淺談Mathematica在組合數學教學中的應用

摘要：利用數學軟件強大的符號計算功能，我們可以改變傳統課堂的教學方式，并收到良好的教學效果。本文通過用Mathematica解數列遞歸關系的例子，來說明Mathematica在組合數學教學中的巨大功效。數學在某種程度上也可以變成一門“實驗科學”。

關鍵詞：組合數學；Mathematica；遞歸關系

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0114-02

一、引言

組合數學是數學的一個基本分支學科，也是高等院校數學專業的專業必修課，它主要研究離散對象在各種約束條件下的安排和配置問題。近年來計算機技術的飛速發展對我們的生活有了越來越大的影響。計算機計算速度的提升，使我們能夠解決許多以往難以想象的大規模的計算問題。但計算機裸機并不能自己進行運算，它需要相應的程序作為基礎，而這些程序的基礎又往往是一些組合算法，因此組合數學在計算機技術的發展中起著非常重要的作用。反過來，計算機技術特別是數學軟件也可以在組合數學的教學中發揮作用。現在有幾款比較成熟的數學軟件，比如Mathematica，Maple，Matlab，它們都具有強大的數值計算和符號計算功能，可以給我們的數學研究與教學帶來極大的便利。在教學中適當地使用這些軟件，同時教會學生使用這些軟件，可以激發學生的學習熱情，取得更好的教學效果，同時也讓學生有一技之長，對他們日后的工作和學習都是很有幫助的。本文通過用Mathematica求解數列遞歸關系的例子，來說明Mathematica在組合數學教學中的巨大功效。

二、使用Mathematica求解數列遞歸

（一）求解線性齊次遞歸關系

求解線性遞歸關系（齊次或者非齊次）是組合數學的重要內容，我們舉一個例子來說明：an=5an-1-6an-2，n≥2。在傳統的數學教學中，我們采用特征方程的方法：上述遞歸關系的特征方程是x2=5x-6，兩個特征根是x1=2，x2=3，因為兩個特征根不相等，所以數列的通項公式是an=c12n+c23n，其中c1，c2是任意的常數。

在Mathemacita中，求解遞歸關系的命令是RSolve。我們只需要在Mathematica的工作環境中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]}，a[n]，n]

（注意我們要用兩個等號==來表示相等，一個等號=表示的是賦值）然后運行（按Shift+Enter），就得到了以下結果

a[n] 2n C[1]+3n C[2]

注意在Mathematica中，兩個任意的常數是用C[1]，C[2]來表示的。

如果給定了初值，比如a0=1，a2=4，那么我們只需要改一下命令

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]，a[0] 1，a[1] 4}，a[n]，n]

運行之后就得到

a[n] -2n+2 3n

（二）求解線性非齊次遞歸關系

求解線性非齊次遞歸關系是一個比較困難的問題，主要的難點在于要先找到一個特解。雖然也有現成的規則，但因為非常煩瑣而難以記憶，學生要么記不住這些規則，要么記住了但不明白為什么，實際的掌握效果是很差的。另外，求解一個非齊次的遞歸關系往往需要較長的時間，一般程度的學生大約需要花十分鐘，而且很容易算錯，這導致學生不會做很多的練習，計算的經驗相當缺乏。利用Mathematica，我們可以在短時間內演算大量的例子，并且通過改動遞歸關系中的參數，用直觀的結果讓學生體會解的細微變化，這樣可以給學生留下較為深刻的印象，并激發他們學習的熱情。

1.比如我們要求解an=5an-1-6an-2+（n2+2），我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）}，a[n]，n]

運行后就能得到

a[n] 1/2（17+7n+n2）+2n C[1]+3n C[2]

初始的非齊次項n2+2是n的二次多項式，特解（n2+7n+17）也是n的二次多項式，很符合常理，也符合學生們的預期。

2.如果我們改變一下非齊次項，多一個2的冪次，變為an=5an-1-6an-2+（n2+2）2n，它的解會有什么變化呢？我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）2^n}，a[n]，n]

運行后得到

a[n] -（1/3）2n（288+121n+21n2+2n3）+2n C[1]+3n C[2]

學生在這個時候會很驚訝：為什么特解-（2n3+21n2+121n+288）2n中包含n的三次方呢？比非齊次項中n的次數高了一。

3.我們再改變一下非齊次項，多一個3的冪次，變為an=5an-1-6an-2+（n2+2）3n，解會如何變化呢？我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）3^n}，a[n]，n]

運行后得到

a[n] 1/2 3n（-162+61n-9n2+2n3）+2n C[1]+3n C[2]

特解（2n3-9n2+61n-162）3n中也包含n的三次方，比非齊次項中n的次數高了一。

4.我們繼續改變非齊次項，多一個5的冪次，變為an=5an-1-6an-2+（n2+2）5n，解會如何變化呢？我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）5^n}，a[n]，n]

運行后得到

a[n] 1/54 52+n（104-39n+9n2）+2n C[1]+3n C[2]

特解（9n2-39n+104）5n是的二次多項式，比非齊次項中n的次數一樣。

通過對比上面四個例子，學生們有了一個模糊的認識：如果非齊次項含有特征根的冪次，則特解中n的次數會升高；否者就不會升高。我們的教學目的在很大程度上也就達到了，因為我們成功引起了學生的興趣，并且讓他們自己總結出了規律。

5.我們還可以更進一步，舉一個更復雜的例子：an=3an-2-2an-3+（n2+2）。這是一個三階的線性非齊次遞歸關系，它的特征方程的三個根是1（二重根）和-2。我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==3a[n-2]-2a[n-3]+n^2+2}，a[n]，n]

運行（并且用命令Simplify[%]簡化之后）得到

a[n]80/243+（79n2）/108+（5n3）/27+n4/36+（-2）n C[1]+C[2]+n（-313/162+C[3]）

此時特解中包含n的四次方，比非齊次項中n的次數高了二！為什么會這樣？學生們發出這樣的疑問。這正是一個解釋理論的良機。

筆者在課堂上完整地演示過上面的過程，外加2.5中例子的變形，收到了良好的效果，學生的求知欲確實被激發出來了，并且能夠自己把規律總結出來。

（三）求解非線性的遞歸

Mathematica在求解非線性的遞歸關系方面也有很高的效率。比如我們要求解遞歸關系an=+1，這是一個分式線性變換，它也可以用特征方程的方法求解，但大部分學生難以掌握其要領。在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==2/a[n-1]+1}，a[n]，n]

運行后就得到

a[n]-（（-1/2）n+4 C[1]）/（（-1/2）n-2 C[1]）

三、總結

借助數學軟件強大的符號計算能力，我們可以在極短的時間內向學生展示很多的例子。通過改變遞歸關系中的參數，學生觀察到了解的性狀的變化，這個反饋是很及時的（只需幾秒鐘），因而學生們可以總結出解對參數的依賴關系。結合了現代技術的教學方式，我們可以不強求理論的完備性，也不必拘泥于“定義——定理——例子”的授課模式，而是以啟發為主，通過例子向學生展示具體的數學，讓學生在觀察中總結規律，把數學變成一門“實驗科學”。在學生有足夠的興趣的時候，我們就可以講解現象背后的原理，或者鼓勵他們自己去探索背后的原理。

四、致謝

本文受到北京市教委2013北京市共建項目人才培養項目：“數學人才培養模式改革”的支持。

參考文獻：

[1]南基洙.組合數學[M]，北京：高等教育出版社，2008.

[2]洪維恩.數學運算大師Mathematica 4[M]，北京：人民郵電出版社，2002.

作者簡介：張漢雄（1983-），男，浙江海寧人，博士，講師，研究方向：數學物理。

endprint