淺談同一法

任武

摘 要：眾所周知，一個正確的命題，它的逆命題可能正確，也可能不正 確。例如“對頂角相等”是正確的，它的逆命題“相等的角都是對頂角”就不正確了。這是因為這個命題的前提“對頂角”這概念的外延與結(jié)論“相等的角”這個概念的外延不一致。“相等的角”的外延包含了“對頂角”的外延，反過來，“對頂角”的外延就不包含“相等的角”的外延，因此，逆命題不正確。

關(guān)鍵詞：同一法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）15-322-02

同一法是證題時常用的一種間接證法，對此談一下個人的膚淺認識。

一、同一法的邏輯根據(jù)

眾所周知，一個正確的命題，它的逆命題可能正確，也可能不正 確。例如“對頂角相等”是正確的，它的逆命題“相等的角都是對頂角”就不正確了。這是因為這個命題的前提“對頂角”這概念的外延與結(jié)論“相等的角”這個概念的外延不一致。“相等的角”的外延包含了“對頂角”的外延，反過來，“對頂角”的外延就不包含“相等的角”的外延，因此，逆命題不正確。

易知，當一命題的前提的外延與結(jié)論的外延一致（即兩個概念是同一概念，它們相互包含）時，這個命題與它的逆命題等效（真則同真，假則同假）。例如“等腰三角形頂角的平分線是底邊的中垂線”這個命題，由于一個角的平分線是唯一存在的，底邊的中垂線也是唯一存在的，因此只要證明了“等腰三角形頂角的平分線是底邊的中垂線”，則“等腰三角形底邊的中垂線是頂角的平分線”的正確性就確信無疑了。

一個命題的前提和結(jié)論都唯一存在，它們所指的概念的外延相同，這樣的命題與其逆命題等效，這個就是同一原理。當一個命題不容易直接證明時，我們只要分析它符合同一原理（即前提和結(jié)論都唯一存在，它們所指的概念的外延一致），就可以轉(zhuǎn)而證明它的逆命題，只要它的逆命題正確，這個命題就正確了，這種證法就是同一法。

二、怎樣應用同一法

同一法常用于證明某圖形具有某種性質(zhì)，而這個命題符合同一原理，采用同一法證明時，一般分下面四個步驟（當然具體證明過程，可以不明顯地寫成這四個步驟）：

1、作出具有某性質(zhì)的圖形；

2、證明所作圖形與已知條件相符；

3、根據(jù)唯一性，所作圖形與已知圖形相合；

4、判斷己知圖形具有某性質(zhì)。

例1：梯形兩底的和等于一腰，則這腰與兩底的夾角平分線通過另一腰的中點。

己知、求證。略

分析：如圖一，由于 A， B的平分線是唯一存在的，腰CD的中點也是唯一存在的，因此要證A，B的平分線通過CD的中點，可以反過來做；先取CD的中E，連AE，BE，只要能證明AE，BE分別是A，B的平分線就可以了。

證明：分別取腰CD，AB的中點E，F(xiàn)，連AE，BE，F(xiàn)E，則FE= （AD+BC）

已知：AB=（AD+BC）

故：FE = AB

因而AF=FE，BF=FE

故 FAE= FEA，F(xiàn)BE =FEB

又由，AD//FE//BC，得 FEA = EAD，F(xiàn)EB= EBC

因而 FAE= EAD，F(xiàn)BE= EBC

即AE，BE分別是 A，B的平分線。

例2：以正方形的一邊為底向形內(nèi)作一等腰三角形，若它的底角等于15，則將它的頂點與正方形另兩頂點連結(jié)時，必構(gòu)成一個正三角形。

己知：E為正方形ABCD內(nèi)部一點，且 EAD= ZEDA =15

求證：△EBC為正三角形

分析：以AD為底向正方形內(nèi)做一等腰三角形，使底角為15，這樣的三角形是唯一存在的，即頂角E唯一確定。以BC為一邊向形內(nèi)作正三角形也是唯一存在的。因此，先以BC為一邊向正方形內(nèi)作一正三角形。只要能證明這個正三角形的第三個頂點與A、D連結(jié)的線段都和AD構(gòu)成15角就行了。

證明：以BC為一邊向正方形內(nèi)作正三角形BCE'，連E'A，E'D，由BE'= BC=BA，因而△BE'A為等腰三角形，又由 E'BA=30 ，故 E'AB=75 ，因而 E'AD=15，同樣可 E'DA=15 ，故E'與E重合，即證明△BCE為正三角形。

三、用同一法時應注意的幾個問題

1、對于一個命題的前提和結(jié)論都“唯一存在”應當有正確的理解。初學的人，往往把一個命題的前提和結(jié)論只包含一個條件，誤認為是一個符合同一原理的命題。如以為“凡直角都相等”是前提與結(jié)論都唯一存在的命題，符合同一原理，因而認為逆命題“凡相等的角

都是直角”也應正確，這顯然是錯誤的。這里要注意“唯一存在”是指圖形具有某種性質(zhì)而言，“只有一個條件”是指條件的個數(shù)，這是應當加以區(qū)別的。如例1中的前提細分起來有三個條件，結(jié)論有兩條（當然可以看成是兩個命題合成的）。在分析時抓住了具有“唯一存在”性質(zhì)的一個前提條件“角平分線”和一個結(jié)論事項“一腰的中點”進行交換，其余條件不動，這樣的命題是符合同一原理的，因而可用同一法證明它。

2、同一法與反證法的關(guān)系。能夠用同一法證明的命題，都可以改用反證法證明，只要把矛盾引向“唯一存在”性質(zhì)上面去就行了。因而，可以這樣簡單地說：同一法就是根據(jù)“唯一存在”性質(zhì)，判斷所作具有某性質(zhì)的圖形（下接第323頁）