半(E,F)-凸函數的一些新性質

馬曉娜

宿州學院數學與統計學院，安徽宿州，234000

半(E,F)-凸函數的一些新性質

馬曉娜

宿州學院數學與統計學院，安徽宿州，234000

基于(E,F)-凸函數，得到了半(E,F)-凸函數。引入次線性函數，利用半(E,F)-凸函數的定義，研究了次線性函數與半(E,F)-凸函數復合后的半(E,F)-凸性，半(E,F)-凸函數水平集的性質；研究了在半(E,F)-凸性的條件下極小值點存在的充要條件，并從變分不等式的角度對該充要條件作了全新的證明，且給出了另一個等價條件。

(E,F)-凸集;(E,F)-凸函數;半-凸函數;擬半(E,F)-凸數

1 基本概念

定義1[1]稱集合M?Rn是(E,F)-凸集,若存在E,F:M→Rn使得對于?x,y∈M,λ∈[0,1],有λE(x)+(1-λ)F(y)∈M。

定義2[1]稱f:M→R為在M?Rn上的(E,F)-凸函數,若存在E,F:M→Rn使得M是(E,F)-凸集,且對于?x,y∈M，λ∈[0,1],有:

f(λE(x)+(1-λ)F(y))≤λf(E(x)+(1-λ)F(y))

定義3[2]稱f:M→R為M?Rn上的半(E,F)-凸函數,若存在E,F:M→Rn使得M是(E,F)-凸集,且對于?x,y∈M,λ∈[0,1],有:

f(λE(x)+(1-λ)F(y))≤λf(x)+(1-λ)f(y)

定義4[2]稱函數f:M→R為(E,F)-凸集M?Rn上的擬半(E,F)-凸函數,若?x,y∈M,有:

f(λE(x)+(1-λ)F(y))≤max{f(x),f(y)},?x,y∈M,λ∈[0,1]

定義5[3]函數f:Rn→R稱為正齊次函數，如果對每個x都有:

f(λx)=λf(x), 0<λ<∞

(1)?x∈X，?t>0,f(tx)=tf(x);(2)?x1,x2∈X,f(x1+x2)

2 主要結論

性質1 若f:M→R是(E,F)-凸集M上的半(E,F)-凸函數,φ:R→R是一非減次線性函數,那么復合函數h=φ°f:M→R是M上的半(E,F)-凸函數。

證明 因為f:M→R是(E,F)-凸集M上的半(E,F)-凸函數,則對?x,y∈M,λ∈[0,1]有映射E,F:M→Rn,使得：

f(λE(x)+(1-λ)F(y))<λf(x)+(1-λ)f(y)

又φ:R→R是非減次線性函數,故：

φ°f(λE(x)+(1-λ)f(y))<φ[λf(x)+(1-λ)f(y)]<λφ°f(x)+(1-λ)φ°f(y)

所以,復合函數h=φ°f:M→R是半(E,F)-凸函數。

性質2f(x)是正齊次函數,E,F是正齊次映射,且f(E(x)+F(y))

證明 ?x,y∈M,λ∈[0,1]

因為f(E(x)+F(y))

性質3 設f:M?Rn→R在(E,F)-凸集M上是可微的半(E,F)-凸函數，u∈M是一確定點，且有u=Eu,u=Fu，則u∈M是f在M上的極小點，當且僅當滿足下列不等式：

〈f′(Eu),Fv-Eu〉≥0?v∈M

這里f′(Eu)是f在Eu處的微分。

下面從變分不等式的角度對性質3給予一全新的證明，并給出另一個等價條件。

設f:M?Rn→R在(E,F)-凸集上是可微的半(E,F)-凸函數，u∈M是一確定點，且有u=Eu,u=Fu，則下述結論是等價的。

(1)u∈M是f在M上的極小點；

證明 (1)?(2)：

即

(2)?(1)：

由于

所以對于上式，令t→0，得：

(2)?(3):

對于不等式

f(v)-f(u)≥〈f′(Eu),Fv-Eu〉

(a)

交換Eu,Fv得：

f(u)-f(v)≥〈f′(Fv),Eu-Fv〉

(b)

(a)、(b)兩式相加得：

〈f′(Fv)-f′(Eu),Fv-Eu〉≥0

即〈f′(Fv),Eu-Fv〉≥〈f′(Eu),Fv-Eu〉≥0

(3)?(2)：

因為〈f′(Fv),Eu-Fv〉≥0?v∈M，用Eu+t(Fv-Eu),t∈[0,1]代替Fv得：

〈f′(Eu+t(Fv-Eu)),t(Fv-Eu)〉≥0

即〈f′(Eu+t(Fv-Eu)),(Fv-Eu)〉≥0

又因為f可微，則f在t=0處右連續，令t→0+得：

〈f′(Eu),Fv-Eu〉≥0，?v∈M

性質4 如果f為(E,F)-凸集M上的擬半(E,F)-凸函數，則對?α∈R，定義f的水平集為Lα，且Lα={x:x∈M,f(x)α?α∈R}，則：

(1)Lα為(E,F)-凸集；

(2)集合Lα是一個(E,F)-凸集，則f是M上的擬半(E,F)-凸函數。

證明 (1)?x,y∈Lα，有f(x)≤α,f(y)≤α，又因為f為M上的擬半(E,F)-凸函數，所以有：

(2)?x,y∈M令α=max{f(x),f(y)}，則：

f(x)≤α,f(y)≤α

即x∈Lα,y∈Lα

又集合Lα是一個(E,F)-凸集，則λ∈(0,1)，有：

[1]Jian J B．On(E,F)generalized convexity[J]．International Journal of Mathematical sciences,2003,1(2)：121-132

[2]Jian J B．Hu Q J．Tang C M．et al．Semi-(E,F)-convex functions.and Semi(E,F)programming[J]．International Journal of Pure and Applied Mathematics,2004，4(14)：439-454

[3]胡清潔，梁遠信，簡金寶.一類新的廣義凸函數及相應的凸規劃的最優性條件與對偶[C]//中國運籌學會第七屆學術交流會論文集：上卷.青島：中國運籌學會，2004

(責任編輯：汪材印)

SomeNewPropertiesofSemi-(E,F)-ConvexFunctions

MAXiao-na

SchoolofMathematicsandStatistics，SuzhouUniversity，SuzhouAnhui,234000,China

Based on the(E,F)-convex function,the semi-(E,F)-convex function is obtained, in order to further improve the properties of semi-(E,F)-convex function, the application of semi-(E,F)-convex function is defined constraints reduce,research which can be better applied in optimization problems. Firstly,introduced a linear function, using the definition of semi-(E,F)-convex function,studied the linear function and after the semi-(E,F)-convex function composite semi-convexity,the properties of semi-(E,F)-convex function of the level set,and studied under the condition of semi-(E,F)-convex sufficient and necessary condition for the existence of minimum point. In order to obtain the necessary and sufficient conditions for existence of the minimum point,make a new proof of the necessary and sufficient conditions of the variational inequality,and another equivalent condition is given.

(E,F)-convex set;(E,F)-Convex functions; semi-(E,F)-convex functions; quasi-semi-(E,F)-convex functions.

2014-04-18

馬曉娜(1982-)，女，遼寧鞍山人，碩士，助教，主要研究方向：最優化理論及其應用研究。

10.3969/j.issn.1673-2006.2014.09.022

O174.13

A

1673-2006(2014)09-0074-03