個變量是否是反比例函數時，有兩種方法，一是看表達式，二是看兩個變量的乘積是否是一個不為零的常數。再看看下面題目的兩個變形。

1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數么？

2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a （m）的反比例函數么？

師：你還能舉出生活中反比例函數的例子嗎？與同伴交流一下。

（六）反思總結，共同提高

1.引導學生說出反比例函數概念的注意點，并注重與生活實例的結合。

2.引導學生歸納知識、掌握類比正比例函數、總結研究函數的一般方式，為接下來的函數圖像學習奠定基礎。

（七）課后探索，知識遷移

背景知識講解：杠桿原理

動力×動力臂=阻力×阻力臂

如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm。設動力為y（N），動力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計。杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y關于x的函數解析式。這個函數是反比例函數嗎?如果是，請說出比例系數；

（2）求當x=50時函數y的值，并說明這個值的實際意義；

（3）利用y與x的解析式說明當動力臂長擴大到原來的n倍時，所需動力將怎樣變化？請學生猜想一下。

想一想：如果動力臂縮小到原來的1/n時，動力將有怎樣的變化。

【教學反思】

在整節的設計過程中，我通過多次反復磨課修改，發現整節課的難點在于對概念的生成，因為課堂教學是一個動態生成的過程，學生隨時會有與施教者預定設計相背離的“意外”出現，因而整節課如何設計有效的問題很重要，施教者有必要引導學生不背離本節課的核心。問題是數學的心臟，是思維的起點，本課的設問主要從引導性問題、探究性問題、鞏固性問題著手，力求遵循學生認知特點和學習規律，達成有效的學習目標。另外我認為在平時的教學中，教師不應僅僅關注本課的知識點，應該多了解、多聯系學生情況，若能結合他們已有知識甚至小學的基礎知識，或者更多地了解他們進入高中以后這部分知識所占的地位來備課，或許能對學生這門學科的生成性學習起到一個很好的推動作用。

本課沒有在題目難度上為難學生，作為一節起始課，沒有必要設置太難的題目，而是更多地讓學生打開思維，用類比正比例函數的定義給出一般式的特征等方式來學習反比例函數，讓學生能通過一節課學會某種數學思想和數學方法。學生經歷主動探索的過程并從中收獲知識是能增強他們學習數學的自信的。

實際教學過程中，學生基礎較好，思維活躍，這也為較好地完成教學目標起到了一個關鍵作用，我基本按照預設完成，學生也能自然得出反比例函數概念，但是在時間的把控上還存在一些遺憾，最后設計的活躍課堂部分因時間關系僅僅是分享了一部分的實例，并沒有做到正反比例對比都能舉例。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區星港學校）

生（眾）：反比例函數（到這里本課的概念部分全部引出，基本上是學生思考、討論、探索自主得出。）

師板書課題《11.1反比例函數》，與學生一起填寫完整反比例函數概念。

新授概念：形如的函數叫做函數，其中x是量，y是x的，k是。

【階段小結】反比例函數的定義中，有兩點要注意：

①k≠0，②x≠0（兩個不為零）

利用所學知識，對于y=（k≠0）可變形為下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【階段小結】y是x的反比例函數的幾種等價形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例題講解，理解概念

師：我們知道了什么是反比例函數，那么同學們能從下面這些函數中找出反比例函數么？

例1：下列函數中，哪些是y關于x的反比例函數？如果是，比例系數k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

學生練習，教師巡視。請學生逐一回答。

生12：我認為（1）中y是x的反比例函數。

師：好的，請說出比例系數k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不確定k是多少。

師：（2）中的k不太好找，不如我們從反比例函數的一般式來看，我們可以把（2）寫成y=-×（板書）請你接著寫寫一般形式。

生12：y=

師：那此時你能看出k是多少么？

生12：k=-。

師：很好，當我們不能很容易看出k時，不如把函數寫成反比例函數的一般形式再來找k。

生13：（4）（7）也是，k分別是-2和3。

師：好的，請問（4）（7）分別是反比例函數的哪種表達形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

師：非常好，還有反比例函數么？

生13：我認為（8）也是，比例系數是a。（此時出現預設的錯誤，并且下面學生在竊竊私語。）

師：老師好像聽到有不同意見，請有不同意見的同學來說說看。

生14：我認為（8）不是，因為沒有強調k≠0。

師：非常好，這位同學考慮得很細致，的確，在判斷的時候一定要注意比例系數k必須不為0。

（另外對學生不太理解的（7）也作適當的講解。）

【階段小結】我們在判斷一個函數關系式是否是反比例函數的時候，可以盡可能地往三種不同表達形式上去靠，或者通過公式變形去靠近反比例函數的一般形式，這樣更容易找出k的值。

例2：如果函數y=為反比例函數，求函數的解析式。

教師板書解題過程：

解：由題意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函數的解析式是y=。

【小結】做此類題目，把所有滿足的條件都用式子表示出來，解出答案代入原式，不要誤將這里的k當成比例系數k。

【鞏固練習】當m取什么值時，函數y=（m+1）xm-2是反比例函數？（學生板書，答案正確，格式規范。）

（四）課堂反饋，實時檢測

1.下列函數：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函數的有（填序號）。

2.y是x的反比例函數，比例系數k是-，則y與x的反比例函數關系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函數，則m=_______，若是反比例函數，則m=_______。

4.若函數y=（m-3）x是反比例函數，則m=。

（五）合作交流，數學應用

師：我們做了一些題目，鞏固了反比例函數的概念，再來看看所學反比例函數在我們生活中的應用。

【問題】要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數么？（此處圖略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因為符合反比例函數的一般形式，所以h是a的反比例函數。

師：很好，所以我們在判斷兩個變量是否是反比例函數時，有兩種方法，一是看表達式，二是看兩個變量的乘積是否是一個不為零的常數。再看看下面題目的兩個變形。

1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數么？

2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a （m）的反比例函數么？

師：你還能舉出生活中反比例函數的例子嗎？與同伴交流一下。

（六）反思總結，共同提高

1.引導學生說出反比例函數概念的注意點，并注重與生活實例的結合。

2.引導學生歸納知識、掌握類比正比例函數、總結研究函數的一般方式，為接下來的函數圖像學習奠定基礎。

（七）課后探索，知識遷移

背景知識講解：杠桿原理

動力×動力臂=阻力×阻力臂

如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm。設動力為y（N），動力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計。杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y關于x的函數解析式。這個函數是反比例函數嗎?如果是，請說出比例系數；

（2）求當x=50時函數y的值，并說明這個值的實際意義；

（3）利用y與x的解析式說明當動力臂長擴大到原來的n倍時，所需動力將怎樣變化？請學生猜想一下。

想一想：如果動力臂縮小到原來的1/n時，動力將有怎樣的變化。

【教學反思】

在整節的設計過程中，我通過多次反復磨課修改，發現整節課的難點在于對概念的生成，因為課堂教學是一個動態生成的過程，學生隨時會有與施教者預定設計相背離的“意外”出現，因而整節課如何設計有效的問題很重要，施教者有必要引導學生不背離本節課的核心。問題是數學的心臟，是思維的起點，本課的設問主要從引導性問題、探究性問題、鞏固性問題著手，力求遵循學生認知特點和學習規律，達成有效的學習目標。另外我認為在平時的教學中，教師不應僅僅關注本課的知識點，應該多了解、多聯系學生情況，若能結合他們已有知識甚至小學的基礎知識，或者更多地了解他們進入高中以后這部分知識所占的地位來備課，或許能對學生這門學科的生成性學習起到一個很好的推動作用。

本課沒有在題目難度上為難學生，作為一節起始課，沒有必要設置太難的題目，而是更多地讓學生打開思維，用類比正比例函數的定義給出一般式的特征等方式來學習反比例函數，讓學生能通過一節課學會某種數學思想和數學方法。學生經歷主動探索的過程并從中收獲知識是能增強他們學習數學的自信的。

實際教學過程中，學生基礎較好，思維活躍，這也為較好地完成教學目標起到了一個關鍵作用，我基本按照預設完成，學生也能自然得出反比例函數概念，但是在時間的把控上還存在一些遺憾，最后設計的活躍課堂部分因時間關系僅僅是分享了一部分的實例，并沒有做到正反比例對比都能舉例。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區星港學校）

生（眾）：反比例函數（到這里本課的概念部分全部引出，基本上是學生思考、討論、探索自主得出。）

師板書課題《11.1反比例函數》，與學生一起填寫完整反比例函數概念。

新授概念：形如的函數叫做函數，其中x是量，y是x的，k是。

【階段小結】反比例函數的定義中，有兩點要注意：

①k≠0，②x≠0（兩個不為零）

利用所學知識，對于y=（k≠0）可變形為下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【階段小結】y是x的反比例函數的幾種等價形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例題講解，理解概念

師：我們知道了什么是反比例函數，那么同學們能從下面這些函數中找出反比例函數么？

例1：下列函數中，哪些是y關于x的反比例函數？如果是，比例系數k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

學生練習，教師巡視。請學生逐一回答。

生12：我認為（1）中y是x的反比例函數。

師：好的，請說出比例系數k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不確定k是多少。

師：（2）中的k不太好找，不如我們從反比例函數的一般式來看，我們可以把（2）寫成y=-×（板書）請你接著寫寫一般形式。

生12：y=

師：那此時你能看出k是多少么？

生12：k=-。

師：很好，當我們不能很容易看出k時，不如把函數寫成反比例函數的一般形式再來找k。

生13：（4）（7）也是，k分別是-2和3。

師：好的，請問（4）（7）分別是反比例函數的哪種表達形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

師：非常好，還有反比例函數么？

生13：我認為（8）也是，比例系數是a。（此時出現預設的錯誤，并且下面學生在竊竊私語。）

師：老師好像聽到有不同意見，請有不同意見的同學來說說看。

生14：我認為（8）不是，因為沒有強調k≠0。

師：非常好，這位同學考慮得很細致，的確，在判斷的時候一定要注意比例系數k必須不為0。

（另外對學生不太理解的（7）也作適當的講解。）

【階段小結】我們在判斷一個函數關系式是否是反比例函數的時候，可以盡可能地往三種不同表達形式上去靠，或者通過公式變形去靠近反比例函數的一般形式，這樣更容易找出k的值。

例2：如果函數y=為反比例函數，求函數的解析式。

教師板書解題過程：

解：由題意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函數的解析式是y=。

【小結】做此類題目，把所有滿足的條件都用式子表示出來，解出答案代入原式，不要誤將這里的k當成比例系數k。

【鞏固練習】當m取什么值時，函數y=（m+1）xm-2是反比例函數？（學生板書，答案正確，格式規范。）

（四）課堂反饋，實時檢測

1.下列函數：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函數的有（填序號）。

2.y是x的反比例函數，比例系數k是-，則y與x的反比例函數關系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函數，則m=_______，若是反比例函數，則m=_______。

4.若函數y=（m-3）x是反比例函數，則m=。

（五）合作交流，數學應用

師：我們做了一些題目，鞏固了反比例函數的概念，再來看看所學反比例函數在我們生活中的應用。

【問題】要建造一個面積為260m2的三角形花壇，底邊長是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函數么？（此處圖略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因為符合反比例函數的一般形式，所以h是a的反比例函數。

師：很好，所以我們在判斷兩個變量是否是反比例函數時，有兩種方法，一是看表達式，二是看兩個變量的乘積是否是一個不為零的常數。再看看下面題目的兩個變形。

1.如果花壇是一個等腰三角形，周長是300m，底邊長為a（m），腰為b（m），那么a是b的反比例函數么？

2.如果花壇是一個等邊三角形，周長C（m）是邊長a （m）的反比例函數么？

師：你還能舉出生活中反比例函數的例子嗎？與同伴交流一下。

（六）反思總結，共同提高

1.引導學生說出反比例函數概念的注意點，并注重與生活實例的結合。

2.引導學生歸納知識、掌握類比正比例函數、總結研究函數的一般方式，為接下來的函數圖像學習奠定基礎。

（七）課后探索，知識遷移

背景知識講解：杠桿原理

動力×動力臂=阻力×阻力臂

如圖，阻力為1000N，阻力臂長為5cm。設動力為y（N），動力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計。杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y關于x的函數解析式。這個函數是反比例函數嗎?如果是，請說出比例系數；

（2）求當x=50時函數y的值，并說明這個值的實際意義；

（3）利用y與x的解析式說明當動力臂長擴大到原來的n倍時，所需動力將怎樣變化？請學生猜想一下。

想一想：如果動力臂縮小到原來的1/n時，動力將有怎樣的變化。

【教學反思】

在整節的設計過程中，我通過多次反復磨課修改，發現整節課的難點在于對概念的生成，因為課堂教學是一個動態生成的過程，學生隨時會有與施教者預定設計相背離的“意外”出現，因而整節課如何設計有效的問題很重要，施教者有必要引導學生不背離本節課的核心。問題是數學的心臟，是思維的起點，本課的設問主要從引導性問題、探究性問題、鞏固性問題著手，力求遵循學生認知特點和學習規律，達成有效的學習目標。另外我認為在平時的教學中，教師不應僅僅關注本課的知識點，應該多了解、多聯系學生情況，若能結合他們已有知識甚至小學的基礎知識，或者更多地了解他們進入高中以后這部分知識所占的地位來備課，或許能對學生這門學科的生成性學習起到一個很好的推動作用。

本課沒有在題目難度上為難學生，作為一節起始課，沒有必要設置太難的題目，而是更多地讓學生打開思維，用類比正比例函數的定義給出一般式的特征等方式來學習反比例函數，讓學生能通過一節課學會某種數學思想和數學方法。學生經歷主動探索的過程并從中收獲知識是能增強他們學習數學的自信的。

實際教學過程中，學生基礎較好，思維活躍，這也為較好地完成教學目標起到了一個關鍵作用，我基本按照預設完成，學生也能自然得出反比例函數概念，但是在時間的把控上還存在一些遺憾，最后設計的活躍課堂部分因時間關系僅僅是分享了一部分的實例，并沒有做到正反比例對比都能舉例。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區星港學校）