一題多解破難點

董濤

摘 要：初中解幾何題添加輔助線是難點，其中用旋轉構造全等三角形時的輔助線添加尤為困難。旋轉變換是一種全等變換，其要素是旋轉中心和旋轉角度。在解題中，如何讓圖形“旋轉”起來，從而確定添加輔助線的方法并合理表達是學生需要去突破的一個難點。本文通過典型題目的多重解法，以期幫助學生突破利用旋轉構造全等解題的難點，掌握用旋轉構全等的方法，同時培養他們的空間概念，提升他們的幾何直觀、推理能力，增強他們的創新意識。

關鍵詞：幾何；空間概念

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）15-285-02

初中解幾何題添加輔助線是難點，其中用旋轉構造全等三角形時的輔助線添加尤為困難。旋轉變換是一種全等變換，其要素是旋轉中心和旋轉角度。在解題中，如何讓圖形“旋轉”起來，從而確定添加輔助線的方法并合理表達是學生需要去突破的一個難點。

本文通過典型題目的多重解法，以期幫助學生突破利用旋轉構造全等解題的難點，掌握用旋轉構全等的方法，同時培養他們的空間概念，提升他們的幾何直觀、推理能力，增強他們的創新意識。

典型例題：如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點M是BC上一點，

試判斷AM，BM，CM之間的數量關系，并證明。

分析：本題需先觀察AM，BM，CM三條線段的長短，再猜想結論可能是AM=BM+CM或 等，若結論是AM=BM+CM，學生會想到“截長補短”法，若“截長”需探索距A點，還是M截取線段等于CM或BM， 我們不妨把包含BM或CM三角形繞△ABC某頂點旋轉，依據旋轉可以改變圖形的位置，但不改變圖形大小的性質，把BM或CM搬到AM上，從而達到截長的目，得到添加輔助線的方法。

通過對上述典型題的多種解析過程的分析，可知用旋轉構造全等解三角形題思路如下：

（1）首先分析題目是否需利用旋轉構造全等三角形來添加輔助線解題。適用旋轉構造全等的題目一般會出現在特殊的圖形中有共點的兩條相等線段，如等腰三角形、正多邊形；通常條件分散，題設和結論沒有明顯關系；通常求三條線段之間的數量關系。

（2）然后確定旋轉三角形。旋轉三角形所包含的角或邊和所求結論之間有直接或間接聯系。

（3）再確定旋轉中心。旋轉中心是旋轉三角形的一個頂點，這個頂點是兩條線段的公共點，其中一條線段是三角形的邊。

（4）最后確定旋轉角度。旋轉角度往往是和旋轉中心共點的兩條相等線段的夾角。

（5）畫出旋轉后的三角形，并合理表達輔助線是如何添加，往往旋轉變換的過程不作為輔助線的作法。

（6）證明旋轉前后的兩個三角形全等，完成解題過程。

從以上的歸納可以發現，用旋轉構造全等解題并不是無法可依，只要掌握這種題型的特征和解題思路，定能突破難點，從而有效地提升學生對幾何圖形的思維能力。