軟巖巷道底板極限承載力研究

李和志，陳 輝

（江西科技學院 土木工程學院，江西 南昌 330098）

軟巖巷道底板極限承載力研究

李和志，陳 輝

（江西科技學院 土木工程學院，江西 南昌 330098）

軟巖巷道底板巖體在邊墻兩側松動圍巖的作用下產(chǎn)生塑性變形是軟巖巷道產(chǎn)生底鼓現(xiàn)象的主要原因之一，底板極限承載力是判斷是否發(fā)生底鼓的理論依據(jù)。借助極限分析上限法，在軟巖巷道底板塑性區(qū)域建立滿足力學邊界條件的機動場，推導出底板極限承載力的上限解公式；運用極限分析下限法，以屈服條件和平衡方程為基礎，建立靜力場推導出底板極限承載力的下限解公式。所推導出的底板極限承載力上限解、下限解相等，且與已有研究成果——底板極限承載力滑移線解的公式一致，進而得到軟巖巷道底板極限承載力精確解。

巷道；底板；極限承載力；極限分析法

0 引言

巷道頂?shù)装搴蛢蓚葞r體變形并向巷道內移動，底板向上隆起的現(xiàn)象稱之為底鼓[1]。軟巖巷道底板巖體在邊墻兩側松動圍巖的作用下產(chǎn)生塑性變形是軟巖巷道產(chǎn)生底鼓現(xiàn)象的主要原因之一。軟巖巷道底板極限承載力是判斷軟巖巷道是否發(fā)生底鼓的理論依據(jù)：當作用于底板的荷載大于其極限承載力時，底板巖體進入塑性流動狀態(tài)進而產(chǎn)生底鼓現(xiàn)象。

鐘新谷教授[2～4]利用巖土塑性力學理論中的滑移線法分析了松軟圍巖巷道產(chǎn)生底鼓機理，推導出底板極限承載力公式，提出底板角錨桿防治底鼓的方法，確定了錨桿的支護參數(shù)。從極限分析理論來看，滑移線法所求出的極限荷載解既沒有證明符合上限定理，也沒有證明符合下限定理，故不能認為是上限解，也不能認為是下限解。所以，滑移法解不一定是精確解。

極限分析方法是以塑性上下限定理為理論依據(jù)的穩(wěn)定性分析方法，由上限定理通過構筑運動許可的速度場界定真實解的上限，由下限定理通過構筑全局靜力許可的應力場界定真實解的下限，從而限定真實解的嚴格范圍[5]。

本文借助上限定理極限分析法，在底板塑性區(qū)域建立滿足力學邊界條件的機動場，推導出底板極限承載力的上限解公式；運用下限定理極限分析法，以屈服條件和平衡方程為基礎，建立靜力場，推導出底板極限承載力的下限解公式。所推導出的底板極限承載力上限解、下限解相等，且與已有研究成果——底板極限承載力滑移線解的公式一致，進而得到軟巖巷道底板極限承載力精確解。

1 上限定理極限分析法

為便于分析，認為底板巖體為均質莫爾-庫倫材料且不考慮其自重，忽略松動圍巖與底板在水平方向的摩擦力。將巷道松動圍巖作用于底板的壓力簡化為條形荷載，則巷道底板相當于承受承受條形荷載的地基。

上限定理就是假定的破壞機構的外荷載所做的功(率)大于其內部能量的損耗(率)，則土(巖)體不能承受所施加的荷載。對于一有效破壞機構，令外力做的功(率)等于內功(率)，則可求出極限荷載的一個不安全上限[6]。運用上限定理求解極限荷載上限的方法是：建立機動場，根據(jù)虛功率原理求解上限解。

當巷道底板巖體應力狀態(tài)達到或超過莫爾-庫倫屈服條件，底板巖體進入塑性流動狀態(tài)。在底板巖層處建立Prandtl機動場，如圖1所示。

圖1 Prandt l動場

ABC區(qū)、DEF區(qū)、BDG區(qū)為均勻速度場，BCG區(qū)、DGF區(qū)為非均勻速度場[7]。ACGFE為剛塑性區(qū)分界線，故AC、CG、GF、EF均為速度間斷線。

先分析DEF區(qū)。DEF區(qū)為均勻速度場，速度用v′0表示。EF為速度間斷線，EF左側速度為v′0，右側速度為零，故質點通過EF速度的改變即為v′0。而質點從一個速度區(qū)域穿過間斷線進入到另一個速度區(qū)時，速度改變Δv方向與速度間斷線成φ角[8]。由圖1可知∠DEF=π/2－φ，而v′0與EF邊成φ角，所以v′0垂直于EF邊。所以ABC區(qū)、DEF區(qū)在上部松動圍巖作用下分別垂直BC、DF邊運動，速度大小為v′0。

圖2 變形楔體

再分析變形楔體DGF。將DGF分成n個剛體三角形，則每個剛體三角形的頂角為Δθ=θ/n，其中∠GDF=θ，如圖2所示。圖中v0、v1、v2…vn表示相對應的剛體三角形的速度。GF為速度間斷線，當Δθ足夠小時，v0、v1、v2…vn必垂直DF、DJ、DK、DL…DM。故變形楔體DGF、ABC分別繞D點與B點轉動。

建立圖3的速度圖。Δv表示速度在速度間斷線處的改變量。δu與δv表示Δv在DJ方向和DJ垂直方向上的分量。當Δθ足夠小時，有：

而在δu、δv與Δv組成的三角形內，有：

綜合式（2～4），可得：

圖3 速度圖

同理可得：

依次類推可得：

則第n個剛體三角形的速度可表示為：

當n→∞時，有：

式中：v-角度為θ時的速度。

根據(jù)上述結論，可以求出圖1中邊界DG在其右側的速度v′1，θ=π/2,即：

最后分析BDG區(qū)。BDG區(qū)為均勻速度區(qū)，其速度為DG邊右側速度與BG邊左側速度的合速度v′2，方向豎直向上，大小為：

DG、BG邊均為間斷線。在DG、BG邊速度的改變與v′2大小相等。

對于Coulomb材料，在長度為l的的速度間斷面內的能量消散率為[8]：

式中，Δvcosφ為速度改變在間斷面的分量。

在間斷線EF上，位移速度為v′0，其長度lEF，根據(jù)圖1中的幾何關系可求出：

則在間斷線EF上的能量消散率：

同理可得到間斷線DG上的能量消散率：

變形楔體DGF的能量消散率是速度間斷面GF上的能量消散率與變形區(qū)DGF能量消散率之和。變形楔體DGF上對數(shù)螺旋線GF為速度間斷線。沿對數(shù)螺旋面上的能量消散率公式與楔體變形區(qū)能量消散率公式均為[9]：

式中符號所表示的含義，見如圖2。則DGF在變形區(qū)DGF和速度間斷面GF的總能量消散率為：

由于機動場具有對稱性，故在間斷線AC、BG上的能量消散率WAC、WBG，變形楔體BCG的能量消散率WBG、BCG滿足：

外力q做的功率為：

虛功(率)原理表明：對于一個連續(xù)的變形體來說，靜力容許的應力場在機動容許的位移場上所作外(虛)功(率)等于內(虛)功(率)[6]。所以有：

綜合式(13～14)、(16～19)，可求得隧道底板所能承受的極限承載力的上限解：

2 極限分析下限法

下限定理的表述為：當在屈服點以下可以找出符合應力邊界條件的應力平衡狀態(tài)，外荷載可由彈塑(剛塑)性材料構成的穩(wěn)定的物體來承受而不產(chǎn)生破壞。運用上限定理求解極限荷載下限的方法是：以屈服條件與平衡方程為基礎，建立一靜力場，再求出相應的荷載，即極限荷載下限解。

在DFG區(qū)建立由n條應力桿構成的應力場，相鄰應力桿的夾角為Δθ=θ/n，其中∠GDF=θ，如圖4所示。則相當于在底板BDEFG區(qū)域建立了由一水平桿與n條斜向的應力桿的構成應力場。圖中N1、N2、N3、N4……、Nn為相對應的應力桿桿號的軸向壓應力。

單根桿N滿足屈服條件，可由圖5求出：

在應力桿中引入符號：

式中：P——屈服時的平均應力(均勻靜水壓力)；

S——屈服時的偏應力(平面內的最大剪力)。

P、S的關系可由莫爾-庫倫條件求出，見圖6。

圖4 物理平面

圖5 軸向壓應力的M ohr-coul om b屈服條件

圖6 M ohr-coul om b屈服條件

兩應力場疊加原理：靜水壓力疊加為代數(shù)和，剪應力疊加為向量和，且兩剪應力的夾角為兩應力場主應力夾角的二倍。由兩應力場疊加原理可作出n條應力桿的應力矢量圖，如圖7所示。圖中S1、S2、S3、S4、S5……Sn表示相對應的應力桿屈服時未疊加區(qū)域的偏應力。S′0表示在BDG區(qū)水平應力桿屈服時未疊加區(qū)域的偏應力。S′1表示水平桿和1號桿在疊加區(qū)域屈服時的偏應力，S′2表示水平桿、1號桿、2號桿疊加區(qū)域在屈服時的偏應力，S′3表示水平桿、1號桿、2號桿、3號桿疊加區(qū)域屈服時的偏應力，依次類推可知S′4、S′5、S′6……S′n所表示的含義。

圖7 應力平面

根據(jù)兩應力場疊加原理，結合圖7，有:

如圖8，當Δθ在足夠小的情況下，存在：

圖8 應力圖

綜合式（25～27），得：

同理可得：

綜合式(28～29)，得：

當n趨向于無窮大時，有

通過取極限，圖7所示的應力圖逐漸趨近于半對數(shù)螺線。

將式(31)代入式(23)可得：

由此可得DEF區(qū)的豎向應力σv為：

于是得到底板極限承載力下限解：

3 極限承載力精確解

應用極限分析上限法可得到極限荷載上限解P+，應用下限定理極限分析法可得到極限荷載的下限解P－。精確解記為Pu，則有：

求得的下限解與上限解相等時，可得精確解：

本文求出的軟巖巷道底板極限承載力上限解、下限解滿足：

鐘新谷教授在文獻[2]中所推導的軟巖巷道底板極限承載力q(滑移線解)為：

綜合以上分析，可得軟巖巷道底板極限承載力精確解qu為：

qu為判斷軟巖巷道是否會發(fā)生底鼓的理論判斷依據(jù)，即當傳遞到底板的松動圍巖的靜水壓力γH(γ為圍巖容重，H為松動圍巖高度)大于底板極限承載力qu時，則底板巖體將產(chǎn)生塑性變形，進而發(fā)生底鼓現(xiàn)象。

4 結論

（1）應用極限分析上限法，在底板塑性區(qū)域建立滿足力學邊界條件的機動場，推導出底板極限承載力的上限解公式；

（2）應用極限分析下限法，以屈服條件和平衡方程為基礎，建立靜力場，推導出底板極限承載力的下限解公式；

（3）所推導出的底板極限承載力上限解、下限解相等，且與已有研究成果——底板極限承載力滑移線解的公式一致，進而得出軟巖巷道底板極限承載力精確解。

[1]姜耀東，趙毅鑫，劉文崗,等.深部開采中巷道底鼓問題的研究[J].巖石力學與工程學報，2004，23(14)：2396-2401.

[2]鐘新谷.錨桿防治軟巖巷道底臌的分析[J].力學與實踐,1994,16(4):37-40.

[3]鐘新谷.軟巖巷道底臌機理與支護對策分析[C].煤炭工業(yè)部科技教育司匯編.煤炭高等院校青年科學基金學術研討會論文集.徐州:中國礦業(yè)大學出版社,1995:206-211.

[4]鐘新谷，徐虎.管縫式錨桿防治軟巖巷道底臌的試驗研究[J].巖土力學,1996,17(1):16-21.

[5]秦會來，黃茂松，馬少坤.黏土基坑抗隆起穩(wěn)定分析的多塊體上限解[J].巖石力學與工程學報，2010，29(1):73-81.

[6]陳惠發(fā).極限分析與土體塑性[M].詹世斌,譯.北京:人民交通出版社,1995:28-64.

[7]李和志.軟巖隧道底鼓機理分析及防治技術研究[碩士學位論文][D].湖南科技大學,2012.

[8]龔曉南.土塑性力學(第二版)[M].杭州:浙江大學出版社,1999.

[9]鄭穎人，龔曉南.巖土塑性力學基礎[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,1989.

（責任編輯：陳 輝）

Research on Ultimate Bearing Capacity of Floor Soft Rock Roadway

LI He-zhi,CHEN Hui
(School of Civil Engineering,Jiangxi University of Technology,Nanchang 330098,China)

One of main reasons which lead to soft rock roadway to produce floor-heave is that floor rock produces plastic deformation under the action of the loosen rock.The limit bearing capacity of the floor is theoretical foundation whether the floor-heave takes place or not.Building the maneuvering field that satisfies all conditions of mechanical boundary and the upper bound solution of ultimate bearing capacity of roadway floor is deduced by means of limit analysis upper bound method.On the basis of the yield condition and equations of equilibrium to build a statically admissible stress field and the lower solution of ultimate bearing capacity of roadway floor is solved by the lower bound limit analysis.The upper bound solution and the lower solution of ultimate bearing capacity of roadway floor which has been deduced are equal,and the results coincide with the existing results——the slip-line solution of ultimate bearing capacity of roadway floor,and then we can get the floor of the exact solution of soft rock roadway limit bearing capacity.

roadway；floor；ultimate bearing capacity；limit analysis method

TU452

A

123（2014）03-0029-05

2014-03-08

李和志（1985-），男，湖南雙峰人，江西科技學院土木工程學院，碩士，工程師。研究方向：隧道圍巖壓力、地基基礎及邊坡工程。

陳 輝（1980-），男，江西景德鎮(zhèn)人，江西科技學院土木工程學院，博士。研究方向：多孔介質理論及其應用研究、邊坡的監(jiān)測與處置。