泰勒公式在極限和等式不等式中的地位與作用

摘要：從求極限、證明等式、證明不等式三個方面說明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

關鍵詞：泰勒公式；極限；等式；不等式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0113-02

近年來關于泰勒公式的研究很多，文[1]說明了泰勒公式的不足并給出了建議，文[2]推廣了泰勒公式，文[1-5]用例題說明了泰勒公式在求極限、求近似值、求冪級數的展開、式行列式計算以及等式不等式的證明中的應用.但有些例題不能充分說明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面從求極限、證明不等式、證明等式方面通過典型例題說明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求極限中的地位與作用

常用的求極限的方法是等價無窮小替換與羅比達法則的混合使用，和式的極限還可以考慮夾逼原理和定積分的定義.在極限的運算中泰勒公式不是首選的工具，因為它比其他工具在書寫和表達上要復雜.因此一般不選用泰勒公式求極限.但是有的極限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出來.

例1[6] 求.

解 x→0時，sin43x：（3x4）=81x4，應用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

該題只能用泰勒公式解決，讀者可以驗證其他工具和方法，是求不出結果的.泰勒公式是可以展開到任意次的，在題目中展開到4次是因為分母的等價無窮小是4次.也就是說，使用泰勒公式求極限時函數泰勒展開的次數取決于題目中其他部分的次數.

二、泰勒公式在證明等式中的應用

在各級各類考試中經常會有關于中值公式的證明，拉格朗日中值公式是零階的泰勒公式，使用范圍較大，但如果碰到的是高階的微分中值定理題目，處理工具最好采用泰勒公式，不僅問題的解決過簡潔，而且有時候泰勒公式是必須選用的工具.

例2[7] 設f（t）三階可導，且f?（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

證明λ=.

證明 將f（t）在t=b處展開為三階帶有皮亞諾型余項的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

對f（t）求二階導數得

f″（t）=f″（b）+f?（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中將t變為b+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f?（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

聯立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求極限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法來證明例2，不僅過程復雜，而且求解不得結果.

三、泰勒公式在證明不等式中的應用

如同高階的微分中值定理等式證明一樣，如果要證明的不等式中出現一階、高階導數，在拉格朗日中值定理解決不了的情況下，就要考慮運用泰勒公式證明.還有一種不含有微分、積分的普通不等式，證明方法較多，但有時候泰勒公式是最簡便的方法.

例3[8] 證明：xln=+cosx≥1+（-1

證明 因為-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

將ln（1+x），ln（1-x），cosx展開為二階的帶有皮亞諾型余項的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

將⑧代入⑦左側，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）?x2+o（x2）≥0

恒成立.

該題的證明可以采用構造輔助函數利用單調性證明，也可以采用拉格朗日中定理結合單調性證明，但證明均不如采用泰勒公式簡便.

泰勒公式一直是高等數學教學中的重點和難點，重在泰勒公式的應用，難在公式大、系數多、導數階數高，還有一余項.教材中主要說明了泰勒公式的形成、證明，應用涉及較少.學生對推導證明有畏懼心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，這就降低了學習泰勒公式的積極性和主動性，減弱了學習效果.好多學生對泰勒公式的反應時只知其名，不知何物，盡量不用.因此在泰勒公式的教學中，淡化理論推導，側重公式應用，突出重點，降低難度，在應用中掌握公式，激發學習興趣很有必要.

參考文獻：

[1]王國強，胡法領，盛大征.泰勒公式及其應用[J].德州學院學報，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其應用[J].科學之友，2012，（6）.

[3]魯翠仙.泰勒公式及其應用[J].西昌學院學報，2013，（3）.

[4]王國專.泰勒公式在微分學中的應用[J].赤峰學院學報，2012，（8）.

[5]熊學輝，柯璇，張凱.物理類課程中泰勒公式近似的教學方法探討[J].江漢大學學報，2011，（4）.

[6]尹遜波，楊國俅.全國大學生數學競賽輔導教程[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012：63-64.

[7]張天德，蔣曉蕓.高等數學習題精選精解[M].濟南：山東科學技術出版社，2007：90.

[8]張天德，李仁所，李擂.考研數學試題精選精解高等數學600題[M].濟南：山東科學技術出版社，2013：62.

基金項目：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內訪問學者項目經費資助，濱州學院優秀教學團隊-BZXYJXTD201302.

作者簡介：竇慧（1974-），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數學教學。

摘要：從求極限、證明等式、證明不等式三個方面說明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

關鍵詞：泰勒公式；極限；等式；不等式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0113-02

近年來關于泰勒公式的研究很多，文[1]說明了泰勒公式的不足并給出了建議，文[2]推廣了泰勒公式，文[1-5]用例題說明了泰勒公式在求極限、求近似值、求冪級數的展開、式行列式計算以及等式不等式的證明中的應用.但有些例題不能充分說明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面從求極限、證明不等式、證明等式方面通過典型例題說明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求極限中的地位與作用

常用的求極限的方法是等價無窮小替換與羅比達法則的混合使用，和式的極限還可以考慮夾逼原理和定積分的定義.在極限的運算中泰勒公式不是首選的工具，因為它比其他工具在書寫和表達上要復雜.因此一般不選用泰勒公式求極限.但是有的極限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出來.

例1[6] 求.

解 x→0時，sin43x：（3x4）=81x4，應用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

該題只能用泰勒公式解決，讀者可以驗證其他工具和方法，是求不出結果的.泰勒公式是可以展開到任意次的，在題目中展開到4次是因為分母的等價無窮小是4次.也就是說，使用泰勒公式求極限時函數泰勒展開的次數取決于題目中其他部分的次數.

二、泰勒公式在證明等式中的應用

在各級各類考試中經常會有關于中值公式的證明，拉格朗日中值公式是零階的泰勒公式，使用范圍較大，但如果碰到的是高階的微分中值定理題目，處理工具最好采用泰勒公式，不僅問題的解決過簡潔，而且有時候泰勒公式是必須選用的工具.

例2[7] 設f（t）三階可導，且f?（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

證明λ=.

證明 將f（t）在t=b處展開為三階帶有皮亞諾型余項的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

對f（t）求二階導數得

f″（t）=f″（b）+f?（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中將t變為b+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f?（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

聯立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求極限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法來證明例2，不僅過程復雜，而且求解不得結果.

三、泰勒公式在證明不等式中的應用

如同高階的微分中值定理等式證明一樣，如果要證明的不等式中出現一階、高階導數，在拉格朗日中值定理解決不了的情況下，就要考慮運用泰勒公式證明.還有一種不含有微分、積分的普通不等式，證明方法較多，但有時候泰勒公式是最簡便的方法.

例3[8] 證明：xln=+cosx≥1+（-1

證明 因為-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

將ln（1+x），ln（1-x），cosx展開為二階的帶有皮亞諾型余項的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

將⑧代入⑦左側，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）?x2+o（x2）≥0

恒成立.

該題的證明可以采用構造輔助函數利用單調性證明，也可以采用拉格朗日中定理結合單調性證明，但證明均不如采用泰勒公式簡便.

泰勒公式一直是高等數學教學中的重點和難點，重在泰勒公式的應用，難在公式大、系數多、導數階數高，還有一余項.教材中主要說明了泰勒公式的形成、證明，應用涉及較少.學生對推導證明有畏懼心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，這就降低了學習泰勒公式的積極性和主動性，減弱了學習效果.好多學生對泰勒公式的反應時只知其名，不知何物，盡量不用.因此在泰勒公式的教學中，淡化理論推導，側重公式應用，突出重點，降低難度，在應用中掌握公式，激發學習興趣很有必要.

參考文獻：

[1]王國強，胡法領，盛大征.泰勒公式及其應用[J].德州學院學報，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其應用[J].科學之友，2012，（6）.

[3]魯翠仙.泰勒公式及其應用[J].西昌學院學報，2013，（3）.

[4]王國專.泰勒公式在微分學中的應用[J].赤峰學院學報，2012，（8）.

[5]熊學輝，柯璇，張凱.物理類課程中泰勒公式近似的教學方法探討[J].江漢大學學報，2011，（4）.

[6]尹遜波，楊國俅.全國大學生數學競賽輔導教程[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012：63-64.

[7]張天德，蔣曉蕓.高等數學習題精選精解[M].濟南：山東科學技術出版社，2007：90.

[8]張天德，李仁所，李擂.考研數學試題精選精解高等數學600題[M].濟南：山東科學技術出版社，2013：62.

基金項目：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內訪問學者項目經費資助，濱州學院優秀教學團隊-BZXYJXTD201302.

作者簡介：竇慧（1974-），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數學教學。

摘要：從求極限、證明等式、證明不等式三個方面說明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

關鍵詞：泰勒公式；極限；等式；不等式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0113-02

近年來關于泰勒公式的研究很多，文[1]說明了泰勒公式的不足并給出了建議，文[2]推廣了泰勒公式，文[1-5]用例題說明了泰勒公式在求極限、求近似值、求冪級數的展開、式行列式計算以及等式不等式的證明中的應用.但有些例題不能充分說明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面從求極限、證明不等式、證明等式方面通過典型例題說明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求極限中的地位與作用

常用的求極限的方法是等價無窮小替換與羅比達法則的混合使用，和式的極限還可以考慮夾逼原理和定積分的定義.在極限的運算中泰勒公式不是首選的工具，因為它比其他工具在書寫和表達上要復雜.因此一般不選用泰勒公式求極限.但是有的極限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出來.

例1[6] 求.

解 x→0時，sin43x：（3x4）=81x4，應用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

該題只能用泰勒公式解決，讀者可以驗證其他工具和方法，是求不出結果的.泰勒公式是可以展開到任意次的，在題目中展開到4次是因為分母的等價無窮小是4次.也就是說，使用泰勒公式求極限時函數泰勒展開的次數取決于題目中其他部分的次數.

二、泰勒公式在證明等式中的應用

在各級各類考試中經常會有關于中值公式的證明，拉格朗日中值公式是零階的泰勒公式，使用范圍較大，但如果碰到的是高階的微分中值定理題目，處理工具最好采用泰勒公式，不僅問題的解決過簡潔，而且有時候泰勒公式是必須選用的工具.

例2[7] 設f（t）三階可導，且f?（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

證明λ=.

證明 將f（t）在t=b處展開為三階帶有皮亞諾型余項的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

對f（t）求二階導數得

f″（t）=f″（b）+f?（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中將t變為b+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f?（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

聯立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求極限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法來證明例2，不僅過程復雜，而且求解不得結果.

三、泰勒公式在證明不等式中的應用

如同高階的微分中值定理等式證明一樣，如果要證明的不等式中出現一階、高階導數，在拉格朗日中值定理解決不了的情況下，就要考慮運用泰勒公式證明.還有一種不含有微分、積分的普通不等式，證明方法較多，但有時候泰勒公式是最簡便的方法.

例3[8] 證明：xln=+cosx≥1+（-1

證明 因為-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

將ln（1+x），ln（1-x），cosx展開為二階的帶有皮亞諾型余項的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

將⑧代入⑦左側，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）?x2+o（x2）≥0

恒成立.

該題的證明可以采用構造輔助函數利用單調性證明，也可以采用拉格朗日中定理結合單調性證明，但證明均不如采用泰勒公式簡便.

泰勒公式一直是高等數學教學中的重點和難點，重在泰勒公式的應用，難在公式大、系數多、導數階數高，還有一余項.教材中主要說明了泰勒公式的形成、證明，應用涉及較少.學生對推導證明有畏懼心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，這就降低了學習泰勒公式的積極性和主動性，減弱了學習效果.好多學生對泰勒公式的反應時只知其名，不知何物，盡量不用.因此在泰勒公式的教學中，淡化理論推導，側重公式應用，突出重點，降低難度，在應用中掌握公式，激發學習興趣很有必要.

參考文獻：

[1]王國強，胡法領，盛大征.泰勒公式及其應用[J].德州學院學報，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其應用[J].科學之友，2012，（6）.

[3]魯翠仙.泰勒公式及其應用[J].西昌學院學報，2013，（3）.

[4]王國專.泰勒公式在微分學中的應用[J].赤峰學院學報，2012，（8）.

[5]熊學輝，柯璇，張凱.物理類課程中泰勒公式近似的教學方法探討[J].江漢大學學報，2011，（4）.

[6]尹遜波，楊國俅.全國大學生數學競賽輔導教程[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012：63-64.

[7]張天德，蔣曉蕓.高等數學習題精選精解[M].濟南：山東科學技術出版社，2007：90.

[8]張天德，李仁所，李擂.考研數學試題精選精解高等數學600題[M].濟南：山東科學技術出版社，2013：62.

基金項目：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內訪問學者項目經費資助，濱州學院優秀教學團隊-BZXYJXTD201302.

作者簡介：竇慧（1974-），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數學教學。