紐結的Homflypt多項式

霍承剛

宿州學院數學與統計學院,安徽宿州，234000

紐結的Homflypt多項式

霍承剛

宿州學院數學與統計學院,安徽宿州，234000

介紹了一類重要的紐結不變量，即Homflypt多項式，證明了兩個環鏈的Homflypt多項式相等的必要條件是它們的環繞數相等。此外，研究了它同紐結Jones多項式和Vassiliev不變量之間的關系。

紐結；環鏈；Vassiliev不變量；Jones多項式;Homflypt多項式

紐結理論就是研究紐結與環鏈在連續變形下保持不變的特性(稱為不變量)，其目的在于告訴人們如何區分不同的紐結。由于紐結與環鏈既直觀又充滿奧妙，紐結理論既通俗易懂、妙趣橫生，而又有極其深刻的內涵，并且與分子生物學、理論物理等自然科學領域密切相關。1984年,Jones發現的Jones多項式是一種同痕不變量，計算方便，它的發現使得紐結理論成為世界數學界注意的焦點之一[1-3]。之后，其他數學家又將這些多項式加以推廣，如Homflypt多項式等。

1 預備知識

圖1

(2)V(Ο;t)=1，其中Ο為平凡紐結。

定義2 令PL(v,z)表示環鏈L的Homflypt多項式，它有下列關系式定義：

(1)v-1PL+(v,z) —vPL—(v,z) =zPL0(v,z)；

(2)PΟ(v,z)=1,其中O表示平凡紐結。

對值域為阿貝爾群的紐結不變量，可以通過下述線束關系：

v(KD)=v(K+)-v(K-)

定義奇異紐結的不變量,其中KD，K+，K-表示除一個交叉點外其余部分是完全相同的紐結圖表(圖2)。

圖2

定義3 設v為值域在阿貝爾群的紐結不變量，如果對任意多于n個奇異點的紐結K有v(K)=0，則稱此不變量為n階(Vassiliev)不變量，通常記為vn。

引理1 設L=K1∪K2,L′=K1′∪K2′是兩個分支的環鏈，VL(t),VL′(t)分別表示L和L′的Jones多項式，記λ=Link(K1∪K2)，λ′=Link(K1′∪K2′)分別為兩個環鏈的環繞數，則VL(t)=VL′(t)的必要條件是λ=λ′。

2 與瓊斯多項式的關系

一方面，Jones多項式容易計算，有很強的識別不同紐結的能力，它甚至可以識別三葉結和它的鏡面像；另一方面，找到了紐結理論與理論物理(主要是量子統計力學、量子場理論)的結合點，這不但大大推動了理論物理學的發展，反過來物理學家也為數學發展作出了貢獻，提出了一系列的紐結不變量；另外，利用Jones多項式解決了許多紐結理論中長期懸而未決的困難問題。

定理1 設L=K1∪K2,L′=K1′∪K2′是兩個分支的環鏈，記λ=Link(K1∪K2)，λ′=Link(K1′∪K2′)分別為兩個環鏈的環繞數，而PL(v,z)，PL′(v,z)分別表示L和L′的Homflypt多項式，則PL(v,z)=PL′(v,z)的必要條件是λ=λ′。

若L和L′的Homflypt多項式相等，即PL(v,z)=PL′(v,z)，從而VL(t)=VL′(t)。根據引理1立知λ=λ′。

3 與Vassiliev不變量的關系

Vassiliev不變量被證明至少同Jones多項式及其源于各種量子群的一般形式具有同等作用[1]。

定理2 設環鏈L的Homflypt多項式為：

此定理還有另外一種證明方法[5]。

Homflypt多項式的一種標準形式是以q和N為參數的多項式，且滿足下列等式:

上式為關于x的“一團”的表達式，其中“一團”表示此部分比較復雜，但不管它是什么，此時多項式的系數是有限階的。

4 結束語

雖然紐結的Jones多項式及Homflypt多項式對紐結的分類起著重大作用，但它們已被證明不是紐結的完全不變量。紐結的Vassiliev不變量被證明至少同Jones多項式及其源于各種量子群的一般形式具有同等作用，對Vassiliev不變量的判定研究正在展開，相信將對紐結的研究產生重要意義。------------

[1]Barnatan D.On the Vassilliev knot invariants[J].Topology,1995,34:423-472

[2]Zhu J.On Jones knot invariants and Vassiliev invariants[J].J Math,1998,27(2):293-299

[3]Kofman I.Approximating Jones coefficients and other link invariants by Vassiliev invariants[J].Journal of knot theory and its ramifications,2000,9(7):955-966

[4]李東升．環鏈的多項式不變量相等之必要條件[J].湖北大學學報，1992,14(4)：338-341

[5]霍承剛．紐結的Vassiliev不變量[D]．大連：遼寧師范大學，2007：7-8

(責任編輯：汪材印)

Homflypt Polynomials of Knots

HUO Cheng-gang

School of Mathematics and Statistics,Suzhou University,Suzhou Anhui,234000,China

The paper introduces the useful instrument of knot theory——Homflypt Polynomials.The paper proves that the necessary condition for two links to have same Homflypt polynomials is same link number. Furthermore, its relationship with Jones polynomials and Vassiliiv invariant is aslo introduced.

knot；link；vassiliiv invariant；Jones polynomials; Homflypt polynomials

2014-05-28

安徽省高校省級自然科學研究項目“紐結的Vassiliev不變量性質及應用”(KJ2013Z321)。

霍承剛(1980-)，山東德州人，碩士，講師，主要研究方向：低維拓撲。

10.3969/j.issn.1673-2006.2014.09.021

O189

A

1673-2006(2014)09-0072-02